自由曲面建筑外立面U型结构优化算法研究

李 珠，张睿丰

(辽宁工业大学，辽宁锦州121000)

1 引言

随着人们物质生活水平的提升，对建筑水平的需求逐渐多样化，因此，提升建筑美观度的同时保障建筑结构达到最高水平，是建筑结构优化设计的重中之重[1]。建筑结构优化设计不仅可以节约建筑成本，还可提升建筑空间使用率[2]，使建筑具备最佳的使用功能。因此，优化建筑结构对建筑行业以及未来城市发展有着非常重要的作用[3]。表面形状不可以被连续加工的、具有传统加工成型的任意性特点的曲面，称为自由曲面，其具有较高的创意性和可塑造性[4]，目前，该曲面在楼宇设计中被广泛使用，受其几何形状的影响，自由曲面宽度较大[5]，因此，其结构的承受荷载率与其稳定性是衡量建筑物质量的重要标准。

以提升建筑结构的稳定性，降低结构位移量为目标，设计自由曲面建筑外立面U型结构优化算法。结合梯度法对自由曲面建筑外立面U型结构进行优化，梯度法也可称为最速下降法，属于迭代法的一种，可解决最小二乘问题，其计算过程是沿梯度下降或上升的方向求解极小值或极大值，该算法计算精准度高，是无约束优化方法中最基本的方法之一。采用该方法可以使建筑物立面U型结构更加美观的同时，又满足建筑物的基本要求，发挥结构最大功效。

2 自由曲面建筑外立面U型结构优化算法

2.1 建筑外立面U型结构边界条件

依据B样条曲线以及曲面理论，使用(2m-1)次周期参数化样条插值函数生成建筑外立面U型结构边界条件，其计算公式如下

(1)

其中，x、y分别表示横纵坐标轴。依据自由曲面建筑外立面U型结构，按顺时针方向将横纵坐标轴x、y数值代入到式(1)中，使用插值原理和实际所需拟合曲线次数，可获得曲线上剩余点坐标数值，从而形成光滑外边界曲线。

生成内边界需在建筑外立面U型结构设定内边界数量，按逆时针方向，设置内边界关键点的横纵坐标x、y数值，使用插值原理[6]和实际所需拟合曲线次数，可获得曲线上剩余点坐标数值[7，8]，形成光滑内边界曲线。内外两边界生成后，将内边界与外边界涵盖的范围生成建筑平面图，建筑平面图网格划分使用Delaunay三角剖分方法。由于建筑外立面U型结构支座位置和条件具有特定性，在划分建筑平面图网格时，需设置不动散点为建筑外立面U型结构的支座点[9]。

2.2 自由曲面生成

利用经过已知点的B样条插值曲面法生成建筑外立面U型结构自由曲面，需在建筑外立面U型结构设置特定支座，方可满足自由曲面生成条件。令已知点为N×M个，则B样条插值算法计算公式为

(2)

其中，x、y方向节点数量分别由M、N表示；x、y方向的第d次和第h次B样条基函数由Bi，d(x)、Bi，h(y)表示。在B样条曲面上，关于x，y的函数是节点的纵坐标z，插值点坐标由计算系数gi，j获得，最终生成光滑自由曲面。

2.3 建立梯度法基本方程

为使自由曲面建筑外立面U型结构更加美观并且拥有合理的受力性能，自由曲面创建方法需使用实际建筑外立面U型结构上的已知点，初始自由曲面使用B样条理论进行拟合。受初始模型力学符合率较低的影响，需在建筑条件允许的情况下对该模型进行微调。自由曲面建筑外立面U型结构最优性能可由其应变能和应变能敏感度来衡量，当应变能敏感度近似0时，该结构应变能收敛最小，自由曲面建筑外立面U型结构上节点受微小力量干扰时，应变能敏感度可调整该结构上关键点的高度，降低应变能收敛，提升该结构受力性能。使用自由曲面创构方法计算曲面上的关键节点，优化目标使用梯度法，可实现自由曲面建筑外立面U型结构优化。

控制点的多元函数可描述自变量是曲面控制点的应变能，其计算公式为

R=f(Q1，Q2，…，Qn)

(3)

其中，应变能、控制点分别由R、Qn表示。设R是一个标量场，该标量场内任意一点处的梯度方向，可标记该标量场内增长最迅速的方向，其梯度长度表示这个梯度方向的最大变化率。当控制点为1时，应变能可由单变量的实值函数计算，梯度则由导数表示。因此，自变量的变化方向与其梯度方向相反时，标量场降低速度最快。应变能敏感度可由在任意(Q1，Q2，…，Qn)位置的梯度表示。正负梯度方向分别为应变能增加最快和降低最快的方向，控制点Qn变化的敏感度是通过应变能对设计变量的控制程度计算，移动该控制点，该控制点处应变能敏感度则变大，因此，若得到合理U型结构，即U型结构受到微小力量干扰时，其总体结构变化较小，那么其控制点处应变敏感度最小。

2.4 建立变量优化方程

设置QZ={Qi，j(Z)}表示自由曲面控制点竖向分量，其中，(i=1，2，…，N，j=1，2，…，M)，控制点的函数是曲面上的点坐标，以控制点竖向分量作为变量的结构静力平衡方程由下式表示

O(QZ)·U(QZ)=F(QZ)

(4)

其中，结构刚度矩阵、结构点位移向量、节点荷载向量分别由O(QZ)、U(QZ)、F(QZ)表示。结构应变能力为R(QZ)的计算公式为

(5)

通过式(5)可知，数学表达式min(R(QZ))可表示优化模型。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

假设外立面U型结构材料是理想弹塑性材料，结构屈曲荷载可通过以下公式计算

|[Wb]+λ[Wσ]|=0

(11)

其中，结构弹性刚度矩阵、结构曲面刚度矩阵、屈曲荷载因子分别由[Wb]、[Wσ]、λ表示。

2.5 推导应变能梯度表达式

设曲面形状变化不影响优化流程中的荷载值，则有

(12)

将第k步优化后获取的自由曲面刚性结构作为对象，对控制点进行求导则有

(13)

(14)

变换梯度表达式可将式(13)代入式(14)中，则有

(15)

通过以上公式可推导出应变能对于控制点的敏感度，控制点单元刚度矩阵对控制点的微分公式可通过推导整体坐标系内的梁单元刚度矩阵微分公式进行表达，那么单元刚度矩阵和部分坐标系下单元刚度矩阵关系可通过以下公式表示

(16)

其中，Oe、T分别表示部分坐标系下单元刚度矩阵和空间梁单元坐标系转化矩阵。

(17)

复合函数求导可依据实际问题和敏感度方向，控制点Qi，j在z方向的导数可由以下公式计算

(18)

计算坐标系转换矩阵对控制点的导数，需先计算单元坐标系转换矩阵，其公式如下

(19)

其中，λ0计算公式为

(20)

(21)

由推导坐标系转换矩阵对控制点的导数以及单元部分坐标系内单元矩阵对控制点的导数可知，计算自由曲面上的节点坐标对控制点的导数是二者必不可少的步骤，所以需要构建自由曲面上节点坐标对控制点导数的计算公式。设竖向坐标QI，J(z)是第k步后自由曲面的控制点坐标，该控制点在自由曲面上与其相对应竖向控制点导数可由以下公式计算

(22)

其中：ωi，j表示权因子；Ni，Q(u)、Nj，r(v)分别为表示定义在非周期节点矢量u、v上的Q、r次B样条基数。

通过上述公式推导流程，可计算出U型结构应变能梯度数值，使用梯度法调整自由曲面控制点坐标，可实现自由曲面U型结构优化。

3 实验分析

使用MATLAB软件，构建建筑面积为25436m2，建筑结构最高点为25.8m的建筑物，该建筑物由钢筋混凝土框架结构和铝合金立面U型单层网壳结构组成建筑主体的下部与上部，建筑物顶部长轴为207.5m，立面U型单层网壳结构的支座由落地支座和建筑物顶部混凝土柱子支座组成。采用所提算法依据建筑外立面U型结构边界条件，生成初始结构，以数值为1.5kN/m2的竖向均布恒载力作为计算荷载，其缺陷数值分别为200mm、400mm、600mm。使用梯度算法，对建筑外立面U型结构展开优化。

在保证计算荷载数值不变的情况下，通过改变控制点竖向z坐标，改变自由曲面形状，计算应变能关于整体控制平均敏感度和应变能滚圆控制平均敏感度，其初始结构与所提算法优化后敏感度数值曲线如图1所示。

图1 结构优化前后数值曲线

分析图1可知，应变能关于整体控制平均敏感度和应变能关于控制平均敏感度都是随着优化步数的增加而降低。在图1(a)中，两个敏感度曲线都呈逐渐下降趋势。通过使用所提算法对建筑结构优化后，两个敏感度曲线在优化步数为200步前下降速度明显，优化步数超过200步后，二者曲线逐渐趋于平稳，结构应变能对控制点变化的敏感度降低。说明使用所提算法可降低整体控制平均敏感度和应变能关于控制平均敏感度，提升建筑外立面U型结构稳定性能。

设置初始自由曲面与优化后的自由曲面建筑物屋顶结构均完整，对其施加均匀荷载因子，前8阶屈曲荷载因子情况如表1所示，(荷载因子与施加荷载的积为屈曲荷载)。

表1 结构屈曲荷载因子

分析表1可知，屈曲荷载因子随着阶数的增加而增加，优化后的结构屈曲荷载因子较初始结构增加明显，尤其是阶数为4时，二者屈曲因子最大差值达到14.452，可见经过所提算法优化后的结构刚度较大，结构出现失稳的概率较低。

结构的初始缺陷是影响结构稳定的因素之一，当缺陷数值不同的情况下，对比初始结构和优化后结构位移情况，结果如图2所示。

图2 结构位移

分析图2可知，位移数值与缺陷数值成正比，初始结构位移随着缺陷数值的增加而增长迅速，优化后的结构位移数值增长极小，当缺陷数值为600时，初始结构位移达到50cm，优化后的结构位移仅为20cm，稳定性较好。由此可见，所提算法可有效实现建筑外立面U型结构优化。

4 结论

本文研究自由曲面建筑外立面U型结构优化算法，有效结合B样条插值曲面法以及梯度法完成建筑物自由曲面优化。通过实验验证，该算法可降低结构应变能对控制点变化敏感度和应变能关于整体平均敏感度，提升建筑外立面U型结构的稳定性能；使用该算法对结构进行优化后，可增加结构屈曲荷载因子，增加结构刚度，降低失稳率；当缺陷数值相同时，优化后的结构位移较小。