思之有序：促进学生思维灵性“生长”

张慧

[摘 要]有序思维是理性思维的基础和前提，培养学生的有序思维是数学教学的重要任务之一。基于教学实践，通过设计核心问题，激活有序思维;借力数学操作，促进有序思维;展开数学探究，助推有序思维;设计针对练习，发展有序思维，提出培养学生有序思维的路径。

[关键词]有序思维;理性思维;数学探究

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0083-02

数学是思维的体操。郑毓信教授在“走进数学思维”的报告里提到，帮助学生学会数学地思维，乃至“通过数学学会思维”。数学思维是数学核心素养重要的组成部分，它指的是学生在思考和解决问题时能够遵循一定的逻辑顺序，按照特定的步骤有条不紊地展开探索。有序思维是理性思维的基础和前提。培养学生的有序思维，对于提升学生数学思考力，发展学生核心素养具有重要意义。受年龄特点和认知水平的限制，在很多情况下，小学生的思路往往是混乱的、无序的，虽然他们喜欢动手操作，却很少去探究操作背后的方法。那么如何培养小学生的有序思维？

一、设计核心问题，激活有序思维

亚里士多德曾言：“思维从对问题的惊讶开始。”发展学生的数学思维，离不开问题的引领。核心问题是课堂的中心问题，其往往能直击知识的本质，切中学习的重点和难点，扣准学生思维的困惑，具有提纲挈领的作用。对此，在课堂中，教师可结合教学内容和学生认知水平，设计具有针对性以及思考性的核心问题，引导学生进行有序化的数学思考，由此激活学生的有序思维。

例如，教学“圆的面积”时，学生已经学习并探究了平行四边形、三角形和梯形面积公式的推导过程，这为学生进一步学习圆的面积提供了知识基础和思维经验。基于这样的认识，教师设计核心问题。

师：根据以往的学习经验，你认为应该如何推导圆的面积公式？

（学生纷纷提出运用转化的策略解决问题，教师趁势将核心问题进行分解）

师：为什么要进行转化？

生：因为在推导平行四边形、三角形和梯形面积公式的时候都运用了转化的思想。

师：将圆转化成什么图形？如何进行转化？

（学生通过操作和探究得出结论：采用“先等分，再拼接”的方法把圆转化成长方形，由此实现把未知图形转化成已知图形）

师：如何根据圆和长方形之间的关系，推导出圆的面积公式？

（学生结合平行四边形、三角形等平面图形面积公式的推导经验，得出：把圆转化成长方形，形状变了，面积没变。长方形的长等于圆的周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。圆的面积=长方形的面积=长×宽=2πr÷2×r=πr2）

教学中，教师围绕圆的面积的探究过程设计了具有较强引领的核心问题，并在此基础上把核心问题分解为层次分明、逻辑清楚的三个分问题：“为什么要进行转化？”“如何进行转化？”“根据什么关系推导出圆的面积公式？”正是这种有序化的数学问题激活了学生的有序化思考，发展了学生思维的有序性。

二、借力数学操作，促进有序思维

史宁中教授认为，世界上有很多东西是不可传递的，只能依靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用经验，对此，学生要在实际操作中磨炼。课程标准明确指出，独立思考、动手操作以及合作交流是学生学习数学的主要方式。小学生以直观形象思维为主，他们活泼好动，动手操作高度契合了小学生的生理和心理特征，是学生学习知识、形成能力的有效途径。儿童的思维往往起始于动作，但是逻辑次序的操作基本是低效的。教师要高度关注学生操作的动态过程，从学生操作顺序和操作行为的规范性、流畅性等方面给予必要的指导和帮助，尤其重视操作行为的有序性，并以此作为着力點将操作行为进行细分，帮助学生有计划、有步骤地进行数学操作，使操作行为符合学生的认知规律，从而借力外显的操作行为发展内隐的数学思维。

例如，有这样一道题：把5颗黄豆摆在红色和白色两个盘子里，一共有几种摆法？学生拿起教具亲自摆一摆，试一试。当学生操作完毕以后，教师引导学生说一说自己的摆法。有学生提出了这样的摆法：“红盘1，白盘4;红盘2，白盘3;红盘3，白盘2;红盘4，白盘1。一共有4种摆法。”有学生提出了质疑，认为漏掉了两种情况，应该是：“红盘0，白盘5;红盘1，白盘4;红盘2，白盘3;红盘3，白盘2;红盘4，白盘1;红盘5，白盘0。”以此为契机，教师引导学生对这两种摆法予以分析，学生通过比较发现，第二种摆法比较有次序，先摆红盘，再摆白盘，红盘从0依次加1，直至5，白盘从5依次减1，直至0，这样摆放既不容易遗漏，也不重复。在此基础上，有学生又提出了这样的摆法：“红盘0，白盘5;白盘0，红盘5;红盘1，白盘4;白盘1，红盘4;红盘2，白盘3;白盘2，红盘3。”通过分析得出，这种摆法也比较有次序，同样不易遗漏和重复。

教学中，教师引导学生通过分一分、摆一摆的数学活动，使学生通过对比和分析，感悟有序思考的必要性。按照从小到大或者从大到小有序地分、有序地摆，凸显了操作过程中的有序性和逻辑性，也体现了学生思维的有序性。

三、展开数学探究，助推有序思维

苏霍姆林斯基曾言，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者，而在儿童的内心世界中，这种需要尤为强烈。学生是天生的探究者，学习本来就是一个主动探究的过程，教师可创设探究情境，拓展探究空间，推行探究性教学，使学生在探究中获得真知，发展数学思维。然而，需要注意的是，学生的探究过程应该是一个有序的过程，学生对于先做什么、后做什么应该有明确的规划，只有这样的探究，才能真正起到发展学生有序思维的作用。在探究过程中，教师应让学生的思维经历一个“爬坡”的过程，由最初的困惑，通过点拨逐渐走向顿悟， 最后品味成功。

例如，教学“长方形的面积”时，教师引导学生采用“平铺法”推导长方形面积公式。首先，教师展示一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，指导学生用面积为1平方厘米的小正方形铺满这个长方形，学生发现每行可以铺4个，一共铺了3行，即一共铺的小正方形个数为“每行的个数×行数”，即4×3=12（个）小正方形，所以长方形的面积是4×3=12（平方厘米）。然后，教师引导学生建立“长与每行的个数”和“宽与行数”之间的对应关系，学生最终得出长方形的面积=长×宽。在此基础上，有的学生提出，只铺一行一列就可以知道小正方形的个数是“每行的个数×行数”，即长方形的面积是4×3=12（平方厘米），用“半铺法”推导出长方形的面积公式。

教学中，学生对长方形面积公式的探究活动应是严谨、有序的，其基本上可分为以下几个环节：先平铺，再根据“每行的个数”和“行数”确定小正方形的数量，然后建立起“长与每行的个数”和“宽与行数”之间的对应关系，最后推导出长方形的面积公式。有序探究必然催生有序思维，学生在有序探究中不但了解了长方形面积公式中长、宽各部分的由来，还培养了学生有序思考的能力。

四、设计针对练习，发展有序思维

数学习题好比磨刀石，使学生的思维越磨越锋利。数学习题是课堂教学的延伸，也是助力学生巩固知识、形成技能不可或缺的必要环节。在教学中，教师设计有针对性的练习，凸显练习的次序性和层次性，能够最大限度地发挥习题的功效，巩固课堂教学效果，培养有序思维，使学生能在解决问题的过程中学会有序地思考，有序地表达，最终达到在数学练习中发展有序思维的目的。

师：用2、5、8三个数字可以组成哪几个不同的三位数？

生1：可以组成258、825、528……

生2：太乱了，很容易重复，也容易漏掉。

师：怎样才能让答案更有序呢？（学生讨论）

生3：我是这样想的，先确定百位上的数，然后再确定十位上的数，最后确定个位上的数。比如，百位上是2，那么十位上就有可能是5或8，如果十位上是5，那么个位上就是8;反之，如果十位上是8，那么个位上就是5，即当百位上的数是2时，可以组成258和285两个数。同理，当百位上的数是5时，可以组成528和582两个数;当百位上的数是8时，可以组成825和852两个数。因此一共可以组成6个数：258、285、528、582、825、852。

教学中，学生从一开始的无序回答转为有序思考，在从“无序”到“有序”的转化中，学生体验到了有序思维的价值，这对于发展学生的有序思维，优化学生的思維品质起到了重要的推动作用。

郭思乐教授指出，思维是数学教学的潜在目的，这首先是由于数学的高度抽象、遵从逻辑规则和不断创造新的精神产品的特征，数学学习获得的逻辑思维能力对人的发展影响最大。有序思维是数学思维品质的重要组成部分，然而，培养学生的有序思维并非朝夕之功，需要教师在教学中长期不断地坚持。教师要敏锐地挖掘激活学生有序思维的素材，做到数学知识的序、学生思维的序和学习活动的序三者的有机统一，促使学生的思维从无序走向有序。

（责编 覃小慧）