傅里叶变换时-频对称性的Matlab可视化探讨

王波

摘要：以门函数和降正弦函数在傅里叶变换时-频对称性约束下的对应关系为例，探讨在理论教学过程中利用Matlab软件将傅里叶变换时-频对称性可视化的方法，通过改进教学手段，达到取得良好教学效果的目标。

关键词：傅里叶变换;時-频对称性;Matlab;可视化

中图分类号：TP391            文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）30-0130-02

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1 引言

傅里叶变换理论诞生于十九世纪初，其经历了约200余年的发展历程而日臻完善，并与由其衍生出的众多分支理论一同构成了完整的理论体系。现今，高等学校理工科许多的专业课程中都有傅里叶变换理论的身影，其是一些课程不可或缺的理论基础，是课程体系结构的主要构成部分，也是另外一些课程中分析和处理问题的重要工具。因此，傅里叶变换理论的教学很重要。

由于缺乏诸如数学、物理学和电路理论等必备的基础知识，傅里叶变换理论对于一部分学生变得相对深奥，这些学生面对傅里叶变换理论时无所适从，学习的畏难情绪很大。加之传统的课堂理论教学模式枯燥呆板，教学手段单调乏味，使学生的学习热情进一步降低[1]。种种不利因素及其产生的负面影响，使傅里叶变换及其相关理论的教学过程难以正常进行，难以取得良好的教学效果。

解决上述问题，可以尝试从多个方面入手，其中，在课堂教学过程中辅助以Matlab软件，就是一个可以选择的有效途径，借助于Matlab，使复杂的理论可视化，变抽象为形象，降低学习难度，提高学生主动学习的热情，进而取得良好的教学效果。下文，以傅里叶变换的时-频对称性的理论教学为例进行说明。

2傅里叶变换及其时-频对称性

2.1 傅里叶变换

以下两个积分变换合称为傅里叶变换对[2]。

[Fω=F[ft]=-∞∞fte-jωtdt             （1）ft=F-1[F（ω）]=12π-∞∞F（ω）ejωtdω    （2）]

式（1）即为傅里叶（正）变换积分表达式，籍以此式，可求出一个非周期连续时间信号f（t）所对应的频谱（密度函数）[F（ω）];而式（2）称为傅里叶反变换，其物理意义非常清楚，说明信号f（t）由众多的各种不同角频率的虚指数谐波分量[12πF（ω）ejωt]叠加构成，这正是傅里叶变换及系统频域分析等相关理论的基本出发点。信号f（t）与其频谱[F（ω）]的对应关系也可以简单的描述为[f（t）?F（ω）]。

2.2傅里叶变换的时-频对称性

傅里叶变换拥有众多的性质，借助这些性质，可以使傅里叶变换理论的应用更加灵活方便，时-频对称性就是其中之一，其可表述为[3]：

若[f（t）?F（ω）]，则

[Ft?2πf-ω                           3]

这表明，信号的时域变化与其频谱特性之间存在着一定的对称性，若时间信号f（t）的频谱为[F（ω）]，则波形形状为[Ft=F（ω）|ω=t]的时域信号的傅里叶变换即F（t）所对应的频谱为[2πf-ω=2πf（t）|t=-ω]。

特别地，若f（t）为偶函数，则有

[Ft?2πfω                           （4）]

3傅里叶变换时-频对称性的可视化

3.1 相关时间信号和频谱

在许多教科书或参考资料中，或者在教学过程进行的课堂上，常以门函数[gτ（t）]和降正弦函数[Sa（t）]以及它们所对应的频谱为例讨论傅里叶变换的时-频对称性。

门函数[gτ（t）]定义为以时刻t=0为对称中心的幅度为1，宽度为[τ]的单个矩形脉冲，根据式（1）对其进行傅里叶变换，可得[Fgτt=-∞∞gτte-jωtdt=τSa（τ2ω）]，此频谱为一个对称中心频率[（ω=0）]处幅度为[τ]的降正弦函数。即有以下傅里叶变换对。

[gτt?τSaτ2ω                         （5）]

以式（5）为前提，依托时-频对称性，可得对应的另一傅里叶变换对。

[τSaτ2t?2πgτω                        （6）]

取[τ=4]，依次将式（5）、式（6）实例化，即若有

[g4t?4Sa2ω                              （7）]

则               [4Sa2t?2πg4ω                         （8）]

3.2时-频对称性可视化的实现

在前述讨论的基础上，编制本文3.3部分给出的Matlab程序。需要特别说明的是，程序中通过组合调用Matlab的Symbolic Math Toolbox中的Heaviside函数对相关的门函数进行描述[4]，而降正弦函数则是借助于Signal Processing Toolbox中的sinc函数得以实现的。

如图1所示，通过程序代码的顺序执行，在图形窗口中从上到下依次将[g4t]、[4Sa2ω]、[4Sa2t]和[2πg4ω]等时间信号波形或频谱图形分别绘制的（a）、（b）、（c）和（d）四个子图中。利用子图（a）和（b）给出式（7）傅里叶变换对的图示，而式（8）傅里叶变换对则图示在子图（c）和（d）中。

观察各个子图可以很容易得到“时域的门函数对应频域的降正弦函数，而时域的降正弦函数则对应频域的门函数”的结论，时间信号和对应频谱的诸如脉冲宽度、幅度及过零点坐标等参数也一目了然。前述[g4t?4Sa2ω]和[4Sa2t?2πg4ω]两个傅里叶变换对实例在傅里叶变换时-频对称性意义下的逻辑对应关系通过这种方法得到了形象直观的可视化。

3.3 程序代码

subplot（411）;  %绘制g4（t）时域波形

t1=-4：0.001：4;

g4_t=Heaviside（t1+2）-Heaviside（t1-2）;

plot（t1，g4_t，'linewidth'，1.5）;hold on;

plot（[-2 -2]，[0 1]，'linewidth'，1.5）;

plot（[2 2]，[0 1]，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼itt  ＼rm秒'）;ylabel（'（a）  g_4（t）'）;

axis（[-4 4 0 1.1]）;

subplot（412）; %绘制4Sa（2w）频谱图形

w1=-4*pi：0.001：4*pi;

Sa_2w_Mul_4=sinc（2.*w1/pi）.*4;

plot（w1，Sa_2w_Mul_4，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼it＼omega  ＼rm弧度/秒'）;ylabel（'（b）  4S_a（2＼omega）'）;

axis（[-10 10 -1 4.3]）;

subplot（413）; %绘制4Sa（2t）时域波形

t2=-5.*pi：0.001：5.*pi;

Sa_2t_Mul_4=sinc（2.*t2/pi）.*4;

plot（t2，Sa_2t_Mul_4，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼itt  ＼rm秒'）;ylabel（'（c）  4S_a（2t）'）;

axis（[-10 10 -1 4.3]）;

subplot（414）; %绘制2*pi*g4（w）频谱图形

w2=-4：0.001：4;

g4_w_Mul_2pi=[Heaviside（w2+2）-Heaviside（w2-2）].*2.*pi;

plot（w2，g4_w_Mul_2pi，'linewidth'，1.5）;hold on;

plot（[-2 -2]，[0 2.*pi]，'linewidth'，1.5）;

plot（[2 2]，[0 2.*pi]，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼it＼omega  ＼rm弧度/秒'）;ylabel（'（d）  2＼pig_4（＼omega）'）;

axis（[-4 4 0 7]）;

4结束语

以上，借助于一个实例描述了将傅里叶变换时-频对称性可视化的过程，这只是一个初步探索。实际上，功能强大的Matlab在辅助教学领域有着更广阔的应用空间，可以将Matlab可视化手段应用到更多课程理论的教学过程。

为进一步提高学生的学习兴趣，调动学生学习理论知识的积极性，可以让学生参与到可视化程序的设计过程中去，这亦有助于学生对理论本身的理解和掌握，进一步获得更好的輔助教学效果，使理论教学过程顺利进行。

参考文献：

[1] 侯大有.基于MATLAB的《信号与系统》课程教学研究[J].电脑知识与技术，2018（2）：89-91.

[2] 马金龙.信号与系统[M].北京：科学出版社，2010：129.

[3] 燕庆明.信号与系统教程[M].北京：高等教育出版社，2013：111.

[4] 梁虹.信号与线性系统分析[M].北京：高等教育出版社，2006：226.

【通联编辑：王力】