抽样不满足时的欠采样现象仿真

摘要：给出一个二维带限函数，依据抽样定理，分析出合适的抽样间隔。之后改变参数，继续验证抽样不当引起的欠采样现象，通过Matlab中多幅二维和三维图像的绘制和分析，以更直观和深入理解抽样定理与欠采样。

关键词：抽样定理;复原;欠采样

1 引言

在工程实际中，为了对信号有效传输和处理，往往要将连续信号进行采样离散化，以便计算机分析处理。“抽样”即对时间连续的信号按一定时间间隔抽取一个瞬时值，实现连续信号的离散化。本文利用Matlab作为分析和作图工具，选取一个带限函数，选择一定的抽样间隔，得到抽样函数的频谱，在频域滤波，观察欠采样现象，来更直观的理解抽样定理与欠采样。

2 抽样定理

香农抽样定理是数字信号中的一个重要的理论。该定理指出，对于能量有限的带限信号，要在数据接收端实现信号的无失真恢复，采样频率必须不小于信号带宽的两倍，即。当不满足抽样定理，即时，则频谱将产生混叠，不能恢复原信号。本文将通过分析抽样间隔，来验证抽样间隔选择不当而出现欠采样，无法正确复原原函数的情况。利用直观的仿真图形，进一步阐明抽样定理的内涵，加深其理解。

3仿真验证

3.1抽樣信号的恢复

考虑二维带限函数，在矩形格点上进行抽样，则抽样函数定义为：

其中comb为梳状函数，由δ函数阵给出，X，Y是δ在x方向和y方向上的间隔。

由（1）式可得

的频谱表示为：

其中u，v为频域坐标，分别对应于空域的x，y坐标，符号⊕为卷积。

假设函数是带限函数，其频谱只在频率空间的有限区域R上不为零。该函数被抽样后，抽样函数的频谱不为零的区域根据（2）式，可由在频率平面的每一个点的周围划出R区域得到。如果X和Y足够小，则1/X和1/Y的间隔就会足够大，以保证相邻区域不重叠。又由抽样定理，令2Bx和2By分别表示完全围住原带限函数频谱有限区域R的最小矩形沿u和v方向上的宽度，空域抽样点阵间隔满足X≤1/2Bx，Y≤1/2By的条件时，可保证频谱区域分开而不混叠，原函数可恢复。

仿真中，利用Matlab编写m文件实现信号复原。使用自带的peaks函数生成一个二维带限函数作为这里的，其数学表达式形式记为：，为了更好的观察原连续函数的带宽，可利用Matlab绘制三维频谱函数，以及沿u、v方向二维显示的中心剖线。该函数的空域图形与沿u方向的频谱中心剖线如图1。

根据的中心剖线图可知，所选带限函数的沿u，v方向带宽都小于128个像素，由于图像大小为256*256，根据抽样定理，重构原函数的条件是抽样间隔至少满足Y=256/128=2个像素，可选择X=Y=2。

为观察欠采样现象，选择4个像素为抽样点阵间隔，显然不再满足抽样定理，应出现欠采样。对按对应的位于原点的矩形函数作为64*64滤波器进行频谱滤波，再傅里叶逆变换，则可看到对应的滤波后的频谱与复原函数如图2所示。由于出现欠采样，原函数频谱高频信息出现部分丢失，复原的函数相比原函数也出现了明显高频丢失现象，引起了失真。

4 结论

本文以二维连续函数为例，对抽样定理进行了理论论述，对抽样条件不满足时的欠采样进行了重点仿真分析。可以看出，当带限连续函数的采样间隔不满足抽样定理要求而出现欠采样时，使用对应的滤波器进行频谱滤波后，将出现高频信息的丢失，而导致复原的函数明显失真，该结果表明抽样间隔的选择对于原函数的正确复原非常重要。此外，通过给出多个二维和三维的仿真图形，从时域和频域分别对原函数和抽样函数进行了展示和分析，有助于更直观的理解抽样定理的内涵。

参考文献

[1]刘密歌.采样定理研究[J].西安文理学院学报（自然科学版），2019，22（05）：64-68.

[2]严慧，徐志国，史金芬.基于虚拟仪器技术的数字信号处理教学研究[J].集成电路应用，2019，36（05）：47-50.

[3]黄植功.时域采样定理的教学探讨[J].广西物理，2017，38（04）：40-43.

作者简介：吴云飞（1980—），女，重庆人，硕士，讲师，研究方向为计算机应用技术、电气工程及其自动化.