以“数形结合”助“直观想象”

林贤数

摘要：本文从一道得分率较低的考题出发，通过调查分析制约学生运用“以形助数”解题的瓶颈，思考学生“以形助数”能力提高的策略，从学生实际出发提出三个教学关键点：一是如何根据题中所给条件来画动静结合的图形，进行以数定形;二是在动静结合的图形中如何实施动静互化，揭示图形的本质;三是在复杂图形中如何实施动中找定，在动静结合中切实有效地提高“以形助数”的能力。从而落实直观想象的核心素养。

关键词：以形助数;以数定形;动静互化;动中找定

一、提出问题

在第一次数学适应性测试中，本人发现大部分考生都被本题第一问给难住了。问题再现：

⑴求角C的取值范围;⑵略

二、调查分析

为何考试效果不尽如人意呢？为了探明问题的根源，本人对做错的学生进行了走访调查，请他们详细说明不能完成的原因。学生普遍反映：问题中已知条件太少，由正弦定理知道 ，但由于不知道角B的范围，就不敢往下求了。

在试卷讲评课上，当个别学生提出 时，很多学生都还将信将疑。为了一窥究竟，老师便引导学生根据已知条件画出图形，但发现很多学生没法画出图形。

如图， 取线段AC长为1，动点B在以点A为圆心、 为半径的圆上（但不与AC共线）。通过结合定点C 与点B的运动，便很容易得到答案，这里不再赘叙。

大部分学生在豁然于图形的直观之余，也感叹数形结合思想的妙用。

三、深度反思、追溯缺失

3.1源于学生的因素：

⑴学生受困于不会作图，即“以数定形”能力的缺失，没有图也就谈不上 “以形助数”解决问题了，暴露出学生平时不原意动手画图的坏习惯;

⑵缺少对数的分析能力，也不善于从数联想形，从数到形的转化能力较差;

⑶平时学生在用“以形助数”解决较复杂问题时，缺少用运动变化的观点看待运动变化全过程的意识，使得把握“动静结合”解决问题的能力不足。

3.2源于教师的因素：

⑴平时教学中，教师只注重对解题思路、方法的分析，所以往往是直接为学生画出图形，导致学生“以数定形”时画图的动手能力缺失;

⑵平时教学中，教师在用“以形助数”解决问题时，没有很好地引导学生去观察运动变化过程中的一些不变量、不变关系和特殊关系，使化动为静、动中找定能力不足。

四、方法策略、提高能力

4.1培养“以数定形”的能力

解析：⑴先让学生尝试根据题中条件画出以下两个动态图形：图⑴是固定角B的顶点，让长为1的边AC运动;图⑵是固定长为1的边AC，让角B的顶点运动（由于 大小不变，故知点B在一个圆上运动）;

⑵再根据本题的解题目标------即求△ 的面积的最大值，来讨论哪一个图形更容易解决该问题？

显然图⑵更容易，预设理由：由于 ，转化为求点B到直线AC的距离 的最大值，在这一动一静中，容易确定。（其它解法不再展开赘叙）

評注：“一动一静”是“以形助数”解决问题时，所画图形必须具备的重要特征，而且动点的轨迹在图形中必须是清楚的。

例2、若平面向量 满足 ，且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 与 的夹角 的取值范围是。

如图⑶，因为 ，作 ，所以固定线段OA长为1，动点B在以O为圆心、1为半径的圆上或圆内。又以向量 为邻边的平行四边形记为OACB，边OA上的高为定值 ，知点B在与直线OA平行且与直线OA距离为 的直线上。综上知点B的运动轨迹是线段 （包括端点）。所以答案为 。

评注：画图时要先通过分析已知数据中的稳定量（即向量 ）与不稳定量（即向量 ），再确立图形中静的元素（即线段 ）与动的元素（即线段 ）。

4.2培养“动静互化”的能力

例3、如图⑷，放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上滑动，则 的最大值是（）

解析：正方形ABCD分别在x轴、y轴上滑动，导致多个点都在动，问题难以入手，现在我们换个角度，因为运动是相对的，所以问题就可以等价看作正方形固定，原点O以AD为直径作半圆周运动，那么问题就转化为如图⑸所示，只有点O是动点，且在以AD为半径的半圆周上运动，从而大大减少了思维量。

如图⑻，若过点P作已知定直线的平行线，再通过点P的运动带动平行线的运动，会发现当点P为切点时， 取最小值。因此只要求出切线方程的纵截距为 ，便可得“折线距离”的最小值为

评注：本题的难点在于点P与点Q均为运动中的点，为了降低解题难度，可以先固定其中一点，化动为静，在一动一静中，实现动中找定;然后再运动原先固定的点，在一动一静中， 通过又一次的动中找定，达到解决问题的目的。

五、反思

分析评价学生的错误，我们不能只满足于告诉学生正确的答案，而应该关注错误背后，学生在知识、方法、思想层面上的缺失。找准契机，以学生现有思维能力为起点，循序渐进引领开展数形结合的探究，这也是落实数学直观想象核心素养的体现。