强而弗抑 开而弗达

姚宇雯

摘要：在初中数学教学活动中，特别是在习题教学的时候，解题就是一个思考的过程，解题过程反应出来的就是思维的历程。我们从不同的方面来考虑题目，从不同的途径反复考察同一细节，以不同的方式组合这些细节，从不同的角度来处理它们遇到障碍或错误，但每一次的冲破障碍都是一种进步。数学学习就是应该多尝试、不要怕错误，思维的锻炼才是解题的根本目的。

关键词：习题教学; 解题思维 ;思维发展

《礼记·学记》：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。强而弗抑则易，开而弗达则思。”数学课程标准提出在数学教学活动中教师要激发学生兴趣，调动学生积极性，鼓励学生的创造性思维。教师在课堂上进行习题教学时，最重要的是引导学生用正确的方法去思考，锻炼和发展学生的思维能力。在不断的引导和探索中，学生们才能学会独立自主地思考，从而产生一些自主的想法，获得一些新的突破。G.波利亚在怎样解题中谈到寻求有用的思路时可以从不同的方面来考虑题目，从不同的途径反复考察同一细节，以不同的方式组合这些细节，从不同的角度来处理它们，一个有用的念头也许是一个决定性的念头，它能在一瞥之间就为你指向通往追踪目的的途径。本文以浙教版八下正方形的一道作业题为例谈教师在引导学生们进行探究的过程中，如何来发展和锻炼学生的思维能力，让他们能够在解题中获得创新和提升。

一、提出问题

已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A顺时针旋转时，这两条边交正方形的边BC和DC（或者是这两条边的延长线），交点为M和N。

如图1所示，当旋转到某一角度时，BM=DN，此时，容易得到BM+DN=MN.

问题：（1）如图2所示，当∠MAN旋转到某一位置，且BM≠DN，那么线段BM、DN、MN之间又有怎么样的数量关系呢？写出猜想，并证明你的结论。

（2）当∠MAN旋转到另一位置时，如图3所示，同样的，线段BM、DN、MN之间又有怎么样的数量关系呢？写出猜想即可。

二、引导探究

这道题目既是一道证明题，也是一道规律探究型题目，有一定的难度。在引导学生们思考的时候，必须要充分结合已知条件，又要让学生们发挥想象，做一些大胆的猜想。首先我是做了一个大致的提示，如“题目中为什么要把这种特殊情况告诉我们，当BM=DN时，容易得到BM+DN=MN.”这样就可以提示学生们从特殊情况开始探究，并按照这样的方式去探究另外两种情况，而探究的方向同样是找出线段之间的数量关系，极有可能还是和差的关系。

有了这个大致的方向之后，学生们就开始从判断这三条线段之间的数量关系入手，把这个问题转化成了线段的和差问题。我让学生们从研究图1开始，先证明一次，理清这类证明题的总体思路，那么就可以把这种思路运用到另外两种情形。于是提问：对于探究线段之间的和差关系，我们通常用什么方法来解答呢？学生答：通过截长补短，把线段放在一个可比较的环境下进行比较。接下来学生们对图1的情况进行证明。

证明过程：过点A作AH⊥MN于点H，如图4所示。

∵ABCD是正方形，且BM=DN

∴△ABM≌△AND （SAS）

∴AM=AN，∠1=∠2=22.5°

∵AH⊥MN于点H ∴MH=NH，∠3=∠4=22.5°（三线合一）

∴△BAM≌△HAM 、△DAN≌△HAN （AAS）

∴MB=MH，ND=NH

整理得MN=MH+NH=MB+ND

上面是一种“截长”的方法，除此之外还有其他的方法吗？学生们通过思考，又给出了另一种“补短”的方法，大致过程如下：

先延长MB至E，使得BE=DN，连接AE（如图5所示），根据SAS容易证得△ABE≌△AND，得AE=AN，∠3=∠2，因为∠1+∠2=90°-∠MAN=45°，所以∠EAM=∠1+∠3=45°=∠NAM，同样，用SAS可证得△EAM≌△NAM，综上所述，可得MN=EM=EB+BM=DN+BM.

上面的两种证法分别是通过“截长”和“补短”的方法把没有联系的线段放到了一起进行比较，思路非常清晰。“截长”和“补短”也是常用的两种证明线段数量关系的方法。通过对图1中的特殊情况进行证明，接下来继续研究另外两种一般的情况，探究线段之间的数量关系。学生们直接把方法移植过去，某个学生采用的是“补短”的方法，如图6所示，先延长MB至E点，使得BE=DN，可以得到△ABE≌△AND（SAS），所以AE=AN，∠3=∠2，又因为∠1+∠2=90°-∠MAN=45°，所以∠EAM=∠1+∠3=45°=∠NAM，同样的方法易证得△EAM≌△NAM，所以MN=EM=EB+BM=DN+BM.

这个过程可以说是跟原来那个一样的，也比较好理解。当这个问题解决了之后，本想结束这道题的探究，然而，有个学生很好奇地问道：前面那个特殊图形是用了两种方法来证明，那这个也能用两种方法吗？这里只用了一种方法，是否也能用“截长”的方法在中间添加一条辅助线呢？虽然这种方法我也没有尝试过，但我也不能拒绝学生的这种探究要求，反而应该鼓励，让学生们能够大胆猜想，不断尝试。因为我知道，只有这样才能让学生们发挥出潜能，积极去思考，锻炼和提高学生的思维能力。

三、尝试创新

对于这道题是否有另外一种解法，我也不能确定，只能一边思考一边引导学生们思考，我相信只要思考的方向正确，是可以做出来的。于是我们就参考特殊情形证明过程中的另外一种证明方法，用“截长”的方法来尝试证明这个结论。

学生们先自行探究并尝试证明，如图7所示，过点A作AH⊥MN于H，再证两组三角形全等，先证明△ABM≌△AHM，接着要证明△ANH≌△AND，最后就可以得到结论。思路是理顺了，但是，过程中却发现问题了。学生们反应，第一组三角形全等就证明不出来。从图中可以看到，在这组三角形中，有两个直角∠D=∠AHN=90°，AN是公共边，还缺一個条件，不能证得三角形全等。另一组也是一样的，证明不到全等。学生们陷入苦思，还是找不到方法。

此时又有学生提出新的思考角度，认为在作辅助线的时候不作垂直，而是截取MH=MB，再连接AH。学生们对这种方法再一次进行了尝试，发现这种方法更加行不通，这样只能得出第一组三角形的两组对边分别相等，同样还是缺少一个条件，而另一组三角形只有公共边这一个条件可用，证明的难度又加大了。学生们这样连续遭受了两次挫折，明显感觉比较无奈和无助，感觉到他们想要放弃了，而我也正想宣布这道题无解，跳过这个问题，学习下一个内容。

忽然有学生小声的说是否可以用翻折的方式来找出这条辅助线。也就是将△ABM以AM为轴翻折，△AND以AN为轴翻折，如图8所示。学生们心中顿时亮了起来了。因为∠MAN=45°，所以∠1+∠2=∠3+∠4=45°，也就是说翻折之后的AB和AD能够在一条直线上，到了这一步，可以说就非常简单了。通过三角形全等，可以证得∠AFM+∠AFN=∠B+∠D=180°，所以M、F、N三点共线，也就是MN=MF+NF=MB+ND.同学们在不断的挫折之后寻找到这样一个巧妙的方法，都表现得非常开心，我也不禁为这班学生喝彩。

四、归纳总结

在平时的教学中，教师们天天说数学课堂教学要发展学生的思维能力，发展学生的创新意识，大部分都只是在说，而没有真正落实到位。而我认为，像上面的课堂可以激發学生的潜能，锻炼学生的思维。虽然这堂课中这道题目占用的时间比较长，使得课堂没有按照教学设计步骤进行，但我认为是非常值得的，我们平常说的培养学生的能力应该就是这样的方式。如果没有学生的好奇，想要寻找另一种方法，就没有后面精彩的探究，如果在遇到了一两次挫折之后就放弃，同样也看不到后面的精彩，学生的潜能也得不到激发。反思的过程中发现，这里面既要学生的积极参与，也要老师的积极配合。如果教师给的提示过多，就变成了讲解，学生的思维得不到锻炼，如果教师墨守成规，一味地按照教学设计进行，可能就不愿意花时间去探讨这个问题，直接就到了下一个环节，那么学生的各种好奇、各种猜想和潜能同样不能发挥出来。因此，这个例子可以说给了我们一个启发，只要引导适当，给学生们一定的时间和思考空间，鼓励他们勇于创新发展思维，学生从多方面多层次多角度进行思考，学生的潜能是非常巨大的，而教师就是要做这个激发学生潜能的引导者。

参考文献：

[1] 曾丽花.如何激发学生的有效思 考试周刊 2013年64期.

[2] G.波利亚怎样解题 第30页.