关于双层齿轮组连锁运动机制的动力学分析

高旭东 王凯 秦雪峰

摘要：双层齿轮组在连锁转动时所体现出的机械传动具有随双层齿轮的叠加而使其速度层呈指數式倍增的特点，主要构成方式是将第n个双层齿轮的大齿轮部分放在第n+1个双层齿轮的大齿轮面上，与其小齿轮嵌合而利用大小齿轮间的半径差进行指数式传动。民间出现的双层齿轮组一般用于减速用，若用于加速则对流水线生产、高机械动力性能产品的研发具有重要的推动作用。由于缺少对于双层齿轮组实际加速效果的较为精确的理论分析与实验分析，该文所论述的双层齿轮组的连锁运动问题暂可用于高校物理专业力学习题研究的理论参考。

关键词：双层齿轮、线速度、角速度、小齿轮、大齿轮。

1.双层齿轮组的连锁运动机制

已知线速度与角速度的关系式为ν=ωr，令镶嵌在一条线上的双层齿轮组的所有双层齿轮的角速度分别为ω1、ω2、···、ωn大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r，则可推出。顺势我们就不难推出第n个齿轮的角速度为。

现任取其中第2至n个双层齿轮作为研究对象，角速度值分别为···。将第2个双层齿轮角速度的值代入第3个双层齿轮的角速度值可得，再将其代入第四个双层齿轮的角速度值可得或，据此可推出：

不过为了方便计算最后一个齿轮的角速度，公式就写成：

其中，ω1定义为初齿轮角速度，ωn定义为末齿轮角速度。

就单个双层齿轮而言，可令V为大齿轮的线速度、ν为小齿轮的线速度，则，于是。由于在后续重力风扇设计时将利用的是双层齿轮组的初齿轮的小齿轮线速度以及末齿轮的大齿轮线速度（给予一种作用力使得整个连锁齿轮装置转动动时，以初齿轮的小齿轮为力的作用对象能使末齿轮的大齿轮线速度的加成达到最大化），则初齿轮的大齿轮线速度与末齿轮的小齿轮线速度就一般不予考虑。因此，利用上述条件可将（1-2）式化为：

另外，各个双层齿轮之间的转动还有这样一个特点，若第1、3、5…2n+1个双层齿轮是沿顺时针方向转动的，则第2、4、6…2n个齿轮沿逆时针转动，说明双层齿轮序数的奇偶性相等时，该部分双层齿轮的转动方向就相同，从而根据（1-3）式可进一步推出，n为奇数时，末齿轮与初齿轮的转动方向相同，偶数则方向相反。

2.双层齿轮组的连锁作用力机制

令双层齿轮中间挖空的一个圆柱体的半径及质量分别为为r1、m1，大齿轮部分质量为M，小齿轮部分质量为m，制作该齿轮材料的密度为ρ，大小齿轮厚度均为h（只重叠，不重合）。双层齿轮的转动本质上圆柱体的转动，已知圆柱体的转动惯量为，运用转动惯量的叠加原理可得单个双层齿轮的转动惯量推导如下：

I大：大齿轮的转动惯量M为大齿轮的质量

I小：小齿轮的转动惯量m为小齿轮的质量

I空：指为了串联细杆，从双层齿轮间挖空的一个圆柱体的转动惯量。

忽略齿尖大小、形状对于单个双层齿轮的转动惯量的影响，就当做所有的齿尖是通过对一个固定大小、形状的同轴、重叠的圆柱体的重塑后设计出的，整个双层齿轮的质量不变。由于改变的只是各个大小圆柱体的侧面线条的分布，使其因带有齿尖俯视看来就不再是一个光滑的圆，但大体上还是个圆，总的双层齿轮的转动惯量大小是基本不变的。

由于αt=ω （α为角加速度），可将（1-2）式化为，于是有（M为力矩，i=1，2，3，…，n），从而可以得到：

其中Fn是指n个双层齿轮加速运动时需要在初齿轮施加的力（变力）。若力的大小及方向都不变，力作用于初齿轮的大齿轮或小齿轮所产生的整个双层齿轮的角加速度都是相等的，力的方向一般与之相切。

3.结束语

因涉及到转动惯量方面的力学问题，双层齿轮组的连锁加速机制及作用力机制可用于物理专业力学习题分析的教学材料参考。然而，站在大方面的科学研究的角度，利用双层齿轮组的加速机制进行高机械传动性能产品的研发在目前存在一些困难，主要在于多个双层齿轮嵌合所导致的较高摩擦力，这一点笔者会在后续的持续研究中予以解决。

参考文献

1.周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，2018（8）.