基于状态观测器的混沌系统滑模控制

孙春香， 杜 珺， 李冠军

（淮南师范学院 金融与数学学院，安徽 淮南232038）

混沌控制自从1990年由Ott等［1］提出，就受到了广泛的关注，因为它在许多领域都具有重要的应用前景.学者们给出了很多有效的控制方法，如自适应控制［2-3］、反馈控制［4-5］、模糊控制［6-7］、滑模控制［8-9］、反推控制［10-11］等，并将其应用到实际工程技术中，如摆振控制［12］、机器人控制［13］.

滑模控制是基于变结构系统理论的一种控制方法，由于对非线性系统具有很好的鲁棒性，并且具有响应速度快、暂态性能好以及对植物参数变化、外部干扰不敏感等优点，从而在工程中得到广泛的应用，吸引了研究者们的注意［14-18］.文献［19］针对具有不可用状态的非线性多变量系统，采用模糊自适应技术和滑模控制相结合的方法，设计了一个稳定的自适应模糊滑模控制器.在许多混沌系统中，不可避免地会受到未知参数变化和外界干扰的影响，滑模变结构控制在同步控制器设计中得到了广泛应用.文献［20］中研究了具有参数不确定的2个混沌系统的滑模动态同步控制方法；文献［21］研究了不同时变条件下，具有未知参数的Rossler和Chen混沌系统的鲁棒自适应同步问题，而文献［22］则研究了基于滑模观测器的非线性系统故障诊断问题.

在已有文献研究的滑模控制中，大多数要求系统的状态变量是已知的，然而这在实际工程领域是很难实现的.通常情况下，状态变量是未知的或部分未知的.因此，上述通过状态反馈的控制策略就很难实现，所以需要利用观测器对状态变量进行估计，基于观测器的智能自适应滑模控制方法是一个非常必要的控制策略.

基于上述讨论，本文主要研究Genesio系统的自适应滑模控制，在状态变量未知的情况下，构造观测器，对未知变量估计，利用估计值建立滑模控制策略，使得控制系统是指数渐进稳定的，并且观测器和追踪误差是指数趋于0.

1 系统描述

Genesio系统由Genesio和Tesi［23］提出的一类比较典型的非线性混沌系统，可以表示为

其中，x1、x2、x3是系统状态变量，α1、α2、α3、α4是系统参数.当选择α1＝1.2、α2＝2.92、α3＝6、α4＝1，初值为x1＝1、x2＝1、x3＝－1时，Genesio系统呈现混沌状态，如图1所示.对于Genesio混沌系统，文献［24］利用迭代变换法讨论了Genesio系统的同步问题，给出了同步流形的稳定性的充分条件；文献［25］提出了自适应同步控制方案，基于Lyapunov方法，使2个Genesio-Tesi系统的状态渐近同步，给出了基于线性矩阵不等式的控制律存在性判据.

图1 Genesio系统（1）混沌吸引子Fig.1 The chaotic attractor of Genesio system（1）

2 滑模控制器设计及稳定性分析

2.1 传统滑模控制器设计 设计滑模控制器，使混沌Genesio系统（1）的轨迹到达理想信号xd.下面给出一些有用的引理.

定理1对于系统（2），设计滑模面（3）和滑模控制器（4），则存在正常数k和γ，使得当t→∞时追踪误差ei指数收敛于0，i＝1，2，3.

证明由（2）和（3）式可得

从（6）式可知，当t→∞，追踪误差是指数收敛0，并且收敛速度由常数η确定.

注1滑模函数（3）和控制器（4）的设计都依赖于状态变量x1、x2、x3.因此，只有当这些状态变量是已知的情况下，该控制策略才能实现.

为了说明设计的滑模控制方法有效性，对（2）式，假设理想信号

滑模函数和控制器分别是（3）和（4）式给出的形式，选择β1＝8、β2＝16、γ＝4、k＝4，从图2～图5中可以看出所设计的滑模控制器在混沌系统控制中，具有非常好的效果.图2给出了追踪信号xi和理性信号xd的状态轨迹，可以看出它们在较短的时间内就可以达到同步；而图5中反映了追踪误差趋于0.

图2 理想信号和追踪信号的状态轨迹Fig.2 The state trajectories of ideal signal and tracking signal

图5 追踪误差Fig.5 Tracking error

2.2 基于状态观测器的滑模控制

2.2.1 状态观测器的设计 在控制器（4）中，需要知道系统的所有状态变量，这在实际问题中是很难实现的，因为系统的状态变量大多数是未知的.为了解决这类问题，用设计状态观测器来估计系统中的状态变量x1、x2、x3，即根据状态变量的观测值来设计滑模控制器，达到控制效果.为了运算方便，在系统（1）中令

图3 滑模函数Fig.3 Sliding function

图4 控制输入Fig.4 Control input

则估计误差为

2.2.2 基于观测器的滑模控制设计

定理2对于系统（2），设计观测器（7）和状态变量估计值（8），则存在正常数k、ρ1和η，使得当t→∞时，观测器（7）是稳定的，观测误差~ei和追踪误差ei指数收敛于0，i＝1，2，3.

证明下面分3部分来讨论.

1）设计观测器的稳定性.构造Lyapunov函数

则

因此，设计的观测器（7）是指数收敛的.

2）观测误差是收敛的.假设控制目标为xd，定义追踪误差为

从而当t→∞时，V（t）指数收敛于0，从而追踪误差收敛于0，并且收敛速度由常数ρ1确定.

注2从（16）式中可以看到，滑模控制器的设计仅依赖于状态变量的估计值，而且能够使得追踪控制达到较好的效果，控制系统是指数稳定的，追踪误差趋于0.图6～图10给出了所设计的控制策略数值模拟图.通过比较可以看出，利用估计值所构造的控制器能够达到实际值一样的效果.

图6 状态变量估计Fig.6 The state variables estimation

图10 状态估计误差Fig.10 The state estimation error

图7 控制输入Fig.7 The control input

图8 追踪轨迹Fig.8 The trajectories of tracking

图9 滑模函数估计Fig.9 The estimation of sliding function

3 结论

为了获得混沌系统的轨迹跟踪控制，提出了一种基于状态观测器的自适应滑模控制方法.与传统的滑模控制设计不同，在研究的方法中，设计了观测器对状态变量进行估计，滑模面和控制器的构造仅依赖于估计值.实践证明，仍能达到传统滑模控制器的效果，能够保证状态变量跟踪所需的信号，追踪误差指数趋于0.

致谢淮南师范学院自然科学基金重点项目（2019XJZD09）和淮南师范学院微分代数系统的分析控制及应用创新团队项目（XJTD202008）给予了本文资助，谨致谢意.