Hamilton原理的应用

覃宝丞

天津师范大学 物理与材料科学学院 天津 300000

1 理论

在经典情形下,要求实物粒子的运动只需要牛顿定律即可比较精确地得到粒子的运动方程。但是在微观情形下,牛顿定律无法得到微观粒子的运动方程,此时需要量子力学去处理这样的问题。通常运用薛定谔方程来求解微观粒子的运动。

分析力学于量子力学之间有着紧密的联系,分析力学中常应用变分原理来解决粒子运动问题,如果推广至微观粒子情形则可尝试运用Hamilton原理并由粒子运动的拉格朗日密度去求解波函数。

Hamilton原理的内容为[1]:在相同时间内保守的、完整的力学体系中,由某一初位形转移至另一已知位形的所以可能的运动中,其真实运动的主函数具有稳定值,即对于真实运动来说,主函数的变分为零。

若设qα（α=1,2,…,s）为广义坐标,t为时间,则当δt=0时有,

又由（1）有

式（4）即为Hamilton原理的数学表达式:

波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。为了定量地描述微观粒子的状态,量子力学中引入了波函数,并用ψ表示。一般来讲,波函数是空间和时间的函数,并且是复函数,即ψ=ψ（x,y,z,t）。玻恩假定 就是粒子的概率密度,即在时刻t,在点（x,y,z）附近单位体积内发现粒子的概率。波函数ψ因此就称为概率幅。在上世纪二十年代,德布罗意提议,与任意物质粒子的运动相关联的是一组平面波,全部平面波均由一个波函数表征。

波函数并不携带着能量与动量,只起着引领粒子运动的作用,加载于粒子运动内。在比较德布罗意理论内的"排和"后发现,日常光波仅仅是附属在其相随光量子的德布罗意波。研究者从该实际情形中发现,两个差异化的本体论内涵上的推断:其中之一为实在论倾向的推断,最初为德布罗意倡导,紧接着被薛定谔所采纳。这一推断宣称,德布罗意波就像普通光波那样,为实际存在的、立体的、连绵不断的物质波;另一个推断实质上具有几率性。首先由玻恩得出,随后为多数人采纳并作了统计诠释。波函数这一理论术语的提议和其蕴含的物理含义一—几率密度幅一一的明晰化造成量子力学完全脱离了经典力学的看法,是以费曼把波函数看成为量子力学理论内最根本的理论术语。[2]

提升自身的知识技能和个人素养，也是增加婚恋筹码、规避单身的重要途径之一。现阶段精准扶贫过程中，劳动部门举办了多次专门针对贫困农村青年的职业技能培训和就业辅导，农村青年应抓住有利机遇，积极学习，掌握一技之长，提高致富能力，摆脱经济上的贫困，增强在婚姻市场上的竞争力，从而降低单身的几率。

2 应用

若已知带电粒子在电磁场中的拉氏函数,则有可能通过Hamilton原理来求解带电粒子的运动,即得出带电粒子的波函数。

设带电粒子波函数为ψ（x）,电磁场四维矢势Aμ（x）,在时空点x处波函数的第α分量为ψα,

由Hamilton原理有

整理上式第三项由分部积分可得[4]

所以

同理第四项得

把（13）（14）代入（11）得

式（11）即为有粒子波函数的偏微分方程,若已知拉氏密度则可求粒子波函数。

由此可看出Hamilton原理的普适性,合理地运用Hamilton原理可以比较方便地求解一些较复杂的数学与物理问题。