设而不求巧解题,培养学生创造力

罗红丽

◆摘  要：数理化解题犹如作战，审题则似侦查敌情。作战中若部队前行遇到江河障碍，则“开路先锋”舟桥部隊就会“遇水架桥”，保障部队快速通过。而在解题中若条件和结论关系隐蔽，除了加强审题，通过假设未知量构建它们之间的桥梁亦是解题的重要技巧之一。在数理化解题中，往往各种学科思想、解题方法综合运用、灵活搭配。而其中通过设辅助未知数“设而不求，铺路搭桥”并辅之以其它思想来求解问题就一种巧妙的解题方法。本文以该方法求解几道小学数学题，以期与大家一窥该方法的巧妙之处，体会数学思维培养的重要性，以期起到抛砖引玉的作用。

◆关键词：数理化;解题;作战;设而不求

例1

六年级（9）班的所有同学都分别参加了英语竞赛和数学竞赛，有的同学还同时参加了这两个竞赛。如果同时参加两个竞赛的人数是参加英语竞赛人数的20%，是参加数学竞赛人数的2/9，那么这个班只参加英语竞赛和只参加数学竞赛的人数之比是多少？

解析：本题考查容斥原理。设该班有x人同时参加两个竞赛。

则据题意只参加英语竞赛和只参加数学竞赛的人数依次为4x，3.5x。因此这个班只参加英语竞赛和只参加数学竞赛的人数之比为8：7。

简析：容斥原理是小学阶段求两量叠加问题（如阴影部分面积问题）的经典方法。同时也是初高中数学（及几何）的重要解题方法。如2020山东德州中考试卷第10题、2019全国卷3文科数学第4题都是对容斥原理的考查。

例2

在一次飞行演习任务中，由于机械故障，油箱开始持续匀速漏油。经测算，若保持400千米/时的速度飞行8小时，油箱中的油恰好耗尽;若保持600千米/时的速度飞行6小时，油箱中的油也恰好耗尽（飞机飞行每千米消耗的油量相同）。若飞机需要在油箱里的油耗尽前飞到距离为4000千米处的机场进行维修，则至少需要保持平均    千米/时的速度飞行。

解析：设飞机每小时漏剩余油的1/x，飞行每千米消耗剩余油的1/y，则据题意有8/x+3200/y=6/x+3600/y，解得1/x=200/y（即1小时漏掉的油可供飞机飞行200千米），飞机剩余油量为24/x（或4800/y）。由飞机必须飞行4000千米得飞行时间t=4小时（4800/y-4000/y=800/y=4/x），则飞机至少需要保持的平均速度为1000千米/时。

简析：本题属行程问题。该解法的巧妙之处在于假设了飞机每小时的漏油量和飞行每千米的耗量占剩余油（量）的比例。却未考虑最初飞机剩余多少油（只是用含参数的式子表达），根据“剩余油一定情况下，飞行距离决定飞行时间（和飞行速度）”进行代换即求解问题。本解法较用特殊值法设飞机飞行单位行程的耗油量进行求解更直接、更易理解。

针对性练习：某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失;如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失.设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？

提示：设检票开始时有a人等候检票，每个检票口每分钟检票x人，队伍每分钟增加y人[1]。求解过程利用a与x、y及x、y之间的关系解题，而不直接求解a、x、y。

例3

有甲、乙、丙三种商品，买甲3件乙7件丙1件，共需32元;买甲4件乙10件丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需     元。

简析：本题属于经济问题。求解设了甲、乙、丙的单价，但未直接求解，而是通过解不定方程直接求甲、乙、丙的单价之和。

例4

甲、乙、丙三人合修一堵墙，甲、乙合修6天完成1/3，乙、丙合修2天完成余下工程的1/4，剩下的工程由甲、乙、丙三人合修5天完成后领工资共计3600元。按工作量分配甲应得多少元？

简析：本题求解设了乙、丙单独修完这堵墙所需要天数，但未进行求解，却使问题明朗化。最终通过解不定方程解决问题。“设而不求”思想是解方程的“利剑”，学生尤其要掌握不定方程问题的常用求解方法，为该技巧的熟练使用夯实基础。

例5

如图1由三角形ADG和三角形BCF拼成，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65。已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，那么三角形ADG的面积是多少？

针对性练习1：如图2，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10 平方厘米和12平方厘米，已知梯形上下底的比是2：3，那么阴影部分的面积是  23  平方厘米。

提示：先设梯形的上下底和△AOD及△COB的高，再设而不求通过数量代换求解问题。

例6

有甲、乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重120克，乙杯盐水重80克。现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中。这时两杯新盐水的含盐率相同。从每杯中倒出的盐水是多少克？

简析：该解法是利用方程的思想，求解过程假设了甲、乙两杯盐水的含盐率，但未求解。而是通过方程反映出题目的核心关系。因此有时在准确理解问题的基础上我们要合理地、大胆地进行假设未知量。从本题求解可看出题述背景下倒出交换的溶液的质量与两原溶液浓度无关。其数值为：两原溶液质量之积除以两原溶液质量之和。

变式题：有一块铜重400克，有一块铁重600克，现从铜和铁上各挖一块质量相同的金属互换，形成两块合金，结果这两块合金的铜铁质量比相同，那么挖下的那块金属的质是  240  克。

提示：本题的常规解法是利用整体思想，从新形成的两块合金的铜铁质量比相同，也等于原两块铜铁（总体）的质量比角度入手进行求解。从题型角度对本题也可把铁和铜分别看作溶质和溶剂（相互对应）进行求解。由例题6求解得出的结论“倒出交换的溶液的质量与两原溶液度无关”，近而易求出挖下的那块金属的质量是240克[240=（600x400）/（600+400）]。从例题6到本题的求解可看出只有对相关题型、知识模块深刻理解才能作到以不变应万变，并优选解题方法。

设而不求法的解题范围广泛，是求解行程问题、工程问题、浓度问题、小学（初、高中）几何问题等的常用重要解题技巧。尤其是在题述条件较少（常需设相关系数，化隐为显使问题明朗化）或题述条件间逻辑关系较多（常需设多个未知数，列多个方程，再求解不定方程）的情况下要依据题述问题情景合理地、大胆地"设而不求"，进行推导（演算）或求解方程，近而解决问题。有时解题“不厌其（设未知数）繁”恰是问题求解的可行思路。设而不求解题技巧常配合（或需辅之以）整体思想、代换思想、消除法等技巧一起使用而发挥其独到作用。

参考文献

[1]黄东坡.《数学探究应用新思维·七年级》[M].武汉：湖北人民出版社，2016年：6.

[2]刘嘉.小学数学竞赛年鉴.MO2019[M].武汉：湖北科学技术出版社，2020.264.