以问题解决之“形”，促思维生长之“神”

缪美媛

【摘 要】“在问题解决后继续前进”，不仅能够充分发掘习题的价值，更能有效提升学生的思维。因此，问题的解决，不仅仅是为了巩固学生原有的认识，更重要的是使学生获取更一般的策略，形成新的认知，有效地发展数学思维。本文从“进行恰当追问，深化原有的知识结构;回顾解题过程，提升解决问题的水平;反思解题结果，优化解决问题的策略;分析错误根源，生成新的教学资源”这四个方面阐述了以问题解决之“形”，促思维生长之“神”的具体做法。

【关键词】问题解决 深化认识 提升思维

“在问题解决后继续前进”不仅能够充分发掘习题的价值，更能有效提升学生的思维。但是在实际教学中，很多教师对这一点的认识远远不够，在处理习题时，往往只满足于学生获得正确的答案。

数学教育家波利亚说过：“即使相当好的学生，找到问题的答案并写出漂亮的答句之后，就合上书本找点别的事情来做，这样他们就失去了一次自我提升绝佳机会。” 确实如此，很多情况下，学生在问题解决的过程中，会带来一些零散的、模糊的、感性的认识，但“问题解决”的能力并没有获得相应的提升。因此，在问题解决之后继续前进，不仅仅是为了巩固学生原有的认识，更重要的是使学生获取更一般的策略，形成新的认知，有效地发展数学思维。

一、进行恰当追问，深化原有的知识结构

数学问题解决的过程往往伴随着对数的概念抽象和数量关系的建构。在解决问题的过程中，学生并不一定都是进行理性思考，很多时候依赖的是直觉和对例题的简单模仿。如果教师能够在学生解决问题之后，适时适当地追问，把习题和本节课的学习内容相结合，让学生不断地思考、交流，学生就会在思考的过程中，深化对原有知识结构的认知。

在苏教版数学三年级下册“认识分数”的教学中，笔者设计了3个核心问题，让学生自主探索：

第一个问题：“8个桃子平均分成4份，每份是几分之几？”（如图1）学生下意识地得到了“，，”三种不同的答案，产生这样的疑惑和分歧是在笔者意料之中的。学生形成认知上的冲突，就会迫不及待地想通过动手操作来验证，并在操作验证中明确解决问题的方法。经过操作，学生进一步清晰地感知了“一个整体”的含义。

紧接着，课件中隐去8个桃子和虚线（如图2），笔者提问第二个问题：“想一想，你會表示8个桃子的之外，还会表示多少个桃子的？”这个问题是对“一个整体”这个概念的扩展。问题刚一抛出，学生就纷纷表达自己的想法，有的说“20个桃子的”，有的说“28个桃子的”，还有的说“一筐桃的”“一车桃的”，等等。

围绕这幅图，笔者提出第三个问题：“无论是多少个桃，只要怎样就可以得到这些桃的？”学生回答道：“无论多少个桃，都可以看成一个整体，只要把这个整体平均分成4份，表示这样的一份，就可以用这个分数来表示。”学生在回答的同时，添加虚线，并显示（如图3）。通过以上的操作和建模，学生已经抛却了分数的非本质属性。尽管整体个数在不断变化，但只要是平均分成4份，表示这样的1份，就可以用来表示，这样的总结说明学生已经清晰地建立了“一个整体的”这一分数的概念，初步形成了分数的模型。在变中寻求不变，为学生理解分数的本质属性奠定了良好的基础。

二、回顾解题过程，提升解决问题的水平

弗赖登塔尔认为，数学的发现来自直觉，而分析直觉理解的原因是通向证明的道路。这就是说：学生在问题解决的过程中获得的经验，必须借助回顾反思，才能有意识地思考问题解决背后潜藏的数学实质，学生的思维才能真正深入到数学化的过程之中，才能有效地提高学生问题解决的水平。

基于课标“四基”的要求，在三年级下册《长方形和正方形的面积计算》这节课的设计时，笔者着重思考了以下两个问题：

（1）长、正方形面积计算公式的获得，学生该经历怎样的学习过程？

公式的背后，浓缩了一系列的操作推理过程。是让学生实际测量后归纳和验证，还是引导其逐步深入地操作、想象、推理、归纳？毋庸置疑，体验的深刻必然促进理解的深入。基于此，在充分把握了长方形面积公式本质的基础上，依据学情，本节课精心设计了难度渐增的三个层次的探索活动，引导学生主动探索、自主发现面积公式：第一层次，同桌合作用1cm2的小正方形直接测量1号长方形的面积;第二层次，1个小正方形都不能用，测量出2号长方形面积;第三层次，想象计算，逐步抽象出长方形的面积公式。

（2）除了收获一个计算公式，这节课学生还能收获些什么？

公式的获得当然是本节课的主要目标，但是，教学也不能仅仅止步于知识技能的习得。除此之外，我们还能给学生些什么？结合公式的探索过程，通过几个小环节的引导梳理，本节课，还着力让学生感受了“简单入手—发现规律—总结方法”这一数学问题解决方法，从而为学生今后的学习埋下研究的“种子”，长方形的面积计算成了学生后续学习中知识和方法上的双重“跳板”。

基于以上思考，在课末，笔者引导学生反思：“这节课你有什么收获？”学生们纷纷发表观点。一个学生说：“我学会了求长方形和正方形的面积方法，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。”另一个学生说：“我不仅学会了怎么计算面积，我还知道了研究问题，可以从简单的开始。”还有一个学生说：“我知道了研究问题要多找几个例子，经过观察、实验、数据分析和思考，就能找到里面的奥秘。”……虽然学生的语言是稚嫩的，但是思考却越来越深刻了。今后，学生再遇到此类问题，就可以进行方法和思想的迁移，这种能力具有生长力，学生解决问题的能力在回顾中获得了实实在在的提高。

三、反思解题结果，优化解决问题的策略

学生的探究呈现出不同的结果，这就反映出学生思维水平的不同。教师既要关注结果的正确与否，更要借助结果的表达，透视学生的思维，进而提升学生的思维，优化解决问题的策略。

学生在认识了因数和倍数后，接下来就要研究一个数的因数和倍数。笔者出示例题：写出36的所有因数。

首先放手让学生尝试去写，在巡视时有意识地寻找学生的答案。在交流反馈中呈现学生三种不同写法：

（1）36的因数有：3，9，12，6，4，36，1;

（2）36的因数有：1，36，2，18，3，12，4，9，6;

（3）36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

然后把三份学习单的答案放在投影上，问：“你知道三位同学是怎样想的吗？”让所有学生一起反思他们的思考。在交流中学生逐渐认识到：第一种方法是想到一个写一个，思维比较乱，这样容易遗漏;第二种方法是一对一对地找，先想1×几，再想2×几，接着3×几，找的时候还很有顺序，这样就不会遗漏;第三种方法也是一对一对地寻找，但它比第二种方法更好，好在写完后，所有的因数是按从小到大的顺序排列的，是怎么做到的呢？原来是在写的时候一前一后，这样就排成了一组从小到大排列的数，显得更加有序。在这样的反思中，学生逐步形成了“成对寻找”“分组书写”“有序思考”的策略。

四、分析错误原因，生成新的教学资源

在学习的过程中，学生犯错误是在所难免的。犯错并不是一件坏事，一些典型的错误如果能够及时地捕捉，反而会成为非常好的教学资源，让课堂有“生成”的精彩，并起到防微杜渐的作用。因此，在课堂教学中，教师要鼓励学生真实地表达自己的想法，并引导其他学生共同分析错误的原因。

教学苏教版数学四年级下册《轴对称图形》一课时，笔者呈现了长方形、正方形、平行四边形、圆，一起探究这些平面图形是不是轴对称图形。在研究到平行四边形时，学生产生了分歧：大部分学生认为平行四边形是轴对称图形，只有极少学生则认为平行四边形不是轴对称图形。

随即，笔者问：“口说无凭，你怎么说服同学？”这时，一个学生拿出一个平行四边形，通过对折说明了平行四边形不是轴对称图形。其他学生仍有疑问：“换个方向再对折也许可以重合。”于是，学生们尝试了将平行四边形朝多个方向對折，发现仍然不能完全重合，这才形成了一致的结论：平行四边形不是轴对称图形。

而笔者却没有就此止步，而是引导全班学生思考：“为什么刚才很多同学会把平行四边形误认为是轴对称图形？”学生反思自己的思考，有的说：“因为我没有操作，是凭感觉的。”有的说：“沿对角线对折，两边的形状和大小完全相同。”还有的说：“沿对角线对折，感觉会重合。”笔者接着说：“从刚才这些同学的回答中，你得到了什么启示？”学生纷纷举手发言，有的说“判断一个图形是不是轴对称图形，不能凭感觉，而要借助对折，看一看对折后两边的图形能不能完全重合。”有的说：“即使对折后两边的图形形状、大小都相同，也不一定是轴对称图形。”还有的说：“很多图形看起来像轴对称图形，但不一定是。”“数学不能凭感觉做出判断，而要真正深入地去思考。”……由此可见，很多貌似粗心的错误，如果做进一步的分析，往往都能找到更深层次的原因，或是认知层面的，或是思维层面的，或是心理层面的。教师有意地回避错误或者无视错误也就在无形中浪费了一次绝佳的教育契机和一个绝好的教育资源。

综上所述，笔者认为数学教师绝不能满足于在问题解决之后，只给学生一个正面的肯定，而要深入钻研问题，挖掘问题蕴含的教学价值，更要细致观察学生的解答过程，准确把握学生的思维水平，设计恰当的问题，做出恰当的引领，使每一个学生都能够借问题解决之“形”，促思维生长之“神”。