抛物线中一类定点问题的研究

徐高让

摘 要：抛物线上有一点，直线与抛物线交于两点，当时，直线是否经过一定点.下面对这个问题进行探究：如图1，过点作轴平行线，过点作，过点作，垂足分别为.

关键词：抛物线定点;直曲联立;数学规律与命题

纵观历年高考真题，圆锥曲线中的定值、定点问题是高考中的热点题型，以解答题为主，难度一般较大，考查函数方程思想、數形结合思想、分类讨论思想的应用.本文从选修2-1课本中的两道习题出发，坚持直曲联立，韦达定理传统方法培养的同时，增加点差法，然后对抛物线中定点问题进行了一般化研究，望读者能曲径通幽.

一、问题展示

题2.（人教A版选修2-1 P81复习参考题B组第3题）已知直线与抛物线相较于两点，且，交于点，点的坐标为，求的值.

这两题都可以采取传统的直曲联立的方法，利用根与系数关系，由，得到结论，具体解法不做赘述，但从这两题中似乎蕴含着一般性结论，下文进行探究一下。

二、一般化研究

我们知道，在圆中有一个重要性质：直径所对的圆周角是直角，直角圆周角所对的弦是直径，那么在抛物线中是否有类似结论呢？

结论1.已知抛物线，为坐标原点，为抛物线上两动点，若，则直线恒过定点.

五、小结

数学的精髓在余不断的探索和创新，在数学学习和研究的过程中，我们应该做到不断地发现新问题、获取新信息、提出新观点、探求新方法、得出新结论。只要我们多用点心，静下来思考，很多数学问题都可以加以变式或推广，或者说追根溯源找出具体问题的背景——一般性规律，这些最根本的规律也就是题根正是数学命题的源泉.

参考文献：

[1]刘文娟. 抛物线中一个定点问题的探究之旅[J]. 中学数学研究， 2018， 388（09）：23-25.

[2]张红梅. 立足自主发展 培养探究习惯——"抛物线中的一类定点定值问题探究"案例分析[J]. 上海中学数学， 2018， 301（10）：29-30.

[3]刘振龙. 一道抛物线定点问题的命题手法探究[J]. 数理化解题研究， 2018， 000（019）：11-12.