盛液体烧杯重心位置的探讨

李福奇

(甘肃省兰炼一中 730060)

在高一的教辅资料中，有这样的一道习题.

原题：如图1所示，圆桶形容器内装有一定量的某种液体，容器和液体整体的重心正好位于液面上的O点，现将液体倒出少许，则关于整体重心位置的变化下列说法正确的是( ).

图1

A．下降 B．上升 C．不变 D．不确定

对于这个题，参考答案给出了这样的解析：

解析当液体全部倒出时，重心在O点上方，当液体倒出少许时，液体的重心是下降的，故整体的重心可能下降，也可能上升，要看倒出液体的质量．故选D.

从这个题的解析可以看出，由于倒出液体的质量的多少不确定，给出了系统重心位置的变化不确定的结果.而对于盛液体的烧杯系统重心的具体变化过程，答案没有给出明确的分析.有学生对于这个问题产生了如下质疑:

如图2所示，初始状态盛液体的烧杯系统重心在液面O点处.由于倒出部分液体，可以将系统分为倒出的液体和剩余部分(烧杯和剩余的液体)两部分.从烧杯中倒出的液体重心设为A处，剩余的液体及烧杯的重心设为B处.现在将倒出的液体取走，剩余的液体及烧杯的重心依然不变，则系统的重心从O点移到B点，重心位置升高.学生认为答案应该是B.

图2

学生对于这样的分析，是合理的.若要得到盛液体烧杯的重心位置具体变化过程，需要通过定量计算来分析重心的位置变化.对于由多个质点组成的系统重心的位置，可以由质心公式表示.

如图3所示，设烧杯的高度为H，烧杯的截面积为S，液体的密度为ρ，以烧杯底面圆心为坐标原点，烧杯中心轴为x轴，取烧杯质心位置为H0，注入液体的深度为h，则液体的质心位置h0，则系统的质心x可以由质心位置公式表示为：

图3

其中x随h0而发生变化，对方程进行变形整理

由均值不等式，其中

取最小值的条件是：

则x的最小值为：

=2h0=h

即烧杯与液体组成的系统重心在液面处时，系统的重心位置最低.

综上所述，若是注满液体的烧杯，将烧杯里的液体逐渐倒出，系统重心先降低后升高.当系统重心降至液面处时，烧杯与液体组成的系统重心位置最低.此时继续倒出烧杯的液体，系统重心位置又会上升，当液体全部倒完时，系统重心又会升至空烧杯重心处.