核心素养视域下的数学建模活动的开展——以“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”建模为例

安徽 王东旭 洪 亮

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)将数学建模上升到数学学科核心素养的高度，核心素养视角下的数学建模要求建模以“活动”的形式开展，包括选题、开题、做题、结题共四个环节.笔者紧扣数学建模活动的过程，以四个环节为主线，设计并实施了“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”建模活动，以期提升学生的数学应用意识和创新能力，促进数学学科核心素养的形成和发展.

《课程标准》指出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现.《课程标准》将数学建模纳为数学核心素养之一，由此可见数学建模在学生发展中的重要地位.从核心素养视角提出数学建模是对数学建模教学的重新规划，是新旧版《课程标准》关于数学建模的最大区别.

《课程标准》明确了数学建模活动的课程定位，指出数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.这句话表明数学建模活动是一个用数学知识解决实际问题的综合类实践活动，建模过程是“活动”的过程，而不是应用题教学，教师是建模活动的组织者、引导者、合作者.活动形式上，要求以课题研究的形式展开，课题研究包括四个环节：选题、开题、做题、结题.

按照《课程标准》的要求，以核心素养为视角，笔者精心设计并实施了一次数学建模活动，与学生共同经历了建模活动的全过程，深受启发，笔者将课程设计思路、主要环节以及课程实施的主要过程、建模的感受，记录下来，以飨读者.

一、活动选题

《课程标准》要求在必修阶段、选择性必修阶段各安排一次数学建模活动，2020年安徽省首次进入新课程改革序列，开始使用2019版新教材(人教A版).新教材的第一册第四章章末要求开展一次数学建模活动.根据《课程标准》关于选题的指导，结合实际，笔者自主选定了本次建模活动的课题——“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”.

二、活动目标设置

(1)要求学生能对现实问题进行数学抽象，准确收集数据，正确分析数据，建立适当的函数模型，利用信息技术工具求解模型、检验模型、优化模型，最终达到解决实际问题的目的.

(2)经历数学建模活动的全过程，感知建立函数模型解决实际问题的一般方法，体会现实世界与数学知识之间的紧密联系，在探究的过程中提升应用意识和创新能力.

(3)通过本次活动，培养学生的团队合作精神，增强学生的集体荣誉感和责任感.

三、学情分析

(1)学生已经学习了指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质，掌握了函数模型应用的基本方法与步骤，具备了从图象直观获取结论和根据数量关系进行推理论证的能力，这些为本节课建立函数模型解决实际问题做了铺垫.

(2)学生的计算机课程已经初步学习了在Excel上进行绘图、模拟函数图象等知识，计算机基础知识的习得对模型的建立和选择起到技术支撑的作用.

(3)本次建模活动的对象是高一学生，他们还缺乏数据统计方面的知识，例如散点图、线性回归方程、相关指数R2等.因此在本次活动进行中，需要适时开展这方面知识的指导.

四、活动策略分析

1.活动资源

(1)为了使每组建模获得的数据相对一致，每组的实验需要在同等条件下进行.校园餐厅具有同一品牌型号的燃气灶若干，同一大小的烧水壶若干，经与餐厅商量，决定在餐厅进行建模实验.

(2)实验获取的数据需要在计算机上进行处理，因此做题的过程安排在校园计算机中心进行.

2.活动的组织与安排

(1)课题组的构成：本次活动的学生群体是安徽省滁州二中宏志班学生，他们思维活跃，有丰富的探究活动经验.班级共有36人，笔者按组内异质、组间同质的原则将班级分成9组，每组4人．每组选定一位数学素养和组织协调能力相对较高的学生做组长，负责本组一切事务，包括组员的任务分工、方案实施、开题报告的撰写与汇报等.

(2)由于这是学生初次开展数学建模活动，学生对数学建模的流程尚不熟悉，为此在样本数据的收集上进行了统一.收集哪些样本数据，如何收集数据，在开题、做题过程中，笔者以“问题串”的形式与学生共同探讨，引导学生不断探索前进.

五、开题——提出问题

开题时，让学生通过自主学习、教师指导、实验操作、查阅资料、复习回顾等形式，完成以下几方面任务.

任务1.回顾已学函数的定义、图象和性质，形成思维导图.

【设计意图】

本次建模属于函数建模，是以学生刚学过的函数的概念与性质、基本初等函数为基础的，是函数模型的实际应用.

任务2.由学生自学、教师指导相结合的方式，完成数据统计方面知识的学习，主要包括散点图、线性回归方程、相关指数R2等.自学材料(包括纸质、PPT等)由教师提供.

【设计意图】

建模实验收集的数据需要有一定的统计知识，高一新生虽有初中的统计知识，但对于数学建模还不够.通过自学能锻炼培养学生的自学能力和应用新知识解决问题的能力.

任务3.以小组为单位，带着以下问题清单进行调查研究，研究的方式包括实验操作、上网查询、现场咨询等.

问题1.影响燃气使用率的因素有哪些，主要因素是什么？

问题2.用气量与燃气灶旋转角度之间是什么关系？试简要分析这种关系.

问题3.在收集不同旋钮角度时的燃气用量时，旋钮角度应当如何选择？随机选择还是角度等分？哪种方式更合理？

【设计意图】

带着问题去初探，能够让学生在实验数据的收集时目标清晰，做到有的放矢，为后续正式做题打好基础.

【汇报展示】

针对以上的问题，笔者组织了汇报展示，学生们的参与度很高，组别之间形成了竞争.由于篇幅所限，这里只整理最终的结论.

(1)问题1，同学们发现烧开一壶水的燃气用量与燃气灶旋钮角度、燃气灶支架高度、燃气灶的品牌等因素都有关系.在此，引导学生我们只研究一个问题：燃气用量与旋钮角度的关系，从而突出课题研究的主题.

(2)问题2，烧开一壶水，对于每一个旋钮角度都有唯一的燃气用量与之对应，所以燃气用量与旋钮角度之间是函数关系.具体地说，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热量不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境.随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大，烧水用气量则会有所减少.但是，旋钮转角很大时，燃气不一定充分燃烧，过分的热量也不能充分作用于水壶，会产生浪费，反而会使烧一壶开水的燃气用量增大.

(3)问题3，旋钮角度的选择不一定要等分，但角度的选择应该要具有较好的代表性，选取的角度应覆盖0°～90°范围.角度选择越多，越能反映真实情况，但相应的实验成本也会越高.经过师生的探讨之后，决定选取五个有代表性的角度：18°，36°，54°，72°，90°.

通过以上过程，小组撰写开题报告.之后，小组开始正式做题.

六、做题——建立求解模型

1.实验、收集数据

每小组都获得了一些具体的数据，实验受各方面的因素影响较大，各组数据存在着较大差异，笔者带领学生分析每组数据的优劣，并给出恰当评价.从中选取了一组较好的数据作为模型建立的依据，并将数据以表格的形式整理出来.

项目旋转角度燃气表开始时读数/m3水开时燃气表读数/m3燃气用量/m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172

以x表示旋钮角度，纵坐标y表示燃气用量：

x(旋转角度)18°36°54°72°90°y(燃气用量/m3)0.1300.1220.1390.1490.172

【设计意图】

数据以表格形式呈现清晰直观，体现了用数学语言来表达实际问题的能力.

2.建立并优化模型

这一阶段学生要完成以下几项任务.

①利用Excel作出散点图，增进几何直观；

②选择函数模型，显示拟合曲线及解析式；

③根据模型求解最少的燃气使用量以及此时的旋钮角度大小；

④检验模型是否与实际相符，并对模型进行优化.

以旋钮角度x为横轴、燃气用量(单位m3)为纵轴，利用Excel绘制散点图.

各小组选择并建立了三种函数模型：一次函数、二次函数、对钩函数，并对所得模型进行了优化.小组分别进行展示汇报和互动交流.

组1选择一次函数，解析式为y=0.000 6x+0.109 1，从图1看各点偏离较大，相关指数为0.820 7，相对较大.该函数是单调增函数，理论上当x为0°时，用气量最小，显然与实际情况不符，于是组1对该模型进行了优化.

组3得到散点图之后，发现散点的分布规律与幂函数较为接近，于是他们选择了幂函数模型，如图所示.

3.模型比较

小组汇报展示了各自所得模型后，同学们开始了热烈的讨论、交流.他们通过实验来验证各自模型是否符合实际.经过验证发现，组1和组3与实际情况相差较大，组2与实际情况相差较小.

对于组1的分段函数y=-0.000 4x+0.138用了两个点坐标得到，不够准确，可以通过实验多得几个点进行函数模拟，例如可以选取x=15°,21°,24°时的燃气用量.组3的待定系数法，同样可以多选取几组值进行代入运算，可能会得到更准确的结果.由于实验受客观环境的影响，不能保证环境是稳定的.因此可以重复做几次实验，取几次实验数据的平均值来减小误差.

对于组2的二次函数模型，当旋钮角度非常小时,实验发现用气量与二次函数差距也比较大，二次函数只能用于解释x在一定范围内的情况.因为当旋钮角度非常小，有一点点火时,其火力是不能够将水烧开的，长时间燃火的燃气量却可以非常大,即图中贴近纵轴的位置会非常高,那么整个图象就不是二次函数图象了.

七、结题

师生活动：学生完成建模报告，并安排结题答辩，教师指导并给予恰当的评价.