教材预设典型错例教学的价值与策略研究——以北师版小学数学教材为例

王会军

（广东省深圳市宝安区兴围小学）

在数学学习过程中，学生有时候会因为误看、误抄、误算、遗漏、混淆、思路偏差等原因而出现差错。这些差错可归纳为动口表达错误、动手操作错误、动笔练习错误及其它错误。学生在学习中出现错误是正常的，引导学生分析解决数学错误是非常有意义的。正如联合国教科文组织第十九次国民教育国际会议资料中指出：“教师应当利用学生所犯的错误来促进他们加深对数学要素和规律的理解”“在学生检查和改正自己错误的实践中进行练习”。而当前使用的北师版小学数学教材中编有许多预设典型错例，值得教师认真研究。在利用这些预设典型错例进行教学时，教师首先需要指导学生正确对待数学错误；其次，要引导他们产生分析数学错误、解决数学错误的需要；再次，要引导他们形成合理的知识方法构架和思维方式；最后，要帮助他们养成评析改错的习惯。

一、教材预设典型错例的含义与分布

（一）教材预设典型错例的含义

教材预设典型错例是特指北师版小学数学教材在新授环节的问题串或“试一试”中专门预设的与教学内容同步的错题。这些错题的设计意图旨在帮助学生突破学习中的重点和难点。这些错例的设计形式一般是围绕专门的知识点、思维方法去辨析和改错。同时，教材还在练习中预设了专门的改错题供学生辨析和训练，目的是使他们内化知识和方法。这种在教材中预设典型错例的方式，改变了以往数学教材中仅提供正例的情形，让学生学会从正例、反例两个方面去对比理解、纠错明理、强化学习，促使学生习得正确的知识经验、思想方法，发展了思维能力。

（二）教材预设典型错例的分布

当前使用的北师版小学数学教材预设的典型错例主要分布在数与代数领域、图形与几何领域，从例子到习题配有相关的数学错题，供师生研究学习，辨析理解，强化运用。除一年级上册没有预设数学错题外，从一年级下册至六年级下册在新授环节的问题串或“试一试”中安排了15处数学典型错例，并特地在二年级下册第五单元“加与减”中“算得对吗”的“试一试”环节，安排了错题评析课“错在哪里？算一算，说一说。说一说，减少计算错误有什么好方法？”指导学生分析数学错题，查找数学错误原因，采取合适方法解决计算错误；从一年级下册至六年级下册在整理与复习、总复习单元共安排了12处“把你经常出错的题目写下来，说一说计算中应该注意什么”“整理自己经常做错的题，说一说整数乘除计算中应该注意什么”引导学生学会整理错题，分析解决数学错误；从一年级下册到六年级下册的练习中共安排了36处“森林医生”改错题和3处如“读一读淘气的日记，把不合理的地方改正过来”。其它类型的改错题，教材中一共安排有66处典型错例，其中一年级10处，二年级10处，三年级21处，四年级9处，五年级10处，六年级6处。这是从教材的角度启示师生应重视数学错题，分析解决数学错误，提高评析改错能力和正确解决问题的能力。

二、教材预设典型错例的教学价值

皮亚杰关于学习的原理指出：“错误是有意义学习所必需的。”南京师范大学郑毓信教授也说：“现代教学思想的一个重要内容，认为学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个自我否定的过程。”我们要利用错题帮助学生在自我否定中找到错误产生的原因，使他们学会不断进行自我纠正，主动建构知识方法，不断提升思维能力。

（一）贴近学生实际，产生学习共鸣

当前教材中预设的错例主要来源于学生实际学习时所产生的数学错误作品，是站在儿童的视角，在尊重学情的基础上选编的。在利用教材预设典型错例教学时，学生往往会在心理产生共鸣“开始我也是这样想的，后来发现是错误的”“这样的错误提醒我要细心计算”“以后我不要再犯这样的错误”等。通过错例，要引导学生明白在学习上犯错是正常的，要从心理上接受错误，促使自己明确要有分析错误、改正错误的责任。

如一年级下册第五单元“加与减”第57页“收玉米”两位数加两位数不进位加法第3问（如图1）：

图1

二年级下册第五单元“加与减”第53页“小蝌蚪的成长”三位数减三位数退位减法第3问（如图2）：

图2

他们做得对吗？和同伴说一说。

学生在观察思考、交流分析中有这样的总结：“我是把写字时从左往右写的习惯用来列加减法竖式，左边先对齐”“我列竖式是对的，但是计算时却粗心地把减号看成加号，加号看成减号了”“我在退位减时快了，没有把借走的1拿走再减”等。这些与学生实际相贴近的错误，引发他们感觉到这些错误似曾相识，进一步明确了加减法计算时应该是“先对齐数位，从个位加（减）起”，计算时细心很重要，要减少错误等。

（二）触发思维碰撞，促进知识生长

学生的学习错误主要产生在新旧知识连接点、生长点处。一般会在遇到认知冲突，在思维方法上遇到障碍时产生。教材预设选取了相关的错例，目的是让学生在碰撞中分析思考，领悟新的知识。如三年级上册第一单元“混合运算”第8页“过河”小括号第2问（如图3）。

图3

通过对话，笑笑指出淘气的想法应该是先算加法，再算除法，但淘气列的横式却是先算除法，再算加法，两者相矛盾。

而原有的运算符号、顺序符号和运算顺序都不能解决这一问题。此时，淘气、笑笑充分体会到小括号产生的必要性，自然在“智慧老人”的讲解和数学史话介绍中，形成第二种正确的解法利用小括号来帮忙解决，符合解题思路——先算出一共有多少人去坐大船，再算总人数里有多少个9人，也就是要用多少条大船。触发了学生在新知识方法的形成过程中理解小括号、理解有小括号的运算顺序。

（三）呈现多元思考，掌握学习方法

由于学生的认知水平、知识基础有差异，对于同一个问题往往会有多种想法、做法，有合理的、也有错误的。现行教材据此预设呈现学生多元思考的作品，从中暴露他们的差错，引领他们在辨析中分析错因，解决错误，掌握正确的学习方法。如二年级上册第六单元“测量”第51页“课桌有多长”厘米的认识第3问（如图4）。

图4

教材采用连环画的方式呈现小熊用尺子测量铅笔的四种方法，暴露学生在这一测量活动中遇到的实际问题。学生通过对比分析每种测量方法的合理性与错误之处，结合智慧老人的讲解，明确有两种测量长度的方法。最终发现这两种方法都要关注测量的起点与终点，从而理解了所测量物体的长度正是起点与终点之间的距离差。

（四）结合讲解提示，培养习惯品质

在预设的典型错例中，教材适当采用了题组方式把正例与反例放在一起，便于学生对比分析，发挥正例的正面讲解与示范引领作用，理解知识方法，掌握解题思路。同时，采用智慧老人讲解的方式或者以感悟语的方式，提醒学生重视培养认真、细心的学习品质，养成检查与验算的良好习惯。

如六年级上册第一单元“比例”第21页“比例尺”第1问（如图5）。

图5

学生在辨析中发现淘气的画法是把三个不同的距离都用一样长的线段来表示不合理，是反例；笑笑的画法用1厘米长的线段表示100米，分别画出100米、200米、300米的合理长度，是正例。正反对比，就能使学生体会到比例尺的意义。

（五）梳理算理算法，提高反思能力

为了使学生自主收集错题，分析改正错题，进一步理解算理算法，提高计算能力，除一年级上册、二年级上册两册教材外，其它每册教材均在总复习的回顾与交流中抛出了一个有关收集错题的问题。在“我的成长足迹”中分享与交流出错的原因和减少出错的方法等，能帮助学生培养整理错题的习惯，提高评析改错能力和反思能力，发展批判性思维能力，完善知识方法系统建构。

如一年级下册总复习第84页第5题：把你经常出错的题目写下来，说一说计算中应该注意什么。五年级上册总复习第106页第4题：整理自己经常出错的题目，说一说小数除法计算中应该注意的地方。六年级下册总复习第72页第5题：整理自己经常出错的题目，说一说计算中应该注意的地方。一年级下册总复习第84页：在相互启发中找到错因。（如图6）

图6

三、教材预设典型错例教学的策略

（一）上好错题评析课，指导学生评析改错

教材预设的66处典型错例中，在新授环节只呈现了15处。可见，教师在新授内容时指导学生对每一处差错进行评析改错尤为重要，要引领学生自觉地知错、析错、改错、防错。

特别是一年级下册第五单元“加与减（二）”第57页“收玉米”中，两位数加两位数不进位加法第3问“说一说，错在哪里？”（如图7）

图7

作为第一个教材预设的典型错例，教师应认真上好这一错例评析，指导学生在观察、讨论、评析中明确第一个竖式是方法性错误；第二个、第三个竖式是感统性错误。要理解相同数位上的数才能直接相加，计算时应对齐数位，理解算理与算法；要在相互交流中明确计算时应逐步养成认真仔细不粗心的品质，养成看清运算符号与数字、注意是否进位退位的审题习惯。

同时，应认真研究并上好二年级下册第五单元“加与减”第57页“算得对吗”试一试中第1问与第2问的内容。（如图8）这是一节专门从学生角度提供的错题评析改错课，教师应珍惜这一内容的教学契机，先引领学生认真观察加法错题与减法错题两大素材，解决第1问“错在哪里？算一算，说一说。”重在帮助学生找到错误之处，找到错误原因，以防止今后这些错误再次发生，并且明白这是一种好的学习方法。然后，小组合作交流解决第2问“说一说，减少计算错误有什么好方法？”让学生进一步明确在学习过程中自我反思和对学习方法的梳理都是非常好的习惯。特别是与重复性的机械训练相比，好方法的形成对学生长远发展及成绩的提高都更为重要。其中，智慧老人的提示既是一种学习方法的指引，又在启示师生树立错误资源意识，重视错题研究具有重要意义。通过笑笑、淘气与机灵狗的对话，进一步梳理运用计算法则准确进位、退位等计算方法，养成检查、验算等学习习惯和认真、细心的学习品质，可以减少计算错误，提高计算能力。

图8

由此，引发教师尝试上好每周数学错题评析改错课、每单元数学错题评析改错课和试卷评析改错课；触发学生重视平时的数学错题评析改错，减少错误，提高学习质量。

（二）比较正例与反例，确定反例错误之处

教材在有些新旧知识生长处、思维转折处、理解困惑处、方法混乱处预设了由正例和反例组成的题组。这样做，目的是让学生对正例、反例进行比较，在辨析中确定正例，进一步清晰正例的解题思路、解题依据、掌握数学新知、理解思想方法，从而找出反例，比较反例与正例的不同，找出反例的错误之处、不合理之处。如三年级上册第一单元“混合运算”第5页“买文具”第3问（如图9）。

图9

在对比中发现，第一组算式右边是正例、左边是反例，第二组算式左边是正例、右边是反例，明确这两个反例属于知识性错误与理解性错误，应掌握运算顺序和书写格式，像正例一样正确计算。

（三）找出错误原因，寻求解决错误的依据

学生找出错例的出错之处后，教师应进一步引导学生明确错例的类型。要合理分析出错的原因，主动找到正确解决错例所要运用的数学知识方法、数学思想及思维方式等，及时改正错误，做到知其然更要知其所以然。如四年级下册第三单元“小数乘法”第42页“蚕丝”第1问（如图10）。

图10

这属于理解性错误、方法性错误与思维性错误，在辨析中确定1.2×1.25列竖式计算是正确的，而横式的递等式计算主要源于学生的惯性思维：把两个乘数1.2和1.25分别拆开用整数部分与整数部分相乘、小数部分与小数部分相乘来计算。但是，用横式计算的结果却与竖式计算的结果不同，可见拆数相乘有问题。这时，可以利用数形结合思想，师生动手画出长方形面积图进行分析，发现少算了1×0.2与1×0.25两个小长方形的面积，出错的原因是思维定势、方法缺失、表象模糊。若利用乘法分配律扩充，把递等式修改为1.2×1.25=1×1＋1×0.25＋0.2×1＋0.2×0.25，就能走出习惯性思维，改正错误，培养思维的准确性、严谨性、合理性、灵活性。

（四）培养良好习惯，养成优秀的学习品质

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二部分课程目标里阐述：“学生要在情感态度目标中养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。”现行教材在预设的6处典型错例中安排指引学生养成检查、验算习惯；在预设的5处典型错例中安排培养学生认真、细心的学习品质。为了减少和避免数学错误，教师应抓住这些预设的典型错例的教学时机，着力培养学生良好的数学学习习惯和优秀的学习品质，保障学习质量。如四年级下册第五单元“方程”第61页“字母表示数”第2问（如图11）。

图11

“用一句话来表示数青蛙这首儿歌。”学生会从不同的角度用不同的方式表示，需要学生在评析中质疑问难，理解用字母比文字表示更简洁，相同的字母表示相同的数，不同的字母表示不同的数。要用一句话表示的话，应找到青蛙的腿数与青蛙只数之间的数量关系（倍数关系），确定第一种、第二种都不对，第三种才是合理的。学生在辨析思考、交流分享中培养善于思考、敢于质疑问难的学习品质和勇于改正错误的精神，养成了主动寻找等量关系的思维习惯，发展了代数思维。

（五）及时改正错误，防止类似错误再犯

对于教材中新授环节预设的15处典型错例，学生找到错误、厘清错因后，还应及时改正错误，形成正确的解答过程。同时，对于练习环节预设的36处森林医生和3处其它类型的改错题，学生也要在独立思考基础上，找准错误症结，找到解决策略与依据，认真改正。从中还要检验学生内化知识方法的能力，突破教学重点难点，并提醒今后不再犯类似的错误，提高解决问题的能力。如二年级下册第四单元“测量”第35页“铅笔有多长”练一练第4题。

读一读淘气的日记，把不合理的地方改正过来。

今天早晨，我从2分米长的床上爬起来，拿起1毫米长的牙刷剧完牙后，洗了洗脸，用70来长的毛巾把脸擦干，吃过早饭去上学。学校离我家不远，大约有900毫米远。来到学校，我坐在5米高的凳子上，拿出7厘米厚的语文书，准备开始上语文课。

这属于理解性错误，淘气对毫米、厘米、分米、米这4个长度单位的数学意义与实际意义的理解，整体上是表象模糊，没有建立合适的标准长度单位参照物，不能灵活沟通它们之间的联系，导致淘气错误多。

我们应引领学生结合具体情境中实际物体的长度大小，选择合适的测量单位，匹配相应的数据进行改正。如测量学校与家的路程用“米”这把尺子来度量，把900毫米改为900米，比900毫米=9分米更合适等。

（六）自主收集错题，深入梳理算理算法

通过每册数学总复习单元中回顾与交流预设的题目“把你经常出错的题目写下来，说一说计算中应该注意什么”“整理自己经常做错的题目，说一说计算中应该注意的地方”“整理自己经常做错的题，说一说整数乘除计算中应该注意什么”“整理自己经常出错的题目，说一说小数计算中应该注意的地方”“整理自己经常出错的题目，说一说分数四则混合运算中应该注意的地方。”组织学生在每册的单元整理与复习、总复习中重视自主收集数学错题，学会归类分析，梳理计算的道理与方法，明确注意计算的易错处，把握计算的关键点，提高计算正确率。启示学生平时应重视收集错题，及时分析错因，纠正错题，可以减少错误，甚至避免错误，提高学习质量。同时，启示教师在平常的教学活动中及时收集学生的典型错误，用好差错资源，做好错题评析改错，进一步明理通法，提高教学质量。

（七）适当编制错题，拓展其它领域错题教学

叶圣陶先生说：“教材是一个例子。”同样，北师版小学数学教材预设提供的这些典型错例，也是师生进行差错教学的好例子、好资源。我们在以教材预设的典型错例为基础，用好这些错例的同时，还应从学情出发，根据学生的实际情况适当编制错题予以补充，方便他们全面评析改错，解决系列学习困惑。如四年级下册“字母表示数”一课“用一句话表示数青蛙这首儿歌”，从学生实际出发还可以补充“几只青蛙几条腿”“多少只青蛙多少条腿”“几只青蛙几×4条腿”“1只青蛙x条腿”等，让学生充分体会用字母表示数的简洁性、方便性，感受抽象性与符号化。

同时，由于教材预设的66处典型错例中有63处属于数与代数领域，3处属于图形与几何领域，而统计与概率领域、综合与实践领域均没有提供错例，所以实际教学中教师还有必要围绕后两大领域教学时，设计学生可能会出现错误的错题，让他们在辨析中解决错误，理解新知方法。而且数与代数领域中预设的63处错例，有60处错例是针对计算差错来讲的，只有3处错例是侧重讲数学思维过程。可见，教师还应该设计更多有关学生思考方法缺失、思维偏差等方面的错题，解决学生数学学习中的核心问题、关键能力。如学习组合图形时，许多学生不会自觉合理分割、填补图形，不会找出隐含条件与对应数据进行标注，更不会用小标题方式写出解题思路而错误多，因此教学中教师应出示这些差错给予学生辨析、明理通法。

通过利用教材预设典型错例教学，教师可以引领学生经历发现错误、分析错误、改正错误、反思学习的过程。在这个过程中，要鼓励学生树立差错资源意识，正视学习错误，养成及时收集、分析、处理错题的习惯，培养认真、仔细、质疑、修正的学习品质；要让学生从教材走向作业，从书面走向口头，从操作走向思维，从课堂走向课外，不断自我反思，不断改善思维方式，学会辩证地看待问题；要提高评析改错能力和正确分析问题、解决问题的能力，发展批判性思维能力，促进创新思维发展。