可调梯度磁场下霍尔位置传感器与弯曲法杨氏模量的测量

张 颖，王维波，许 莹，李文清，张敬芳，李泽朋

(1.中国民航大学 理学院，天津 300300；2.中国民航大学 基础实验中心，天津 300300)

杨氏模量是表征固体材料性质的重要物理量，描述的是固体材料抵抗形变的能力，是工程技术中选择材料的依据之一[1]。在理工类大学物理教学实验中，固体材料杨氏模量的测量是必做实验之一。测量杨氏模量有多种方法，如拉伸法测杨氏模量、弯曲法等[2-7]。精确地测量材料在应力作用下产生的微小形变是杨氏模量测量中的关键。弯曲法结合霍尔位置传感器测量杨氏模量可将材料在应力作用下的微小位移转换成电信号并进行数字显示输出，改善了传统测量方法，提高了测量精度并被广泛应用[8]。针对实验中存在的磁场梯度线性范围小导致的测量误差大的问题，本文在原有测量仪基础上改变梯度磁场发生器，磁场梯度大范围均匀并可调节，可显著提高测量精度，并且可实现较大微位移的测量。

1 弯曲法结合霍尔位置传感器测固体杨氏模量的基本原理[1，2]

1.1 弯曲法测杨氏模量

固体材料在弹性变形阶段，其正应力和应变之间成正比例关系，比值称为杨氏模量。杨氏模量用来描述材料抵抗形变的能力，其值越大意味着材料发生形变所需的应力越大。杨氏模量的测量在材料的力学分析里有重要的意义。

如图1所示，将长度为L，横截面为矩形的均匀横梁置于相距为d的两个刀口上，在横梁中心位置悬挂质量为m的砝码，横梁会发生弯曲，下垂距离为ΔZ，此过程中梁中心下垂距离和负载质量间关系为：

图1 弯曲法示意图

(1)

式中，d为两刀口间距离，m为砝码质量，g为重力加速度，a为横梁厚度，b为横梁宽度，ΔZ为横梁中心下垂距离，E为杨氏模量。从式(1)得杨氏模量的表达式为

(2)

从式(2)中可以看出，若能获得等式右边各物理量数值，就可计算出E的值。式中a、b、d可分别由千分尺、游标卡尺、直尺测量，难点在于微位移ΔZ的测量。

1.2 霍尔位置传感器原理

霍尔位置传感器是以霍尔效应为基本工作原理，实现位移、磁场等物理量测量的器件。其用于测量杨氏模量的装置示意图如图2所示，将霍尔元件置于磁感应强度为B的磁场中，在垂直于B的方向通以电流I，在垂直于电流和磁场的方向上会产生霍尔电势差UH，UH的大小为

图2 杨氏模量测量仪

UH=K·I·B

(3)

其中，K为霍尔元件的霍尔灵敏度。保持电流I不变，把霍尔元件置于一个均匀梯度变化的磁场中，并沿着梯度方向移动ΔZ，输出的霍尔电势差(霍尔电压)变化量为ΔUH，ΔUH的大小为

(4)

两块N极相对平行放置的磁铁间隙间可在2 mm区域里产生具有良好线性关系的均匀梯度变化的磁场。将霍尔元件置于均匀梯度变化区域，并沿着梯度场梯度变化方向微移动，输出的霍尔电势差将发生相应的变化，霍尔电势差输出值可直接通过电压表读出。霍尔元件位置在均匀梯度区域变化时，霍尔电势差和位移之间呈线性关系变化，从而根据电压表读数即可实现霍尔元件微位移的测量。霍尔元件与套在待测横梁上的铜刀口相连构成铜杠杆，根据杠杆原理霍尔元件位移与横梁位移呈正比。因此，霍尔电势差和横梁位移之间呈线性关系变化。定标出此线性关系的比例系数，即可通过横梁不同应力作用下霍尔电势差改变实现横梁微位移的测量。

2 实验仪器分析

弯曲法结合霍尔位置传感器测量杨氏模量实验中，常选取黄铜和铸铁作为待测横梁，测量装置选用两块N极相对的磁铁产生的均匀梯度磁场作为霍尔位置传感器工作磁场。在梯度磁场均匀范围内，位移量和输出霍尔电压呈线性关系。由于梯度磁场均匀范围较小(小于2 mm)，要求实验中霍尔元件必须在限定的±2 mm内移动，若操作不当，霍尔元件进入磁场非线性区，会导致实验数据的不准确测量，导致实验误差偏大。所测量杨氏模量值相对误差往往高于10%，甚至会高达40%[9]。此外，梯度磁场均匀范围较小，可测量的材料应变范围有限，无法实现较大微位移的测量。在霍尔位置传感器电压测量量程范围内，均匀梯度场线性范围越大，位移测量范围越大。若可实现大范围(大于2 mm)均匀梯度场的构建，可实现大范围位移的测量，也可减小实验操作难度。针对民航类学生而言，还可增加常用航空材料杨氏模量测量的内容，如铝合金等。

3 实验仪器改进

梯度可调均匀梯度磁场构建有两种方法，一种用通电螺线管实现[10]，一种用磁线圈实现[11，12]。通过分析，通电螺线管可实现均匀梯度磁场的构建，但与霍尔位置传感器结合，装置装调较为烦琐，故选用反亥姆赫兹线圈实现梯度磁场的构建。

图3 反亥姆赫兹线圈示意图

(5)

式中，μ0为真空磁导率；w为线圈匝数。

根据上式可知，均匀梯度磁场梯度跟磁线圈匝数、半径及电流相关，可根据实验磁场需求，对磁线圈匝数、半径、电流进行合理设计。此外，在磁线圈匝数和半径一定的情况下，可通过调节电流大小实现磁感应强度梯度的控制，可进行不同磁场梯度下多组实验数据的测量，提高实验测量的准确性。

以此实验中所用95A型集成霍尔位置传感器为例，其灵敏度k=31.3±1.5 V/T。考虑电压表测量精度及器件装调问题，加工了可产生均匀梯度磁场的反亥姆赫兹线圈。其中：线圈等效半径为r=35 mm，单个线圈匝数为500，电流强度I可在0.5～1 A调节，可实现最大梯度值为3 Gs/mm磁场的构建。并将此梯度磁场发生器置换图2中的磁铁，改进后的杨氏模量测试仪如图4和图5所示。

图4 改进的杨氏模量测量仪示意图

图5 改进的杨氏模量测量仪实物图

4 实验效果

4.1 均匀梯度磁场构建情况

利用反亥姆赫兹线圈实现了均匀梯度磁场的构建，并且通过控制所加直流电流值大小可实现磁场梯度的调控。测量了所加直流电流值分别为0.5A和1A情况下，线圈轴线方向磁感应强度变化。图6和图7分别为电流为0.5 A和1 A时，磁线圈轴线方向上的磁感应强度变化情况，并对测量数据用Origin进行线性拟合。

图6 磁感应强度变化曲线(I=0.5A)

图7 磁感应强度变化曲线(I=1A)

所通直流电流为0.5A时，磁线圈轴线方向磁场梯度为1.55 Gs/mm，相关系数达0.999 86；所通直流电流为1 A时，磁线圈轴线方向磁场梯度为3.01 Gs/mm，相关系数达0.999 83。磁线圈在-15～15 mm范围内，B和h之间线性关系良好。

4.2 黄铜、铸铁杨氏模量测量

根据现大学物理杨氏模量测量实验要求，采用改进装置对黄铜和铸铁的杨氏模量进行测量。并通过改变所通直流电流大小改变梯度磁场梯度值，实现不同梯度场下多组数据的测量。

4.2.1 直流电流为0.5 A

利用黄铜横梁对霍尔位置传感器灵敏度进行定标，测量数据如表1所示，利用Origin对数据进行线性拟合得到如图8所示结果，霍尔位置传感器灵敏度为27.51 mV/mm，相关系数R2=0.997 3，U和Z之间呈现良好的线性关系。用逐差法对表1中数据计算黄铜样品在m=60 g，g=9.8 m/s2的作用下产生的位移ΔZ=0.787 mm，将此值带入式(2)可得

图8 U～Z变化曲线(I=0.5A)

=10.33×1010N/m2

表1 霍尔位置传感器定标(I=0.5 A)d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

对照该黄铜材料特性的标准数据，E0黄铜=10.55×1010N/m2，百分误差为2.1%，测量效果较好。

在此基础上测量可锻铸铁的杨氏模量，测量结果如表2所示。

表2 铸铁试样不同力作用下霍尔电压

利用分组逐差法计算得ΔU=20.6mV，根据定标的霍尔位置传感器灵敏度，可求得ΔZ=0.036 4ΔU=0.036 4×20.6=0.750mm。所以，计算得到的铸铁的杨氏模量为

对照该铸铁材料特性的标准数据E0铸铁=18.15×1010N/m2，百分误差为0.4%，测量效果很好。

4.2.2 直流电流为1A

利用黄铜对霍尔位置传感器灵敏度进行定标，测量数据如表3所示，利用Origin对数据进行线性拟合得到如图9所示结果，霍尔位置传感器灵敏度为42.37mV/mm，相关系数R2=0.999 7。

表3 霍尔位置传感器定标(I=1 A)d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

图9 U～Z变化曲线(I=1A)

用逐差法对表3中数据计算黄铜样品在m=60g，g=9.8m/s2的作用下产生的位移ΔZ=0.788mm，将此值带入式(4)可得

=10.32×1010N/m2

对照该黄铜材料特性的标准数据E0黄铜=10.55×1010N/m2，百分误差为2.2%，测量效果很好。

在此基础上测量可锻铸铁的杨氏模量，测量结果如表4所示。

表4 铸铁试样不同力作用下霍尔电压d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

利用分组逐差法计算得ΔU=31.8mV，根据定标得到的霍尔位置传感器灵敏度，可求得ΔZ=0.023 6ΔU=0.023 6×31.8=0.751mm。所以，计算得到铸铁的杨氏模量为

=18.04×1010N/m2

对照该铸铁材料特性的标准数据E0铸铁=18.15×1010N/m2，百分误差为0.6%，测量效果很好。

4.3 铝合金板杨氏模量测量情况

利用改进装置测量较易形变铝合金横梁的杨氏模量。在所通直流电流为1A的情况下，测量不同应力下的霍尔电压值，如表5所示。

表5 铝合金样品不同作用力下霍尔电压d=23.00 cm b=24.00 mm a=1.000 mm

利用分组逐差法计算得ΔU=45.3mV，根据定标的霍尔位置传感器灵敏度，可求得ΔZ=0.023 6ΔU=0.023 6×45.3=1.069mm。所以，计算得到的铝合金的杨氏模量为

=6.97×1010N/m2

对照该铝合金材料特性的标准数据E0铝合金=7.2×1010N/m2，百分误差为3.2%，测量效果很好。

5 结 语

在霍尔位置传感器弯曲法测杨氏模量实验仪基础上，改变了梯度磁场发生器，采用反亥姆赫兹线圈实现均匀梯度磁场的构建，构建的磁场梯度大范围均匀并可调节。实验结果表明改进后的装置可显著提高测量精度，并且可实现较大微位移的测量。针对民航类学生而言，还可增加常用航空材料如铝合金杨氏模量测量的内容，宏观体会不同材料杨氏模量与形变难易程度的关系，加深学生对杨氏模量物理意义的理解。