具有p-Laplace算子的基尔霍夫型抛物方程解的爆破性质❋

戴江南， 王 建

(中国海洋大学数学科学学院， 山东 青岛 266100)

近年来，基尔霍夫型问题[1]的研究受到了相当多的关注。此类问题在非线性弹性、电流变流体和图像恢复等方面的应用中均起到重要作用。对它的解的存在性、非存在性、爆破、熄灭、衰减估计和渐进行为的研究有实际意义。由基尔霍夫首次提出了类似的方程，当考虑用弦长变化来描述被拉伸弦的横向振动时，这种方程通常被称为基尔霍夫型方程，方程形式如下：

式中:L表示弦的长度；ρ表示物质密度；表示横截面积；δ表示阻力模数；P0表示初始轴心张力；E表示杨氏弹性模量；u(x,t)表示弦上t时刻x点处的竖直位移。

针对这类问题，作者在文献[2-4]中运用泛函分析的方法，研究了基尔霍夫型方程解的存在性、唯一性和正则性。

文献[5]研究了如下含变指数的非局部基尔霍夫型抛物方程

(4)

在适当的假设下，作者利用Galerkin近似方法得到了其弱解的局部存在性。

文献[6-7]研究了下述具有非线性项的基尔霍夫型抛物方程

(5)

作者应用位势井法研究了方程(5)弱解或强解的全局存在性、唯一性和爆破性。对于任意初始能量，作者得到了解的全局存在性和爆破性的结果。

本文研究具有p-Laplace算子的基尔霍夫型抛物方程的初边值问题

(1)

u(x,t)=0, (x,t)∈∂Ω×(0,T),

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω。

(3)

文献[5]证明了方程(4)的弱解的局部存在性，但对其解的爆破性未作分析。受文献[5-7]的启发，本文运用能量估计和凸函数技巧对问题(1)～(3)的解的爆破时间在不同初始能量条件下做出估计，得到了不同条件下解的爆破时间的上界和下界。

1 预备知识

在本文中，采用以下记号：

(6)

(7)

易知，J(u)和I(u)连续，此外，有下式成立：

(8)

(9)

其次，由于方程(1)是退化的，它一般没有古典解。因此，我们给出问题(1)～(3)的弱解。

(10)

则称u是问题(1)～(3)在Ω×[0,T]上的一个弱解。

下面我们给出解在有限时间爆破的定义。

定义2令u(x,t)为问题(1)～(3)的弱解，如果

为得出初始能量J(u0)为非负时u(x,t)爆破时间的上界，需要如下引理：

引理1令J(u)和I(u)分别由公式(6)和(7)给定，且T>0为问题(1)～(3)的解u(x,t)的最大存在时间。令

则以下对所有的t∈(0,T)成立：

(11)

L′(t)=-I(u(x,t)) 。

(12)

证明 对于光滑解，取公式(10)的检验函数w=ut，则得公式(11)。通过逼近可知公式(11)对弱解同样成立。特别的，它表明J(u(x,t))关于t非增。取公式(10)的检验函数w=u，可得公式(12)。证毕。

引理2[7]设ψ(t)为正的二阶可导的函数，满足下列不等式ψ″(t)ψ(t)-(1+θ)(ψ′(t))2≥0，其中，θ>0。 若ψ(0)>0,ψ′(0)>0，则当

引理3[8]考虑特征值问题：

(13)

记λ1>0为问题(13)的特征值，则

(14)

注1结合不等式(14)和Hölder不等式，显然可得，

(15)

2 主要结论及证明

定理1设(r+1)p

J(u0)<0，

其中，

则存在T<+∞，使得解u(x,t)在有限时间下爆破，且T的上界如下估计形式：

(ii)

。

证明 (i)令

则L(0)>0，K(0)>0。由式(11)可得

这表明对所有的t∈[0,T) 有K(t)≥K(0)>0。由式(9)、(12)和0<(r+1)p

L′(t)=-I(u(t))=

(q+1)K(t)。

(16)

利用柯西-施瓦茨不等式，得

(17)

由公式(17)直接计算，可得

所以，

(18)

对不等式(18)在[0,t]上积分，可得

即

(19)

显然公式(19)不是对所有的t>0 成立，因此，T<+∞且

I(u0)=(q+1)J(u0)-

其中，

(20)

另一方面，由J(u(t))的单调性和公式(8)、(15)可得

≥

当t∈[0,T*]时，对任意T*∈(0,T)，β>0，σ>0，定义如下辅助函数：

(21)

通过计算得

(22)

F″(t)=2(u,uτ)+2β=-2I(u(t))+2β=

-2(q+1)J(u(t))+

(23)

对t∈[0,T*],令

由Young不等式和Hölder不等式可得，θ(t)在[0,T*]内是非负的。

F(t)F″(t)+

F(t)[-2(q+1)J(u0)+

2(q+1)F(t)[-J(u0)]+

对任意的t∈[0,T*]和

由引理2知

或

(24)

选定一个

(25)

(26)

又由β0∈

再对公式(26)右边取最小值，得

由于T*

证毕。

定理2设(r+1)p=q+10，使得问题(1)～(3)的弱解u(x,t)在有限时间T内爆破，其中

(27)

证明 对文献[10]的证明方法进行了改进。令

(28)

对(28)式关于t求导，并利用公式(9)得

(r+1)p(ut,ut)>0。

(29)

ψ(t)。

(30)

由公式(28)，(29)和J(u0)<0知，对所有t≥0，都有ψ(t)>0。

利用Hölder和柯西不等式，以及公式(29)、(30)得

(31)

表明

(32)

对公式(32)在[0,t]上积分，可得

再由L′(t)>ψ(t)，可得

(33)

对公式(33)在[0,t]上积分，可得

(34)

即

证毕。

之后，对问题(1)～(3)的解的爆破时间的下界给出估计。需要指出的是，前文的(i)和(ii)的情形可以统一处理。因为在求下界时，I(u(t))<0控制爆破的时间。

证明 首先证明，如果定理1的假设(i)或(ii)成立，则有I(u(t))<0，t∈[0,T)。实际上，当(ii)成立时，I(u(t))<0，t∈[0,T)在前文已给出证明。若J(u0)<0，由公式(11)知J(u(t))<0，t∈[0,T)。根据公式(9)和2p

由I(u(t))<0可得，对任意t∈[0,T)，

(35)

对公式(35)使用插值不等式，可得，对任意t∈[0,T)，

即

(36)

其中，C>0是仅与n、p、q和r相关的常数，

所以，由公式(12)和(36)得，对任意t∈[0,T)，

L′(t)=-I(u(t))=

(37)

其中，

因为当t∈[0,T)时，I(u(t))<0，所以当t∈[0,T)时L(t)>0。之后，对(37)两边同除以Lγ(t)，再在[0,t)上积分，可得

(38)

证毕。

3 结语