谈谈函数奇偶性的应用

邹大博

函数奇偶性是函数的重要性质之一，是指对于函数f（x），若定义域内任意的x，都有f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数;若都有f（-x）=f（x），则该函数f（x）为偶函数.函数的奇偶性在高中数学解题中应用广泛，尤其在解不等式、求函数的值、求函数解析式时应用较多.对此，笔者就函数奇偶性在高中数学解题中的应用进行了探讨，以期对同学们解题有所助益.

一、利用函数的奇偶性解不等式

有些不等式问题较为复杂，很难快速找到解题的突破口，此时不妨仔细分析不等式左右两边式子的结构特征，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用函数的奇偶性去处理，这样便可使不等式问题顺利获解.

例1.求证：    .

分析：此不等式若直接证明十分棘手，可结合不等式的特点构造出一个函数，利用偶函数的性质将不等式进行转化，则可以轻松证明结论.

证明：设，

因为，

所以f（x）为偶函数.

当x>0时，，可知f（x）<0;

当x<0时，-x>0，f（x）=f（-x）&lt;0，

综上所述，当x≠0时，恒有f（x）<0，

即    .

利用函数奇偶性解答不等式问题的关键在于，结合不等式的结构特征构造具有奇偶性的函数，以便利用函数的奇偶性将问题加以转化.

二、利用函数的奇偶性求函数的值

求函数的值问题是函数中的常见题目，常以选择题或填空题的形式出现.此类问题中常含有参数，为了快速求得函数的值，我们可以利用函数的奇偶性，将f（-x）用±f（x）来替换，将函数式作整体处理，进而求得函数的值.这样不仅可以避免逐步讨论、求解参数的值，还可以简化运算，有利于提升解题的效率.

例2.若    （其中a，b，c为常数），且f（-2）=5，试求f（2）的值.

分析：本题直接求函数f（2）的值较为困难，可结合f（x）表达式的特点，将含x的一部分构造成具有奇偶性的函数，利用函数的奇偶性进行处理，则不难求出函数f（2）的值.

解：设，

则，

易知g（x）为奇函数，故有g（-2）=-g（2），

又因为f（x）=g（x）+x2，

则

将两式相加可得f（-2）+f（2）=8，

因为f（-2）=5，所以f（2）=3.

三、利用函数的奇偶性求函数的解析式

求解函数的解析式问题的方法较多，利用函数奇偶性是常用的方法.在求函数的解析式时，要首先根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后将f（-x）用±f（x）来替换，这样便能快速求得函数的解析式.

例3.已知f（x）与g（x）的定义域是，若f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且    .试求f（x）与g（x）的解析式.

解：因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），

因为g（x）是奇函數，所以g（-x）=-g（x），

因为，

所以①.

由已知可得②.

由①+②可得，

所以，

所以    .

若已知函数是偶函数或奇偶数，则根据函数奇偶性的定义f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）进行代换，便不难求出函数的解析式.在这一过程中，我们要注意把握奇函数或偶函数的定义域.

总之，对于某些较为复杂的函数问题，同学们若能从函数的奇偶性入手，往往可以拓宽解题的思路.所以，在平时的学习中，同学们要熟练掌握函数的性质.

（作者单位：江苏省江浦高级中学）