等角旋转法“应力泡”绘图与分析方法研究

关成尧 赵国春 刘晓燕 郑承志 白相东 姜纪沂 袁四化

摘 要：针对城市地质中“天际线”地质规划工作需要，在地层均质弹性假设条件下，对地表带状载荷的建筑或者工程构建等角旋转法“应力泡”绘制方法进行讨论，并在此基础上绘制最大主应力的方向和大小，实现对地下空间建筑应力场的刻画，从几何学上实现建筑应力场和地下空间的沉积地质模型对接，从而为地质规划提供几何学分析依据。

關键词： 城市“天际线”;“应力泡”;建筑载荷应力场;地质规划

Abstract：Aiming at urban skyline geological planning with inhomogeneous elastic hypothesis conditions， this paper builds a equal-angle-rotating method to draw stress bubbles that applies to the surface building or engineering of strip-shape load. On the basis of this， the direction and size of the maximum principal stress is drawn and also the building load stress field of underground space. Correlation between the structure stress fields and the deposit geological model of the underground space is realized geometrically， thus providing the geometry analysis basis for geological planning.

Keywords： city “skyline”; pressure （stress） bubble; building load stress field; geological planning

2008年“5·12”汶川地震惨痛的教训告诉我们，城乡地质规划是一项非常重要的工作， 可为城乡规划与布局、选址、规划用地评价等提供必要的基础资料，是城乡规划的基础（官善友等，2008）。近些年城市地质迅速发展，主要表现在地球物理探测技术（罗波，2020）、遥感探测及InSAR技术（武宇等，2020）、地质建模技术（周圆心等，2019）等方面的发展。地质安全评价是非常重要的关注点（董英等，2020），城市地质规划中经常会涉及“天际线”问题，即城市土壤沉积物经过调查后，确定其物性指标（彭克群等，2020;王国晨等，2019），再依据物理特性确定可用于城市建筑的最高载荷（楼层）的方法，其中，城市地质工作中，“压力泡”是一个重要的概念（莱格特，1985）。由于目前平原区沉积物的调查与研究主要由地质领域人员完成，基础地质领域人才对沉积学及其研究方法比较熟悉，无疑是解决城市沉积层序（或者沉积朵页）问题的有利人群。为了避免基础地质人才在应用数理计算方面的困难，关成尧等（2021）提出了中心应力法（圆形载荷）应力泡和建筑（载荷）应力场的刻画方法，为了更好地和构造应力场建立联系，“压力泡”的概念也演化为“应力泡”的概念，但对于“天际线”地质规划问题，其实用性还有待进一步发展;建筑应力场的概念是对传统大尺度构造应力场的一种补充，文中所论述的两种场（等值线场和应力迹线场）的表达方法对于未来构造应力场的发展提供了方向。本文着重讨论针对长度明显大于宽度数倍以上的长条形载荷（或带状载荷）建筑或者工程的“应力泡”绘制及其建筑应力场的基本分析方法。

1 理论基础

1.1 理论前提

太沙基（1960）的《理论土力学》提供了深部任意点位置N在长条载荷或者带状载荷（宽度为2B）作用下（图1）最大主应力σ1和相关角度之间的关系，事实上是一种简化为二维问题的方法，该类论述也可见于耶格（1982）的著作。

图1存在式（1）的不变关系：

式中，角度φ0 的单位是弧度，σ1为最大主应力。从式（1）中可见，σ1单一地由φ0来决定，这就产生了本文绘图方法的基础：σ1和φ0之间的单一对应性关系。

1.2 理论计算

根据式（1）及图1中的σ1和φ0之间的单一对应性关系，定义一个参数为应力系数J，如式（2）：

应力系数是地下任意深度未知的σ1和地表建筑的单位载荷q之间的关系，根据（2）式计算几个关键应力系数（城市地质、工程地质领域容易用到的应力系数）所对应的角度φ0如表1所示。

表1中的角度φ0的单位为度，表1中的角度φ0就是建筑宽度（图1中A-B或长度2B）和计算点之间的连线夹角，如此就建立了后文各个数值的σ1和角度φ0之间的一一对应关系，这些应力系数恰恰是“应力泡”绘制所用的应力系数，表1中存在0.1等差取值和折半取值（表1中的红色字体）两套数据。

2 应力泡绘图方法

（1）等角旋转法的内涵

等角旋转法依据σ1和角度φ0之间的一一对应关系，在A和B两点限制的条件下，绘制通过A和B两点的（任意目标角度φ0）的连续圆曲面。具体需要先制作一种目标角度φ0为尖角的硬纸板，通过目标角度硬纸板的旋转实现“应力泡”曲面的绘制，由于这个圆曲面是在等角φ0的前提下画出的，并且是硬纸板旋转的方法，本文称其为等角旋转绘图法。后文以半宽度B=20 m（载荷在地面投影的长边为无限大）的建筑载荷为例来阐述这个绘图过程。

（2）绘图前的准备

在绘图前需要制作目标角度硬纸板，或者目标角度系列的硬纸板即可，具体过程如下：

a）制作系列角度硬纸板

根据需要选择表1中的应力系数，如有读者喜欢用0.5、0.25、0.125这种折半取值，也可以用0.9、0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2、0.1这个0.1等差取值系列（事实上这个系列在真实的地质体的评价实践中更加精细）。但为了表达问题的方便简洁，以及图形的简洁，本文选用0.5、0.25、0.125這折半取值系列以及0.8这个应力系数进行举例。

b）坐标和比例尺的选用及绘制

在一般的城市地质绘图中，可以根据坐标纸的尺度选择比例尺，也可以用已有地质剖面图的比例尺来画图（推荐），也可以用透明纸绘制后用以和剖面图进行比对和拓印。

（3）应力泡绘图方法

具体的绘图步骤如下：

a）长带形建筑体的宽度为2B（A-B两点之间距离），根据绘图纸选用合适的比例尺，然后按照比例绘制纵横坐标，用表1中固定角度φ0的纸板在A-B约束的2个点内（纸板始终紧贴着AB两点）转动纸板绘制圆曲线（绘图笔在φ0尖角的顶端），这个圆曲线就是本文所要绘制的应力泡，相同的方法绘制各个需要角度的“应力泡”圆曲线系列，“应力泡”圆曲线系列均通过A、B两点，分别与纵坐标轴的下交点为C1、C2、C3、C4，上交点为D1、D2、D3、D4，如图2所示。

b）分别标注目标圆曲线系列的应力系数系列（如4/5、1/2、1/4、1/8）于对应的“应力泡”之上。事实上，只要制作了目标系列角度的硬纸板，直接应用目标硬纸板在图2的纵坐标轴上标注C1、C2、C3、C4点，然后连接Ci和A、B 3点画第i个圆，也可以在没有制作硬纸板的条件下应用量角器实现“应力泡”系列的刻画，就实现了关成尧等（2021）提出的作图法一样简便的近似方法。

3 建筑应力场与应力网格绘图方法

建筑载荷的附加应力场有些特殊性，一种是以等应力线绘制的应力场，表达的是σ1的数值相等线，另一个是用σ1和σ3的方向表达的应力迹线。等应力线更有利于计算具体局部的受力问题和塑性变形的驱动力，而应力迹线以及在此基础上经过简化绘制的滑移线场更能体现潜在的破裂面的产状变化趋势（关成尧等，2018），这些潜在的破裂面可以是节理、微破裂、土壤中或沉积体中的微滑移带以及斜坡体启动的滑移带等。所谓建筑应力场包含应力的大小和方向两个方面的涵义，而“应力泡”主要体现其大小的涵义。

3.1 建筑应力场的等应力线绘制

建筑应力场的等应力线（场）的绘制方法如下：

（1）制作长方形纸板，纸板的长边大于C3和D1之间的距离。

（2）制定单位建筑载荷q的比例长度（如果需要绘制多个载荷方案，建议这个不同单位载荷之间成比例处理，以方便以后可能用到的对比和应力的合成及分解）。

（3）应用长方形纸板的长边连接Di点和圆i上目标位置，并使得长方形纸板的直角尖端点恰恰在目标圆i上，并根据单位建筑物载荷q，分别在圆i上选取σ1为目标应力系数系列的矢量长度（如为4/5、1/2、1/4、1/8），以这个固定长度根据长方形纸板在图3所规定方向绘制σ1矢量。理论上可以根据一个盆地的平均侧压系数（李传亮等，2017）推算σ3，并绘制按照侧压系数为比例关系估算的σ3的大小，但一般事实上，这个σ3只有方向意义，而没有足够准确的大小意义。这样就获得了局部应力的理论值（σ1数值是可靠的，σ3的数值是根据侧压系数估算的）。沿着长方形纸板的长边和短边分别从直角尖端点绘制目标长度的σ1和σ3的矢量（各个应力圆对应的应力大小分别是4/5、1/2、1/4、1/8倍的单位载荷q），以此方法重复绘出各个需要点的应力矢量（σ1和σ3的矢量），绘制好的应力矢量（σ1和σ3的矢量）如图3所示。

在图2和图3中，最大主应力σ1是准确的，而σ3数值是示意的，σ3方向可靠，σ3大小的准确性就依赖于本区岩石的侧压系数估算的准确性，侧压系数一般在0.6～0.85之间。

3.2 建筑应力场的应力迹线绘制

应用前述方法绘制足够数量的应力矢量（σ1和σ3矢量）之后，还可以应用插值与趋势线方法绘制σ1和σ3的应力轨迹线，如图4所示。这样就有一个相对直观的应力网格的几何形态供后续可能的分析，具体画线采用就近平行、两条矢量之间取对称、趋势插值等方法即可。

获得“应力泡”和应力网格之后，就获得了两种应力场（等应力线场和应力网格）的表达方法，就可以进行后续的滑移线场等几何刻画，根据滑移线场的一般性要求，只需要明确σ1和σ3的方向，并已知本区岩石的内摩擦角，就可以刻画出滑移线场的方向和几何特征，但这是忽略原位应力场存在的前提下刻画的，如果需要相对准确的滑移线场以及具体强度及安全系数的刻画，建议做本文的“应力泡”、应力网格和原位应力场叠加后再做后续的滑移线场等分析计算。

从本文绘制的“应力泡”的应力系数和笔者已发论文（关成尧等，2021）的讨论都含有1/2、1/4、1/8，现定义一个概念——“穿透深度”，就是形如（1/2、1/4、1/8）等这些应力系数所画出的“应力泡”和图2—图4中的纵坐标相交的埋藏深度系列，因此，也就存在1/2载荷穿透深度、1/4载荷穿透深度、1/8载荷穿透深度等。如果拿本文的图2—图4的穿透深度和圆形载荷的应力系数所涉的穿透深度相比较，本文的带状载荷（二维模型）的应力系数（1/2、1/4、1/8）分别对应的穿透深度为46 m、98 m、200 m，而圆形载荷（关成尧等，2021）的同应力系数的穿透深度为85 m、140 m、213 m，因此“穿透深度”就是以某一应力系数为参考的不同建筑载荷的“应力泡”尺度的度量。如果为了比较本文的带状载荷和圆形载荷的差异，这两列穿透深度直接比较是不合理的，还需要提出另外一个概念“无因次穿透深度”，也就是 “穿透深度”/建筑物宽度2B，则本文应力系数（1/2、1/4、1/8）对应的“无因次穿透深度”分别是（1.15 m·m-1、2.45 m·m-1、

5 m·m-1），圆形载荷（关成尧，2021）对应的“无因次穿透深度”分别是（0.85 m·m-1、1.4 m·m-1、2.03 m·m-1），有了这两套数据，就可以在知道建筑物的宽度和单位载荷的情况下大致地对“应力泡”的尺度了然于胸。对比两组“无因次穿透深度”，可见圆形载荷的“无因次穿透深度”明显小于本文的“无因次穿透深度”，并随着应力系数的减小，这种差异性就越大，这符合“应力泡”规律。但圆形载荷和本文的带状载荷（假设建筑的长度为无限大，因此简化为二维问题）是建筑载荷或工程载荷的两个极端，大多数的建筑载荷或工程载荷都介于这两者之间，换句话说，大多数的建筑载荷或工程载荷应力泡的无因次穿透深度介于两者之间，并随着建筑物的长宽比加大而穿透深度加深，逐渐趋近于本文的带状载荷的穿透深度，并且其“应力泡”形状应该是一个椭球体，从已建设区较为精细的建筑应力场与地下空间应力场的分析需要来看，不同长宽比的载荷和椭球几何参数之间的连续过渡关系在几何上如何通过绘图的方法实现是亟待解决的问题，但对于一般性未建设地区的“天际线”地质规划的角度来讲，将本文的“带状载荷”对应的“应力泡”作为“更加严格”的要求性条件进行规划一般是可行的。

4 结论

（1）在地层均质弹性假设条件下，针对地表带状载荷的建筑或者工程，构建等角旋转法绘制“应力泡”的方法，并在此基础上绘制最大主应力的方向和大小，实现对地下空间建筑（载荷）附加应力场的刻画，从几何学上实现建筑应力场和地下空间的沉积地质模型对接成为可能。

（2）带状载荷（二维模型）的穿透深度明显大于圆形载荷的同应力系数的穿透深度，并随着应力系数减小，这种差异性就越大。

（3）不同长宽比的载荷和（椭球形）“应力泡”几何参数之间的连续过渡关系在几何上如何通过绘图的方法实现是亟待解决的问题。

（4）对于一般性未建设地区的“天际线”地质规划，“带状载荷”对应的“应力泡”作为“更加严格”的要求性条件进行规划是可行的。

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