基于分圆陪集的量子BCH 码的构造

邢莉娟，李卓

（西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室，陕西 西安 710071）

1 引言

在实际环境中，量子计算机的量子态不是孤立的，它会与外部环境发生相互作用，破坏量子态间的相干性，从而导致量子消相干现象。环境中的噪声将纯纠缠态变成混合态，导致传输的量子信息出错。因此，若要量子计算机或长距离量子通信成为现实，必须克服消相干现象带来的影响。量子纠错码（QECC,quantum error correcting code）是解决量子消相干的主要方式之一。

量子纠错码可以由某些满足特定性质的经典线性码来构造。经典BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）码由于具有良好的代数结构，是经典编码理论中的一个重要子类。因此，用经典BCH 码来构造量子BCH 码也引起了人们极大的关注。通过大量研究，目前已提出了很多构造给定参数量子纠错码的方案[1-5]。但是，现有方案中的量子码均具有一定约束性。例如，分圆陪集的选择必须满足一定前提[1]；有限域的阶必须是奇素数的幂[3]或者满足特定的表达式[5]。因此，需要对已有量子BCH 码进行进一步扩展和补充[6-8]。

2 基础与定义

令Fq表示q阶有限域，其中q为素数的幂。码字C=[n,k,d]q表示基于Fq上的线性码，其中n为码长，k为维数，d为最小汉明距离。在本文中，若n与q互素，则令qm≡1modn成立的最小正整数m为q模n的乘法阶，用m=ordn(q)表示。

定义5对于任意整数i，有限域Fq上包含i的模n分圆陪集定义为C[i]={iqzmodn|z∈Z+}。

性质1[9]有限域Fq中的分圆陪集满足以下性质。

1) 分圆陪集的元素个数一定是q模n的乘法阶的因子，即，其中=ordn(q)。

2) 对于任意的分圆陪集，当且仅当i≠jqzmodn时，C[i]≠C[j]。

循环码因为其严谨的代数结构和循环特性，被认为是一类重要的线性码。

定义6有限域Fq上的码长为n，设计距离为δ的q元BCH 码C是一个循环码，其生成多项式可表示为g(x)=lcm{M(b)(x),M(b+1)(x),…,M(b+δ-2)(x)}，其中，M(i)(x)表示索引为i的最小多项式。码C的定义集合为

当n=qm-1时，BCH 码是本原的；当b=1时，BCH 码是狭义的。

量子稳定子码可以通过经典线性码来构造。目前，量子码主要的构造方法有CSS（Calderbank-Shor-Steane）构造、Steane 构造和Hermitian 构造。

3)Hermitian 构造。当C⊥H⊆C时，存在参数为[[n,2k-n,D≥d]]q的量子稳定子码。

根据上述定理，如果能找到满足对偶包含关系的经典线性码，就可以构造对应参数的量子码。引理1 给出了循环码满足对偶包含的条件。

引 理1[10]若n与q互素，即满足gcd(n,q)=1，存在以下结论。

1)对于Fq上码长为n的循环码C，如果C的定义集合为Z，那么C⊥E⊆C的充要条件是Z∩Z-1=∅，其中Z-1={-zmodn|z∈Z}。

因此，构造量子稳定子码的关键是寻找满足上述条件的分圆陪集。这些特定的分圆陪集不仅保证经典循环码是对偶包含的，还便于计算该码的维数和最小距离。下面来寻找满足上述条件的分圆陪集。

3 分圆陪集的选择

Guardia 等[1]给出了有限域Fq上阶为2、码长为n=r(q-1)的量子BCH 码的构造方法。在此基础上，本文讨论如何利用CSS 构造、Steane 构造和Hermitian 构造等方法研究其镜像结果。Aly 等[12]的构造方法仅针对本原量子BCH 码，而本文的研究对象是更一般的量子BCH 码。首先讨论分圆陪集中包含一个元素的充要条件。

引理2设m=ordn(q)=2，n=r(q+1)。

其次，来讨论这些分圆陪集之间的关系。

引理 3分圆陪集C[0],C[1],…,C[2r-1],C[2r]互不相交。

证明由m=ordn(q)=2和n=r(q+1)可知，rq≡-rmodn和r|q-1成立。若只考虑非本原量子BCH 码，则2r≤q-1和n≥ 3r成立。所以，分圆陪集C[0]和C[1],…,C[2r-1],C[2r]均不相交。

接下来，证明其他分圆陪集C[1]～C[2r]也互不相交。采用反证法，假设C[f]=C[r+h]，其中1 ≤f≤r，1 ≤h≤r。由1≤f≤r

4 有限域Fq 上的量子BCH 码

定理 2若码长n=r(q+1)，其中q≥ 3，m=ordn(q)=2。当0≤c≤r-1，0 ≤t≤r时，有以下结论。

证明首先由引理 3 可知，分圆陪集C[0],C[1],…,C[c],C[r],…,C[r+t]互不相交，其中0≤c≤r-1，0 ≤t≤r。

例如，若令q=13，m=2，根据定理2 可以构造不同参数的量子码，结果如表1 所示。

表1 q=13,m=2 时CSS 构造的量子码参数

图1 对定理2 中分圆陪集的选择做了总结：C[0],C[1],…,C[c]的并集代表码C1的定义集合；C[r],C[r+1],…,C[r+t]的并集代表码的定义集合；C[0],C[1],…,C[r-1]和C[a1],…,C[an]的并集代表码C2的定义集合；C[a1],…,C[an]用来补全剩余的分圆陪集。

图1 分圆陪集的选择

根据定理1，如果能找到满足Euclidean 自正交关系的经典线性码，采用Steane 构造方法，也可以构造出相应码参数的量子码。引理4 给出了满足Steane 构造的充分条件。

引理4当时，Z∩Z-1=∅。

证明由n=r(q+1)和q≥ 3可知，n≥ 4r。假设Z∩Z-1=∅，分2 种情况讨论。

1)若(r+f) ≡-(r+h)modn成立，其中1 ≤f，h≤r-1，则2r+f+h≡0 modn，与不等关系2r+2 ≤2r+f+h≤4r-2

2)若(r+f)q≡-(r+h)modn成立，其中1 ≤f，h≤r-1，因 为rq≡-rmodn，则fq+h≡0 modn，与不等关系q+1≤fq+h≤(r-1)(q+1)

根据引理4，本文用Steane 构造来设计Fq上码长为n=r(q+1)的量子BCH 码。

定理 3若码长n=r(q+1)，q≥ 3，m=ordn(q)=2。当2≤t≤r-1，1≤c≤t-1时，有以下结论。

Li 等[13]利用Hermitian 构造方法，构造出一类基于上码参数为[[n,n-4,3]]q的量子最大距离可分码（QMDSC，quantum maximum distance separable code）。在文献[13]的基础上，如果选择合适的分圆陪集，使用Steane 构造方法可以得到任意有限域上参数为[[n,n-4,3]]q的量子MDS 码。

推论1若码长n=r(q+1)，m=ordn(q)=2。当q≥ 5，r>3时，存在参数为[[n,n-4,3]]q的量子MDS 码。

引理5若码长n=r(q2+1)，m=ordn(q2)=2。

引理 6q2元分圆陪集C[r],C[r+1],…,C[r+t]互不相交。

引理5 和引理6 的证明过程请参考引理2 和引理3。

根据定理1，如果能找到满足Hermitian 自正交关系的经典线性码，采用Hermitian 构造方法，可以构造出基于有限域上的相应码参数的量子码。引理7 给出了满足Hermitian 构造的充分条件。

引理7当时，Z∩Z-q=∅。

证明采用反证法，假设qZ∩Z-≠∅。下面，分2 种情况讨论。

1) 若r+f≡-q(r+h)modn成 立，其 中0 ≤f，h≤r，可推出r(q+1)+f+qh≡0modn。这与r(q+1)≤r(q+1)+f+qh≤2r(q+1)

2) 若(r+f)q2≡-q(r+h)modn成立，其中0 ≤f，h≤r，由gcd (n,q)=1可 知，(r+f)q≡-(r+h)modn。同 样，(r+f)q2≡-q(r+h)modn也不成立。

定理 4若码长n=r(q2+1)，q≥ 3，m=ordn(q2)=2。当0 ≤t≤r时，有以下结论。

证明由引理 6 可知，分圆陪集C[r],C[r+1],…,C[r+t]互不相交，其中0 ≤t≤r。设C1=∏iM(i)(x)，r≤i≤r+t，由引理7 可知，C1满足Hermitian 对偶包含。

最后，将本文通过CSS 构造、Steane 构造和Hermitian 构造得到的量子码与已有的结果进行比较。首先，比较基于有限域Fq上的构造结果。

1) CSS 构造结果分析

文献 [10] 构造参数为[[n=r(q+1),2(δ2-δ1),d≥δ1]]q的量子码，其中最小距离下界满足2≤δ1<δ2≤δmax≤r。采用本文方法，当其他参数相同时，量子码的最小距离满足1d≥r+。与文献[10]相比，本文方法构造的量子码具有更高的最小距离下界。

2) Steane 构造结果分析

文献[10-11]中构造的量子码的最小距离下界满足d≥δ，2≤δ≤r。采用本文方法，在得到与文献[10-11]相同的最小距离下界的同时，码参数中的维数结果均好于文献[10-11]。具体比较结果如表2 所示。更重要的是，通过选择合适的分圆陪集，本文方法还得到了任意有限域上最小距离为3 的量子MDS 码。

表2 Steane 构造方法得到的量子BCH 码参数比较

3) Hermitian 构造结果分析

对于非本原量子BCH 码，文献[1]构造了一类码参数为[[n=r′(q2-1),n-4r+6,d≥r′]]q的量子码。本文方法构造的量子码参数至少与文献[1]相当，在某些码参数中，本文构造的量子码的最小距离下界高于文献[1]中的最小距离下界。具体结果如表3 所示。

表3 Hermitian 构造方法得到的非本原量子BCH 码参数比较

表4 Hermitian 构造方法得到的量子BCH 码参数比较

6 结束语

本文方法构造出的量子BCH 码与现有的构造方法相比，具有更好的码参数和更高的最小距离下界；更重要的是，本文方法构造出了大量新的量子BCH 码，进一步丰富了量子BCH 码的种类。此外，作者还找到了一类任意域上的量子MDS码。这是非常有趣的现象，值得未来进行进一步的研究。