在动手操作中感悟“转化”思想

王媛媛

教学内容：

人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册第91～92页。

教学目标：

1.掌握三角形的面积计算公式，能应用公式解决现实生活中的一些简单问题。

2.经历观察、剪拼、讨论交流、归纳总结等数学活动，进一步感受和理解转化的数学思想。

3.在三角形面积计算公式的推导过程中，培养探索意识、操作能力、推理能力与合作精神，认识到数学来源于生活，通过弘扬数学文化增强民族自豪感。

教学重、难点：

重点：掌握三角形面积的计算公式。

难点：推导三角形面积计算公式的过程。

教学准备：

一条红领巾，若干锐角、直角、钝角三角形卡片。

教学过程：

一、创设情景，导入线索

提问：同学们，请看老师手里拿了什么？（展开一条红领巾）

预设：红领巾。

提问：没错，同学们对红领巾肯定再熟悉不过了！因为每天来学校上课的时候都会佩戴红领巾，那老师今天想问大家一个问题，如果要自己动手做一条红领巾，该准备多少布料呢？

预设：大部分同学都在摇头。

追问：可能这个问题难倒大家了，老师换个问题，红领巾是什么形状的呀？

预设：三角形。

师：咦，那是不是只要我们会计算三角形的面积，就可以知道做一条红领巾该用多少布料了？这节课我们就一起来探讨怎么计算三角形的面积。

（板书标题：三角形的面积）

【说明】导入素材的选取要立足于学生的学习起点和生活起点。本课一开始就从学生熟悉的红领巾着手，教材上这一环节是直接以计算红领巾面积作为导入，属于从数学问题本身出发。通过改为探讨做红领巾该用多少布料这个实际生活问题再过渡到计算三角形的面积，更容易激发学生的好奇心和学习兴趣，有利于贯彻落实“数学来源于生活”的理念，同时顺理成章地揭开本课的学习内容。

二、动手操作，探索新知

1.回顾旧知，促进学习迁移

师：同学们，先来回顾下上次数学课我们学习的平行四边形的面积公式是通过什么方法推导出来的呢，有哪位同学能来说一说？

预设：通过剪一剪、拼一拼，先将平行四边形转化成长方形后再得出它的面积公式的。

师：非常棒，那平行四边形的面积公式是？

预设：底×高。

2.运用“倍拼法”和“割补法”，强化“转化”数学思想

师：好，接下来请同学们从学具袋中拿出准备好的三角形卡片，同桌之间互相合作，试试看能不能也通过剪一剪、拼一拼的方式推导出三角形的面积呢？五分钟时间，现在开始吧！

师：时间到，哪位同学能来汇报下你们组的研究成果呢？

预设1：发现两个一样的锐角三角形能拼成一个平行四边形，其中三角形的面积刚好是这个平行四边形面积的一半。

板书：

预设2：发现两个一样的直角三角形能拼成一个长方形，其中三角形的面积刚好是这个长方形面积的一半。

板书：

预设3：发现两个一样的钝角三角形能拼成一个平行四边形，其中三角形的面积刚好是这个平行四边形面积的一半。

板书：

……

师：以上都是同学们通过观察和拼图的方式找到的发现，我们把这种方法叫做“倍拼法”。

（板书：倍拼法）

师：其他组还有没有不一样的想法呢？可以尝试用“剪一剪”的方式。

提示：多数学生容易受其他发言同学的思维影响，直接关注“拼一拼”，不易想到先“剪一剪”，再“拼一拼”，此时可引导学生关注使用“割补法”。

预设4：把一个三角形沿高剪成两个直角三角形，然后把剪出来的这两部分拼在另一个完整的三角形的两边，可以转化成长方形，发现三角形的面积刚好是这个长方形面积的一半。

板书：

师：我们把这种方法叫做“割补法”。

（板书：割补法）

3.归纳总结三角形的面积计算公式

师：同学们的探究能力都很强，无论是运用“倍拼法”还是“割补法”，都是先将三角形转化成什么图形后再找到发现的？

预设：先转化成长方形、平行四边形等。

师生总结：我们知道长方形属于特殊的平行四边形，所以可以直接说两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。因为平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，所以可以推导出三角形的面积=______ ？如果用英文字母a和h分别表示三角形的底和高，s表示三角形的面积，则s=______ ？

（板书：三角形的面积=底×高÷2，s=ah÷2）

【说明】在正式探究三角形的面积公式前，先让学生回顾平行四边形的面积计算公式及其推导方法，目的是为学生搭好学习支架，进一步强化“转化”的数学思想，引导学生进行学习迁移，为本节课推导三角形的面积计算公式做好铺垫。然后让同桌之间一起进行“剪一剪”、“拼一拼”等操作，贯彻落实了“小组合作学习”的理念，有利于培养学生的探究能力与合作精神。另外，人教版教材只给出了“倍拼法”来推导三角形的面积计算公式，设计中加了“割补法”，是基于比较了多个版本小学数学教材后给出的方案，目的是为了拓展学生的思维，满足不同学生的学习需求。最后，尽量引导学生先自主总结文字式和字母式的面积公式，避免教师直接呈现答案，这样不仅能检验教学效果，还能有效培养学生的归纳概括能力。

三、巩固练习，拓展深化

1.及时巩固新知，检验学习效果

师：我们现在已经清楚三角形的面积计算公式了，那回到这节课最开始的问题，假如老师手里这条红领巾的底是110㎝，高是30㎝，請同学们动笔算一算，做这条红领巾到底该准备多少布料呢？。

预设：s=ah÷2=110×30÷2=1650（cm2）

师：让老师看看有多少同学做对了呢，看来大家已经能够学以致用了！接下来，老师要来考考大家，请开动你们的小脑筋。这里有甲乙丙三个三角形，哪个三角形面积最大呢？并说明理由。

预设：一样大，因为它们的底和高一样，面积都是底×高÷2。

师：同学们可真聪明，看来已经能够灵活地运用三角形的面积公式了。

2.完成教材上的“做一做”习题

学生先独立思考完成，再讨论交流。

3.借助“你知道吗？”，弘扬数学文化，激发民族自豪感

师：同学们，你们知道吗？早在两千多年前，就有古人会计算三角形的面积计算公式了！请看书本上的阅读材料，了解我国数学名著《九章算术》中对长方形和三角形的面积算法的记载，即“广从步数相乘得积步”和“半广以乘正从”。此外，著名数学家刘徽还有用“以盈补虚”的方法来说明三角形的面积算法。（展示课件）

师：同学们看完后都有什么感想呢？学习数学不能怕吃苦，要勤于思考，多动手操作。

【说明】在学生知道三角形的面积计算公式后，及时回到本节课一开始抛出的求一条红领巾所用布料的问题，一方面是为了让学生巩固新知，做到学以致用;另一方面，是为了让学生再次感受到数学是来源于现实生活的，体验到数学问题得到解决后的喜悦之情。设计的第二道题目：判断甲乙丙三个三角形的面积大小，一方面是在基础题上的进一步拓展深化，检验学生对三角形面积计算公式的掌握程度;另一方面，该内容与《几何原本》第一卷中的相关内容几乎一致，可以借此隐性地渗透相关数学史。紧接着让学生独立做书本上的三道习题，可以再次检验全班整体学生的学习效果。最后借助书本上的“你知道吗”进一步弘扬数学文化，人教版教材只介绍了《九章算术》里记载的三角形面积算法，教师还可以参考苏教版教材中呈现的数学史料，即借助图形对刘徽的“以盈补虚”法加以补充说明，以进一步地拓展学生的思维、陶冶情操、增强民族自豪感，对数学多一份思考。

四、课堂总结，布置作业

师：今天的新课内容就讲到这里，同学们都有什么收获呢？

预设1：掌握了三角形的面积公式。

预设2：知道了三角形的面积公式是怎么推导出来的。

师：同学们这节课的表现非常棒，课后还可以想一想除了我们这节课采用的“倍拼法”和“割补法”，还有没有其它的方法来推导三角形的面积公式，下次数学课大家可以一起来分享交流。

【说明】最后设计让学生说说这节课有什么收获，不仅可以了解本节课的教学效果，还可以帮助学生再次巩固知识点，同时可以锻炼学生的数学语言表达能力。设计开放性的作业不容易禁锢学生的思维，让学有余力的学生课下思考其它的推导方法，可培養学生的创新意识，提高探究能力。