具有相依性的加权n中取k系统的热分配问题

范莉，游银萍

(华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021)

在可靠性理论中，n中取k系统[1]是协同系统中的一类非常流行的纠错结构，广泛应用于电子工程、航空工业及水利水电等相关领域.n中取k系统是指由n个元件组成的协同系统，系统工作当且仅当系统元件中至少有k个元件工作.通过给系统工作元件分配冗余元件来延长系统的寿命，从而提高系统的可靠性.冗余元件一般有热分配和冷储备两种添加方式.热分配是指冗余元件与工作元件同时开始运行，添加位置的元件寿命为冗余元件与工作元件寿命的最大值.冷储备是指在工作元件停止运行后，冗余元件开始运行，添加位置的元件寿命为冗余元件与工作元件寿命之和.近年来，已有许多学者对n中取k系统冗余元件的分配问题进行了研究[1-9].当系统运行元件的总权重超过某个预定临界值k时，系统才工作.一般的n中取k系统是加权n中取k系统的特例.关于加权n中取k系统的不同方面已有大量的研究，如可靠性计算、系统性能指标计算、权重损失评估、剩余容量及具有多个状态或随机权重的加权n中取k系统[10-17].

Zhang[18]考虑系统元件寿命相互独立的情况下，研究加权n中取k系统的热分配问题.在现实应用中，加权n中取k系统中的工作元件通常在相同的环境中工作或共享相同的负载，因此，工作元件的寿命存在一定的相依性.例如，在一个连锁故障的系统中，某个工作元件的故障将导致其余元件承受压力更密集，从而更有可能发生故障.如果忽略这种相依性的影响，认为各个元件之间是独立工作的，那么必将高估或低估这些元件所构成的系统寿命.因此，考虑工作元件寿命随机排列递增的相依性，本文研究加权n中取k系统在热分配下冗余元件的最优分配策略.

1 预备知识

随机序主要用来描述随机变量之间的大小关系[4，19-20]，在可靠性工程、金融和精算风险管理及统计等与概率相关的领域中发挥着重要的作用.

定义1假设X和Y是两个随机变量，分别具有分布函数F和G.对于任意增函数Ψ，如果满足E[Ψ(X)]≤E[Ψ(Y)]，则X在普通随机序(st)上小于Y，记为X≤stY.

定义2假设X和Y是两个随机变量，分别具有密度函数f和g.对于任意x≤y，如果满足f(x)g(y)≥f(y)g(x)，则X在似然比序(lr)上小于Y，记为X≤lrY.

文中关于系统各元件寿命间的统计相依性是随机排列递增性，多元非参数相依概念由文献[21-22]首次提出.对于任意对(i，j)，1≤i

定义3函数g(x):Rn→R在x上是排列递增(AI)的，如果(xi-xj)[g(x)-g(τi，j(x))]≤0，1≤i

定义4如果对任意函数g∈Ai，j(n)，1≤i

若随机向量X是SAI的，则在集合{x:xj≤xj}任意子集上的X比τi，j(X)有更大的权重，1≤i

SAI的一些重要性质如引理1～2.

引理2[21]设随机向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，当且仅当对于任意的x2≥x1，有E[g2(X1，X2)]≥E[g1(X1，X2)]，其中，g2(x1，x2)≥g1(x1，x2)；g2(x1，x2)+g2(x2，x1)≥g1(x1，x2)+g1(x2，x1).

令I(A)表示事件A的示性函数，有如下引理3.

引理3设u为任意增函数，u:R→R.对于任意y1≥y2，ω1≥ω2，有

m2(x1，x2)=u(ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t))，

m1(x1，x2)=u(ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t))，

则对于所有x2≥x1，有

m2(x1，x2)≥m1(x1，x2)，

(1)

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

(2)

式(1)的证明.对于任意固定值t≥0，I(x>t)是x的增函数.对于任意y1≥y2，令h(x)=I(V{x，y1}>t)-I(V{x，y2}>t)，1)当x≥y1≥y2时，则有h(x)=I(x>t)-I(x>t)=0；2)当y1≥x≥y2时，则有h(x)=I(y1>t)-I(x>t)≥0；3)当y1≥y2≥x时，则有h(x)=I(y1>t)-I(y2>t)≥0.因此易证，h(x)是非负且关于x是递减函数.

对于所有x2≥x1，有h(x1)≥h(x2)≥0，即

I(V{x1，y1}>t)-I(V{x1，y2}>t)≥I(V{x2，y1}>t)-I(V{x2，y2}>t)≥0.

因为ω1≥ω2，则有

ω1(I(V{x1，y1}>t)-I(V{x1，y2}>t))≥ω2(I(V{x2，y1}>t)-I(V{x2，y2}>t))≥0，

整理为

ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t)≥ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t)≥0.

又因为u为增函数，故

u(ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t))≥u(ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t))，

即m2(x1，x2)≥m1(x1，x2)得证.

式(2)的证明.1)当x2≥x1≥y1≥y2时，则有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

即m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

2)当y1≥y2≥x2≥x1时，则有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=2u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=2u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t)).

因为u为增函数且y1≥y2，ω1≥ω2，易证

u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))≥u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t)).

从而可知m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

3)当x2≥y1≥y2≥x1时，则有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y2>t))，

(3)

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(y2>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

(4)

对于x2≥y1≥y2≥t，I(x2>t)=I(y1>t)=I(y2>t)=1.由式(3)，(4)，有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=2u(ω1+ω2)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

对于x2≥y1≥t≥y2，I(y2>t)=0且I(x2>t)=I(y1>t)=1.由式(3)，(4)，有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1+ω2)+u(ω1)，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω2)+u(ω1+ω2).

因为ω1≥ω2，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).对于x2>t≥y1或t≥x2，容易检验得

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

4)当x2≥y1≥x1≥y2时，则有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

类似3)的证明方式，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

5)当y1≥x2≥y2≥x1时，则有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

因为u为增函数且y1≥x2≥y2，ω1≥ω2，易证

u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))-u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t))≥0，

u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))-u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t))≥0.

从而可知m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

6)当y1≥x2≥x1≥y2时，则有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(y1>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(y1>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

类似3)的证明方式，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

2 主要结论及其证明

设随机向量X=(X1，…，Xn)是加权n中取k系统n个分量的寿命，ω=(ω1，…，ω2)是系统的权重向量，其中，第i个工作元件为系统运行贡献权重为ωi，i=1，…，n，则在任意时刻t≥0，系统总权重的随机过程为

给定临界值k，系统的寿命为TX(k):=inf{t:WX(t)

P(TX(k)>t)=P(WX(t)≥k).

(5)

将两个寿命具有似然比序大小关系的冗余元件热分配给工作元件寿命为SAI的加权n中取k系统.设这两个冗余元件的寿命分别为随机变量Y1和Y2，对于任意对(i，j)，1≤i

定理1[18]设X1，…，Xn，Y1，Y2相互独立，对任意对(i，j)，1≤i

由定理1可知：对于具有相互独立寿命的系统工作元件，将更好的冗余元件分配给权重较大、性能较差的工作元件，可以随机地延长加权n中取k系统的寿命.由于系统元件在同一个系统中工作，受共同环境因素的影响，因此，需要研究工作元件寿命具有相依性的冗余元件热分配问题.

定理2设随机向量X=(X1，…Xn)是SAI的，则对于任意ωi≥ωj，1≤i

证明：设u为任意增函数，y1≥y2，1≤i

根据引理3，对于所有xj≥xi，有

h2(xi，xj)≥h1(xl，xj)，

h2(xi，xj)+h2(xj，xi)≥h1(xi，xj)+h1(xj，xi).

可以证明

(g1(y1)g2(y2)-g1(y2)g2(y1))dy1dy2.

由于Y1≥lrY2，对于y1≥y2，有g1(y1)g2(y2)≥g1(y2)g2(y1).结合上式，有

又因为u为任意增函数，所以有

即WX(t；(Y1，Y2))≥stWX(t；(Y2，Y1)).由式(5)和定理2，得到推论1.

推论1设随机向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，则对于任意ωi≥ωj，1≤i

由推论1可知：当加权n中取k系统中n个工作元件的寿命具有SAI相依性时，将较好的冗余元件分配给权重较大性能较差的工作元件，另一个冗余元件分配给权重较小性能较好的工作元件，系统的寿命会得到随机延长.若X1，…，Xn相互独立且X1≤lrX2≤lr…≤lrXn，易证X=(X1，…，Xn)的联合概率密度函数是AI的，即X=(X1，…，Xn)是SAI的，也就是说，推论1将定理1从系统工作元件寿命相互独立扩展到工作元件寿命具有SAI相依性.

由定理2和推论1可知：当加权n中取k系统的工作元件寿命具有SAI相依性时，为系统分配一个冗余元件的最优分配策略.设这一冗余元件的寿命为随机变量Y，对于任意对(i，j)，1≤i

推论2假设随机向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，则对于任意ωi≥ωj，1≤i

Ti(k；Y)≥stTj(k；Y).

由推论2可知：在加权n中取k系统n个工作元件寿命具有SAI相依性的情况下，将冗余元件分配给权重更大、性能更差的系统工作元件上，将会随机地提高系统的可靠性.推论2实际上扩展了Zhang[18]的推论2.3，将加权n中取k系统工作元件寿命相互独立推广到相依性.

3 结束语

在加权n中取k系统工作元件寿命具有随机排列递增的相依性下，主要研究了两个不同冗余元件热分配的最优分配策略.事实上，由于系统单元数量的增加和结构的复杂化，可以进一步研究多个不同的冗余元件一一对应地分配给系统的工作元件，或者多个相同的冗余元件一一对应地分配给系统的工作元件的最优分配策略，或者考虑系统工作元件之间或冗余元件之间具有其他不同的相依性的冗余分配问题.