数学思想方法在初中数学教学中的渗透

王运宝

百年大计，教育为本。为提高学生的数学素养和教学质量，在初中数学教学中，学习和掌握数学思想方法显得尤其重要，主要在于：一、能培养学生的数学学习兴趣，激发学生自主学习的能动性，勇于探究事物变化发展的激情;二、能培养学生发现问题、探究问题、分析问题、解决问题的能力;三、能培养学生思維的灵活性、敏捷性、深刻性、独创性、逆向性和发散性;四、能培养学生的空间想象力、观察力、思维能力和创新能力。在初中教学中，常用的主要有以下几种数学思想方法。

一、化归（或转化）

化归就是把一个事物转化为另一个事物或与之接近的、相关的事物，即变"正面强攻"为"侧翼进击"的思维形式，体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的、已解决的或易于解决的问题。在初中数学教学中，代数、几何都是从研究简单数式、简单图形开始的，而复杂数式、复杂图形都是通过转化、归结为简单数式、简单图形来获得解决的。例如，折扣问题可转化为百分率问题;“鸡兔同笼”问题可转化为方程问题;在解一元二次方程时，一元二次方程通过“降次”转化为一元一次方程，并化成ax=b（a≠0）这种类型来求解。教学时，应加强化归思想的总结和提炼，注重化归思想的渗透和点拨，有利于提高学生的能力，发展学生的思维，简化解题的过程。

二、数形结合

数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。数形结合是把数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数与形的结合。它将“静态”为“动态”，变“无形”为“有形”。例如，在学习不等式和不等式组的解集的概念时利用数轴;在直角坐标平面内由几何图形求点的坐标，由一些点的坐标来描绘几何图形求面积或线段长度;已知三角形三边的代数关系或三角函数关系判断三角形的几何形状等。从几何起始阶段，就注意数形结合，使学生逐步学会运用数形结合的思想去分析问题、解决问题，养成良好的思维习惯，就能逐步培养学生的数学运用能力，拓宽思维的领域。

三、分类讨论

分类讨论的思想方法就是对问题进行分类，逐一讨论满足条件的各类情况，达到问题的全面解决。例如，在解一元一次方程时，a（x+2）=2a，得到ax=◆。这时就要分类讨论：当a≠0时，x=0;当a=0时，x为一切实数。又如，在学习等腰三角形时，在平面内有一条直线a，在直线的外部有一条线段AB（注：线段AB与直线a无交点、不垂直），请在该直线上找一个点C，使三角形ABC为等腰三角形。这时，也要分类讨论：分两种情况即当线段AB为腰时构成的等腰三角形，还有当线段AB为底边时构成的等腰三角形。

这种思想方法能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。

四、方程函数

方程函数思想就是把方程和函数有机地结合起来，综合解题的思想方法。例如，二元一次方程2x-y=5与一次函数y=2x-5的表达式形式相同，它们的图象都是直线，当函数的变量x=3时可代入表达式解一元一次方程求得变量y=1。又如，二元二次方程x2-x-2-y=0与二次函数y=x2-x-2，当求二次函数与x轴的交点坐标时，可化为求二元二次方程x2-x-2-y=0当y=0时二元二次方程的解。在解决图形运动的问题中，也常用到方程函数思想，这种思想贯穿于整个数学体系。它能培养学生的抽象与形象思维能力，分析问题、解决问题的能力，以及综合运用能力。

五、对应

对应关系是指两者或两者以上的事物之间的属性关系。例如，在学习实数时，把实数在数轴上表示出来，每一个实数与数轴上的点是一一对应的关系。又如，在学习二次函数时，二次函数y=x2，当函数值y=4时，就有x=2和x=-2两个数和它对应。还有，在学习全等三角形和相似三角形时，也存在对应顶点、对应角、对应边的对应关系。因此在教学过程设计中，渗透对应的思想，有助于培养学生用变化的观点看问题，有助于今后培养学生的函数观念。

六、运动

运动是指物体在空间中的位置发生了变化。数学运动的方法有很多，例如，图形的平移、翻折、旋转、剪接等。这些思想在轴对称和中心对称、动态几何中求解、证明等知识的教学中都得到应用。例如，在等边三角形的有关证明中常用到通过旋转解决问题。在动态几何题的探究中，三角形的某个顶点运动，探究什么条件下构成等腰三角形或等边三角形或直角三角形。教学中渗透运动的数学思想方法，能激发学生的学习热情，培养学生的观察能力和操作能力。

七、整体与换元

整体与换元的思想是指处理某一类数学问题时，把问题中的某些元素或某一部分作为一个整体，通过换元来处理，使问题得到简化，解题的途径变得清晰。在教学中，合并某些“特殊”的同类项，分解因式，解方程，求代数式的值等，就常用到这种思想方法。如（1）解方程：（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21=0，如果把前一项展开就成为一元四次方程，非常复杂。但如果把x2+5x-3（或x2+5x+1或x2+5x）作为一个整体用一个字母t代换，化为一元二次方程，再用因式分解法，立即得到方程的四个解。（2）已知x+1/x=3，求x4+1/x4的值，只要在解题过程中把x+1/x，x2+1/x2作为整体，解题的途径变得明朗。这样简便、易懂、快捷。

八、不完全归纳

不完全归纳是指从一个或几个（但不是全部）特殊情况作为一般性的结论归纳推理。尽管它有不完备的一面，有时得出的结论也不一定正确，但在初中阶段还是有一定的实际意义。例如，用火柴棒拼正方形拼1个正方形用4根火柴，拼2个正方形用7根火柴，拼3个正方形用10根火柴，……，那么拼n个正方形用4+3×（n-1）根火柴。

这些都是利用了不完全归纳的思想方法，初步学到了由特殊到一般，再由一般到特殊的辨证唯物主义思想。

九、逐次逼近

在教学中经常采用试算的方法，即在解决某一问题时，经过一连串的试验，使后者不断地中止或修正前者实验中所产生的误差，不断缩小含有正确答案的范围，最后得出正确的结论，使问题得到解决，这就是数学中逐次逼近的思想。例如，求6的算术平方根的值。

22<6<32

2.12<6<2.52

2.42<6<2.52

2.442<6<2.452

2.4492<6<2.452

2.44942<6<2.44952

所以，6的算术平方根的近似值约为2.4494。

除上述介绍的几种数学思想方法外，还有联想和猜想、对比、逆向思维、方程、变元置换、完全归纳等数学思想方法，只要我们结合平时的教学内容，通过挖掘、整理、分析、渗透所涉及的数学思想方法，让学生真正理解所学的知识，真正掌握方法，而不是生搬硬套，就会受到事半功倍的良好效果，为学习更深的知识，为数学的发展、探索、创新、研究奠定坚实的基础。