2021年淮安市一道考题的思考

【摘 要】 对于2021年淮安市中考数学第26题的“拓展延伸”的第（1）小题，考生能够猜到两线段的数量关系是相等，但很多考生无法给出其证明.这个证明真的很难吗？文章从学生的知识储备、审题两个方面分析了解题受阻原因，提出了应对策略，基于不同思想方法进行了解题分析.倡导教师加强对课本的研究，特别在处理课本例习题时，不能仅仅停留在解题层面上，还应加强问题的纵向挖掘横向联系，在归纳总结的过程中，努力提高学生的分析问题解决问题的能力.

【关键词】 HL定理;等腰三角形;课本问题;解剖“麻雀”

1 考题呈现

题1 【知识再现】学完“全等三角形”一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上.若CE=BD，则线段AE和线段AD的数量关系是________.

【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC=α（90°<α<180°），AB=AC=m，点D在边AC上.

（1）若点E在边AB上，且CE=BD，如图2所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明;如果不相等，请说明理由.

（2）若点E在BA的延长线上，且CE=BD.试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α，m的式子表示），并说明理由.

2 解题分析

题1是2021年淮安市中考数学第26题，这是一道阅读说理题，问题层次清晰言简意赅，寥寥数语就勾勒出问题的大致轮廓，道出了问题的背景，这也在某种程度上暗示考生：题1与直角三角形全等的判定HL有联系，是HL定理的延续.题1需考生回答的问题共有3个，本文仅分析第2个，即【拓展延伸】的第（1）小题.

图2呈对称性，可看作是由图1向下“压缩”的结果.借助于几何直观，考生容易猜出图2中线段AE，AD的数量关系是AE=AD，但从考后反映看，很多考生无法给出其证明.那么这个证明真的很难吗？

不难发现，在不添加辅助线的情况下，仅用初中知识还不足以证明AE=AD.那么如何添加辅助线思考呢？为了便于行文，现将【拓展延伸】的第（1）小题中的说理部分用命题形式表述如下：

题2 如图2，在△ABC中，∠BAC=α（90°<α<180°），AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，且CE=BD，求证：AE=AD.

2.1 课本问题

先分析与题2相关的几个课本问题：

苏科版《数学》八年级上册（下称“同册”）第31页第8题：

题3 已知：如图3，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是高，求证：BD=CE.

题3用文字语言表述即为“等腰三角形的两腰上的高相等”.这是等腰三角形的一个性质，是解决题2时，最容易联想到的一个有价值的命题，只是这个命题被以问题的形式安排在教材的前一章“全等三角形”中.那么在進行等腰三角形的性质教学时，教师是否会引领学生回望一下这个曾经研讨过的问题？是否会对问题作变式教学（如顶角变为直角，钝角）？是否会对这个命题加以提炼，以便于学生将其纳入等腰三角形的性质这个知识系统呢？显然，任何一个环节教学不到位，都会影响这个命题信息在证明题2时不能及时被提取.

再如，同册课本的教师用书在第65—66页给出一个教学建议，即可根据实际情况，补充如下例题：

题4 已知：如图4，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：DE=DF.

题4用文字语言表述即为“等腰三角形的底边的中点到两腰的距离相等”.这个命题对解决题2同样有价值，不过，教师用书仅是一个建议，教师是否补充还需根据教学的实际情况.事实上，教材在“等腰三角形的轴对称性”这一节中安排了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，直角三角形的斜边上中线的性质等内容，但只给了3个学时，由于内容多，教学时间紧，实际的教学情况可能有部分老师无暇顾及这道补充例题.

还有，同册课本第67页的第9题：

题5 已知：如图5，AB=AC，∠ABD=∠ACD.求证：BD=CD.

对于题5的教学，很多老师的课堂可能仅限于问题的证明，部分老师会将图5中的四边形ABCD演变为凹四边形，或向前再跨一步，如将“∠ABD=∠ACD”与“BD=CD”对调，但仍囿于问题的证明教学.倘若课堂上师生共同探讨将图5“裂变”为图6，引出题6，题7，再共同归纳提炼，那么必有一些考生在证明题2时，将会多了一条“化归法”的路子.

题6 已知：如图6，△ABD和△ECF中，AB=EC，AD=EF，∠B=∠C=α（90°<α<180°），求证：△ABD≌△ECF.

题7 已知：如图6，△ABD和△ECF中，∠B=∠C，AB=EC=a，AD=EF=b，且a

苏科版《数学》八年级下册第69—71页还提及了反证法，随后配备了相关的阅读材料，但没有配备相应的思考题，由于缺少系统的训练，因而当考生证明题2受阻时，一时半会儿也不可能想到反证法.

鉴于上述知识储备情况的分析，大部分考生无法证明题2也就不奇怪了.

2.2 解剖“麻雀”

考生证明题2卡壳的另一个因素是审题草率，分析问题解决问题的能力不强.对于图1中等腰直角△ABC，很多考生对它仅是走马观花式地“瞟”了一眼，在对【简单应用】中的问题作出回答后，就将其束之高阁了，这是一种不负责任的审题方式.如果对图1，图2的分析稍加入微些，标注出图1，图2中△ABC各角的度数，如图1中△ABC各角的度数分别为90°，45°，45°，图2中△ABC各角的度数分别为α，90°-12α，90°-12α，将会发现图1到图2的演变的跨度是很大的，等腰直角三角形的形状是唯一的，而顶角为α（90°<α<180°）的等腰三角形的形状不唯一，它是一类等腰三角形，要研究与这一类等腰三角形相关的问题的属性，可以从其特殊性中选择一个典型的问题入手——解剖“麻雀”.如

题8 如图7，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D，E分别在边AC，AB上.若CE=BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明;如果不相等，请说明理由.

在题8中，由于∠BAC=120°，容易联想到与其相邻的补角为60°，进而联想并构造含30°的直角三角形，如作BF⊥AC，CG⊥AB，垂足分别为F，G，得AF=AG=1，BF=CG=3.也可作EP⊥AC，DQ⊥BA，垂足分别为P，Q.设AP=x，AQ=y，则EP=3x，DQ=3y，CP=2+x，BQ=2+y.再如根据∠ABC=∠ACB=30°，可作EM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，设EM=x，DN=y，MN=a，则BM=3x，CN=3y，BN=3x+a，CM=3y+a.显然，当标注出相关线段的长度或线段之间的数量关系后，剩下的解题路径就较明朗了.

3 四种证法

结合以上分析，下面给出题2的四种证法：

证法1 （综合法）如图8，作BF⊥AC，CG⊥AB，垂足分别为F，G，则∠F=∠G=90°.结合∠BAF=∠CAG，AB=AC，得△BAF≌△CAG（AAS）.进而BF=CG，AF=AG.由于CE=BD，因而Rt△CEG≌Rt△BDF（HL）.从而EG=DF.进而EG-AG=DF-AF，即AE=AD.

评注1 图8中，△BCF，△BCG均是以BC为斜边的直角三角形，因而以BC为直径作⊙O交边CA，BA的延长线分别于点F，G，连接BF，CG（图略），类似可解.

若结合命题“等腰三角形的底边的中点到两腰的距离相等”及CE=BD，则构图如下：如图9，分别取BC，BE，CD的中点O，M，N，连接OM，ON，作OG⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为G，F，可证△OBG≌△OCF（AAS），Rt△OGM≌Rt△OFN（HL）.进而BG=CF，MG=NF.从而2（BG-MG）=2（CF-NF），即BE=CD.因而AE=AD.

不难看出，图9与图8是有联系的，如以点C（B）为位似中心，位似比为12，将图8中的△BDF（△CEG）缩放，得图9中的△ONF（△OMG）.

证法2 （以数解形法）如图10，作EM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，则∠EMB=∠DNC=90°.由AB=AC，得∠EBM=∠DCN.因而△BEM∽△CDN.进而EBDC=EMDN=BMCN.设EM=x，DN=y，BM=nx，则CN=ny.再设MN=a，由BD=CE，得BN2+DN2=CM2+EM2，即（nx+a）2+y2=（ny+a）2+x2.整理，得（x-y）[（n2-1）（x+y）+2an]=0.由AB=AC，90°<∠A<180°，得0°<∠EBM<45°.因而BM>EM，即nx>x.所以n>1.从而（n2-1）（x+y）+2an>0.所以x-y=0，即x=y.于是EB=DC.进而AE=AD.

評注2 证法2是在前文题2解答分析的基础上提出的.这里通过作高线EM，DN，分别将斜△EBC，△DCB分割成两个小直角三角形（即“化斜为直”），其中Rt△BEM与Rt△CDN相似，Rt△CEM，Rt△BDN的斜边CE，BD相等，进而紧扣对称性设未知数，结合BD=CE列出等量关系，并瞄准因式x-y（=0）整合方程，从而达到了以数解形的目的.类似地，作△ACE，△ABD的高线EP，DQ（如图11），也可将这两个斜三角形“化斜为直”：

如图11，作EP⊥AC，DQ⊥AB，垂足分别为P，Q，则∠P=∠Q=90°.结合∠EAP=∠DAQ，得△EAP∽△DAQ.

进而AEAD=APAQ=EPDQ.设AP=x，AQ=y，EP=nx，则DQ=ny.由BD=CE，得DQ2+BQ2=EP2+CP2.再设AB=AC=m，因而（ny）2+（m+y）2=（nx）2+（m+x）2.整理，得（x-y）[（n2+1）（x+y）+2m]=0.显然，（n2+1）（x+y）+2m>0.因而x-y=0，即x=y，亦即AP=AQ.所以AE=AD.

证法3 （反证法）如图12，假设AE≠AD.在AB上取点E′，使AE′=AD，连接CE′.因而AE′≠AE.结合AC=AB，∠A=∠A，得△ACE′≌△ABD.所以CE′=BD.由于CE=BD，因而CE′=CE.接下来，选择以下一种方法可说明假设不成立.

①由CE′=CE，得∠CE′E=∠CEE′.因而∠CE′E，∠CEE′均为锐角，但这是不可能的.因为当点E′在AE上时（如图12（1）），∠CE′E=∠A+∠ACE′>∠A>90°;当点E′在BE上时（如图12（2）），∠CEE′=∠A+∠ACE>∠A>90°.故假设不成立.

②如图13，再作CH⊥BA，垂足为H.由于CE′=CE，CH=CH，因而Rt△CHE′≌Rt△CHE.所以HE′=HE（也可由勾股定理推得）.因而AE′=AE，这与AE′≠AE矛盾.故假设不成立.

因而AE=AD.

评注3 在直接证明较为困难的情况下，可以考虑间接证法，方法3采用的是间接证法中的反证法.当然，证法3中的第一段内容也可用如下方法替换：

①假设AE≠AD，作△BCD的外接圆⊙O，交AB于点E′，连接CE′（图略）.由AB=AC，得∠ABC=∠ACB.进而CE′=BD.

②如图12，假设AE≠AD，在AB上取点E′，使AE′=AD，连接CE′，则AE′AB=ADAC.由于△CAB∽△BAC，因而CE′BD=BCCB=1.进而CE′=BD.（注：这里将△ABC看成是相似比为1的两个相似三角形叠放成的，再运用相似三角形的对应线段的比等于相似比）

证法4 （化归法）如图14，以CE（=BD）为一边作△CEA′，使△CEA′≌△BDA，连接AA′，则A′C=AB，A′E=AD，∠CA′E=∠BAD.由于AB=AC，所以AC=A′C.从而∠CAA′=∠CA′A.进而∠EAA′=∠EA′A.因而A′E=AE.所以AE=AD.

评注4 证法4就是根据题6（或题7）与题5之间的关系，结合BD=CE，将△BDA拼接到△CEA上，将问题化归为题5.

当然，还可以将△BDA“移动”到△B′D′A′的位置（如图15），其中，点B′与点C重合，A′D′落在边BA的延长线上.具体证明如下：

在BA的延长线上取点A′，D′，使A′C=AB，A′D′=AD，连接CD′，作CH⊥AB，垂足为H.结合AB=AC，得A′C=AC.因而∠CA′A=∠CAA′，A′H=AH.进而∠CA′D′=∠BAD.因而△CA′D′≌△BAD（SAS）.所以CD′=BD.结合BD=CE，得CD′=CE.所以D′H=EH.进而D′H-A′H=EH-AH，即A′D′=AE.所以AD=AE.

其实，这个证法也是有（题）“根”可寻的，同册课本第74页第9题是：

题9 如图16，点D，E在BC上，且AB=AC，AD=AE.图中还有哪些相等的线段？试用不同的方法证明你的结论.

运用图15证明题2，其过程虽然没有证法4简捷，但此法有明显优点，就是让题1的【拓展延伸】的第（2）小题搭上了解题的“顺便车”，驶入了解题的快车道.

4 反思提升

以上给出了题2的四种证法，这也是题1的【拓展延伸】的第（1）小题的AE=AD的四种证法.在这些证法中，即使等腰三角形的相关性质在某些环节上存在或多或少的教学不到位，但由于它们是常规的问题，在平时的教学中会不时地涉及到，因而综合法仍然是学生最容易想到的方法.相对于综合法，后三种方法就显得非常规了，如果没有前文的解剖“麻雀”，那么想建立以数解形法将会困难得多.当然，由解剖“麻雀”也容易联想到文中的综合法.反证法是间接证法，是正难则反思想中的一种方法，虽然反证法在课堂教学中偶尔提及，但就本文而言，学生不难理解.化归法是运用全等变换，将题2化归为课本习题，建立的是题与题之间的联系，是在两个不同的问题之间找到共同点，这不仅要求解题者对课本习题非常熟悉，同时还需具有敏锐的洞察力，以及较强的思维应变能力.可见，题2的证明是有难度的，但由于其解决的路径比较多，只要基本功扎实，思维灵活，考生总能找到一款适合自己的方法.同时说明，2021年淮安市中考第26题是一道好题，是一道将众多数学思想方法融为一体的思维性极高的考题，要解好这类既源于课本又高于课本的考题，在平时的教学中，教师应加强对课本的研究，特别是例习题的教学不能仅仅停留在解题层面上，还应加强问题的纵向挖掘横向联系的教学，在归纳总结的过程中，努力提高学生的分析问题解决问题的能力.

最后，需提及的是，由题2的四种证法，均可证明图2中的△ABD≌△ACE，因而也就证明了题7，此命题用文字语言表述即为：“有两边及较大边所对的角分别相等的两个三角形全等.”这实质上推广了HL定理.基于这个推广，可以看出用图6中的两个三角形“组图”，除了可以组合成图2、图5、图16等图形外，还有其他组合形式，这里再列举几个，供教学参考.

题10 如图17，四边形ABCD中，AB=DC，AD∥BC，∠ADB=α（90°<α<180°）.四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？

題11 如图18，四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D=α（90°<α<180°）.四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？

题12 如图19，AC⊥BC，DC⊥EC，AE=BD，DC=EC.图中AE，DB有怎样的位置关系？为什么？

题13 如图20，△ABC中，AB=AC，D是其内部一点，∠ADB=∠ADC.AD与BC有怎样的位置关系？为什么？

作者简介 何良（1968—），男，江苏淮安人，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.