浅谈“鸡兔同笼”问题的解决策略

曾家国

◆摘  要：源于《九章算术》的鸡兔同笼问题，可谓家喻户晓。在新课程推进的今天，鸡兔同笼问题出现在数学教科书“解决问题的策略”这一章节，使解法条理化、系统化，更易于学生接受、理解和应用。

◆关键词：鸡兔同笼;解决问题;策略

鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，出自《孙子算经》。原题为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？鸡兔同笼问题可以被赞誉为数学思维的“体操”，帮助学生主动构建起解题的数学模型，有利于学生数学能力的培养。孔子曰：举一隅不以三隅反，则不复也。鸡兔同笼是典型而有趣的数学问题，曾经是仅作为课外拓展内容，现在已经作为小学生必须掌握的知识，进入小学数学教材，并且在小学低、中、高各年段都会遇到此类问题。从解决的角度而言，可以有一系列的方法，比如画图法、列表法、假设法方程法以及抬腿法等。鸡兔同笼问题，也蕴含着丰富的数学思想方法，比如划归的思想，枚举的思想，数形结合的思想，假设的思想，方程的思想以及建模的思想等。在我们的教学实践中，教师的不同定位就带来了不同教学设计的可能性，定位于不同的解题方法不是随意的，而应该将解法的难度与学生的认知水平结合起来考虑。

一、小学低段学生如何解决鸡兔同笼问题

在小学阶段，低段（一二年级）的孩子活泼天真，他们对于数学学习尚处于启蒙阶段。我们需要做的，不是教会学生解决问题的策略、解决问题的技巧，而是要如何激发他们学习数學的兴趣，以此保护他们的求知欲，让其感受数学的趣味性，让他们感知数学不是枯燥的，而是非常好玩的。这才是低段教学“鸡兔同笼”问题的侧重点。教学时，我们可以这样做：把那道经典题的数字“小”化：已知共有鸡和兔10只，共有28只脚，问鸡和兔各有几只？教学中，我们首先可以用故事的形式引人，再引领学生找出题目中隐含的条件（兔子有4条腿，鸡有2条腿）。然后启发学生;利用画图的方式来表达自己的想法，可以提示学生用Ο和[ΙΙ]分别表示头和腿，让其感受数形结合的数学思想。先画10个头，鸡免最少也有2条腿，就先给每个头画两只脚，共20条，还剩8条，再每个头加2条，可以加4个头，画完后，再让学生数一数：4条腿的是兔，2条腿的是鸡，各有多少，便一目了然。

除此之外，我们也可向学生介绍古人发明的抬腿法：假设鸡和兔训练有素，吹一声哨，抬起一条腿，剩下28-10=18条腿。再吹哨，又抬起一条，还剩18-10=8条，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。所以，兔子有8+2=4只，鸡有10- 4=6只。让学生参与到真正的实践操作中，体会数学真是有趣好玩！

二、小学中段学生如何解决鸡兔同笼问题

到中段后（三四年级），学生对数学知识已经有了一定的积累和了解，在学习方法上也增加了更多接受的可能性。对他们而言，能够用自己的方式挑战一个难题，其成功的自豪感将无以言表。所以，让这一阶段的学生在自主学习的过程中对列表法进行学习和优化，应是我们该重点关注的。此时，我们可以直接用《孙子算经》的原题引入：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？甚至还可以把数字变大，让学生自行探鸡索，为什么要将数字变大呢？数字的大化可以迫使他们去寻找新的方法、规律，去化繁为简，化难为易。在已有画图方法的基础感受在数字大的情况画图方法的不适用。于是出现列表枚举。下面我将以上面小化过的例题为例。

在此方法中，学生会感受到它的繁琐，但在这里使用列表法的重点还在于发现其规律（每增加一只鸡就减少一只兔，腿也就减少2条），由此他们可以将逐一优化为跳跃列表法或取中列表法。让学生在实践操作的过程中先进行有序思考，完整列表，再进行表格优化，从而理解优化表格的作用和意义，实现跳跃性思考。在此过程中充分感受数学逻辑的严密性和推理性。在使用列表法时，我们不仅仅只停留在找出答案即止，要懂得回顾兔增加鸡减少及腿数的变化规律，即发现增加1只鸡就减少2条腿，那要减少多少条腿才是28条呢？40-28=12（条），而12条腿则需要增加多少只鸡呢？12÷2=6（只），所以鸡有6只。这不这是假设法吗？反之，我们从表格右边往左边看，则相当于先假设全是鸡，有10×2=20条腿，每增加1只兔就增加2条腿，总共需要增加28 -20=8条腿，8÷2=4（只），所以兔有4只。学生在使用列表法可能会显得繁琐，但它却是假设法的过渡，学生能在枚举与假设中充分感受到数形结合的形象性、便捷性，感受数学的魅力和趣味。

三、小学高段学生如何解决鸡兔同笼问题

高段（五六年级）的学生在数学学习上已经接触了不少的数学模型和数学思想。鸡兔同笼的知识对他们来说已经不再陌生和新奇。这时在让学生用画图法和假设法解题后，可以要求学生用方程进行解题。根据“鸡+兔=10只”和“鸡腿数+兔腿数=28条”两个数量关系，于是可以列出如下方程：

解：设鸡有X只，免有（10-X）只。

2X+4（10-X）=28

在高段学生的教学中，我们需要做的不再是针对一道两道题的具体讲解，而是应帮助学生进行梳理和总结，归纳画图法，列表法，假设法，方程法以及抬腿法之间的内在联系，让学生建立起鸡兔同笼问题的数学模型，并在利用模型解决同类问题的过程中得到新的启示和收获，学会用数学的思维解决生活遇到的问题，真正达到学以致用的目的。

看似复杂的题目解答起来却是如此地巧妙，这就是神奇的数学。叶圣陶曾说：“教师之主导作用，益在于善于引导启迪，俾学生自奋其力，自致其知，非为教师之滔滔讲说，学生默默聆听。”“学无定法”，教师在教学中应该关注于对学生的学习方法的考量，让学生自己去探寻数学知识间的联系才是教学之道。解决数学问题有时并没有固定的解题模式可以套用，唯有切实培养学生的数学能力，能够将已学的数学知识“举一反三”甚至于“举一反百”，做到数学知识之间的融会贯通，活学活用，这才是学之道的真谛。

参考文献

[1]基础教育考试评价中心.小学毕业升学真题详解.数学[M].西安：西安出版社，2016.

[2]秦和平，肖定堂.“鸡兔同笼”问题中的思想方法及其渗透策略[J].湖北教育，2009（11）.

[3]熊明.在实数教学中渗透极限思想[J].课程教育研究（中），2012（6）.