有理数乘法“负负得正”教学再思考*

广东省中山市远洋学校(528403) 陈晓明

广东省中山市民众中学(528441) 杨良畏

1 教学困惑分析

有理数乘法难教原因就是说不清楚“负负得正”这个法则,或者说生活中没有较好的情境去解说这个法则.人教版教材曾尝试用“蜗牛爬行”的情境,一只蜗牛沿直线爬行,它现在的位置恰好在l上的点O.如果蜗牛一直以每分钟2厘米的速度向右(左)爬行,3 分钟后(前)它在什么位置.显然,对于刚上初一的学生来说,要理解这个情境是很困难的,第一种方式本质上是用一个有理数知识建模解决实际问题的过程,涉及到时空因素,而且“时”包括未来、现在和过去,“空”包括左右两个方向, 这种情境对于初一学生来说很复杂,对抽象思维能力要求较高,反而对学习造成干扰.

在教学中, 很多教师为了让学生发现有理数乘法法则,创设了生活化的数学情境, 作为一面旗帜来引导学生学习法则.笔者在教学前也询问了许多有经验的教师, 如何处理这个问题? 大多数教师都不能很好的用引例说明这个问题, 即便能举出个例子勉强说明负数乘正数和正数乘负数的例子, 但负数乘负数这个就没有较好生活实例能够解释清楚, 至少不是那么容易让学生理解.“负负得正”的教学是“世界性难题”, 能够把它说清楚确实很困难.史宁中教授在文献[1] 中提出: 从“任何数与零相乘均等于零”出发, 推算如下: 0 = (−1)×0 = (−1)×[(−1) + (+1)] =(−1)×(−1)+(−1)×(+1)=(−1)×(−1)+(−1).

第三个等号是用到了乘法的分配律, 第四个等号是负数乘正数, 根据小学规定乘法是数自身连加的缩写类比得到.从减法定义可知, 只有(−1)+(+1) 才能等于0, 所以,(−1)×(−1) = +1.但是,我们知道乘法分配律应该是在乘法法则之后才加以扩充学习的,以前小学只是非负数的基础上学习乘法分配律,所以这种教法也是有瑕疵的.但这种想法给予我们一种思考,那就是若按照这种思路走下去,我们规定的“负负得正”它是合理的,这种创造使得乘法运算从自然数集拓展到有理数集,不仅保持运算结果的统一性,还保留了相应的乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配律.实际上,符号法则“负负得正”是一种数学创造,为的是在保持数学算术运算律的条件下使运算能和谐自如,它是不能“证明”的.在数学发展史上,经过很长一段时间数学家才认识到这一点.负数的乘法运算,尤其是负数与负数,是超越经验的,用任何具体的例子来解释都有很大的局限性.因此,我们教师只需要简单的说明这种法则是合理的,这是一种规定性的结果.基于此, 很多教材舍弃了这种“匀速直线运动状况分析”情境教学模式,选择了“从正数×正数出发的归纳推理”.现在最新版的人教版教材就是采用归纳推理教学模式,舍弃以前的“蜗牛爬行”情境教学模式.

2 人教版教材处理有理数乘法解析

最新人教版教材舍弃“匀速直线运动状况分析”情境教学模式,选择了“从正数×正数出发的归纳推理”.对于这种取舍,笔者认为教材编委也是经过深思熟虑的,读者不难发现人教版最新教材, 从有理数的概念到运算法则和运算律,始终坚持“归纳式”呈现内容.这样做的目的,主要是为了体现以数学知识发展过程为载体进行“思维的教学”这一数学课程的核心任务,使学生在学习过程中,不仅学会知识,而且受到研究问题的思想方法训练, 从而培养学生的思维能力,逐步发展独立解决问题的能力.

教材在处理有理数乘法之前就已经释放出信息, 让学生对数学乘法有初步了解.在学习有理数加减法后,人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第26 页习题1.3 第12 题: 计算(−2) + (−2), (−2) + (−2) + (−2),(−2)+(−2)+(−2)+(−2),(−2)+(−2)+(−2)+(−2)+(−2).

猜想下列各式的值: (−2)×2,(−2)×3,(−2)×4,(−2)×5.你能进一步猜想出负数乘正数的法则吗?

初一学生在小学就已经学过,求几个相同加数的和用乘法.沿用这个规定,(−2)+(−2)就可以记作(−2)×2 这是根据已学经验,用具体到抽象的方法,猜想乘法法则.这道习题的设置,让学生提前了解了乘法法则,虽然是一部分,但可以让学生很容易理解“负数乘正数”这一法则.但笔者对这道题目有一些看法,笔者认为这道题目应当舍去.这是基于教材后面的编写考虑的.

首先,这道题目会干扰我们后续有理数乘法的教学,教材对有理数乘法教学的处理是采用归纳推理的教学方法.教材构建了如下归纳过程:

观察3×3 = 9,2×3 = 6,1×3 = 3,0×3 = 0 说规律(随着前一个乘数逐次减1,乘积逐次递减3).以问题“要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有(−1)×3=____,(−2)×3 =____,(−3)×3 =____”引导学生归纳.学生可能没有发现规律之前就已经根据前面习题提供的经验,直接作出了答案.这样就不利于我们教学设想,会打乱我们教学节奏,更不利于后面“负数乘负数”归纳教学.

其次,在这道习题里面,很容易让学生得出2×(−2)结果,其实很多教师在习题讲解时,根据乘法的交换律得出了“正数乘负数”这一有理数运算法则,也破坏了后面的有理数乘法归纳探索过程.其实,这种心急的教法也是不妥当的,因为有理数乘法交换律是在有理数乘法之后.

这道题习题的存在, 确实对于我们后续教学有点影响,笔者认为编者将这道题放置在有理数加减法习题后的原因就是为了让学生提前了解有理数乘法法则,但这应该是基于后面有理数乘法法则教学探讨方式是“蜗牛爬行”的“匀速直线运动状况分析”情境教学模式,这道习题可以帮助学生理解这种教学模式,但是在新编教材选择了“从正数×正数出发的归纳推理”教学模式下,没有起到积极作用,反而干扰了后续有理数乘法归纳探索教学.笔者认为若舍弃“匀速直线运动状况分析”情境教学模式,最好也将这道习题舍去,不必让学生提前了解到有理数乘法法则,保持一点神秘感,更有利于我们后续教学,也有利于学生归纳推理能力的培养.

3 有理数乘法的进一步思考

教师能够将有理数乘法中“负数乘负数”讲清楚,是非常厉害的.笔者听过很多教师讲解“负负得正”的教学,大多数老师仍旧是采用“蜗牛爬行”的情境教学,即使现在教材舍去了这种教学情境,但许多老教师还是采用这种方式教学.笔者认为他们也是无奈之举,有其他教师来听课,不设置一点情境来讲解新课,有点不接地气,而且前面有理数加减法也是这种教学情境,视觉上学生方便理解.有一部分老师抱着这样心理,不管学生是否理解这种情境方式,只要后面会用乘法法则解决问题就行.确实,有理数乘法法则能够讲清楚是很困难的,但是学生用起来却一点都不陌生;有理数加减法教起来很容易,但做题时,学生很容易弄错符号,尤其是加减混合运算时候.

文献[2] 提出区别于教材的教法, 在自然数集上, 乘数是数自身连加的缩写.对于“乘数是负数”情形, 从负数的意义入手, 负数与正数表示相反意义的量, 乘数为正数时表示“有理数自身的连加”, 那么乘数为负数时就可以表示“被乘数自身的连减”.如4×(−3)表示3 个4 连减, 即4×(−3) =−4−4−4 =−12;(−4)×(−3)表示3 个−4连减, 即(−4)×(−3) =−(−4)−(−4)−(−4) = 12 这种解释也让人眼前一亮,确实是比较好的一种解释,这种理解是基于“正数和负数表示相反意义的量”的理解.但是这种解释是不符合数学运算定义的法则.这种定义是不严谨的,n个数定义一种运算, 只需(n −1)运算符号连接起来.如a×a×b×n×e×y这6 个字母相乘, 只用5 个“×”, 而不是文献中的×a×a×b×n×e×y这种情形,而且这种表达是错误的, 再如后续学习的微积分运算符号是不能随意将“∫”置前.基于此, 4×(−3) 表示3 个4 连减, 应当是4×(−3)=4−4−4 若表示4×(−3)=−4−4−4 则第一数应表示的是“负4”而不是“减4”.就算这种解释牵强通过,但对于初一学生来说是非常抽象和混乱的,尤其的运算符号和正负号的混乱.所以,笔者不建议这种方式去进行教学,若真的进行这种教学,笔者认为不一定有学生能够像文中作者所说那样,学生能够理解和发现这种算法,笔者认为这是难度很高的,一线教师应该清楚这一点.

笔者在观摩有理数乘法教学时, 发现有很多教师, 选择了“从正数×正数出发的归纳推理”这一教学模式.新教师基本也是采用归纳法进行引入教学.笔者在这里发现一个有趣的教学现象, 当执教教师将观察算式展示如下: (−3)×3 =____, (−3)×2 =____, (−3)×1 =____,(−3)×0 =____,(−3)×(−1) =____,(−3)×(−2) =____,(−3)×(−3)=____.

学生不仅回答了前面4 个式子的答案,而且也回答了后面3 个式子的答案.教师问学生是如何知道答案的,学生的回答出乎意料,又在意料之中,学生说是根据“负负得正”得到后面三个式子的答案,因为很多学生在预习课本后或者在辅导班培训后早就知道了有理数的乘法法则.这种教学方式就会显得尴尬,没有按照老师的问题设计意图走,这也是很多新教师遇到的尴尬情境,尤其是在公开课时候会影响课堂效果.其实,这种错误并不能怪我们学生先知先觉有理数乘法法则,我们常说教师是导演,学生演的方向错误,基本上是我们教师导的问题.若稍微改变一下,效果就不一样,学生思路肯定会按照我们问题设计意图走.

4 有理数乘法法则归纳推理教学细节处理

下面构建如下课堂归纳过程:

展示3×3 = 9,2×3 = 6,1×3 = 3,0×3 = 0,后面的式子千万不要展示出来,如果展示出来,学生很有可能就不会按照教师思路走,很有可能根据有理数乘法法则说出答案,这是我们不希望听到的,此时教师要体现导演的作用,引导学生按照我们提供的方向走,让学生观察式子,说规律(随着前一个乘数逐次减1,乘积逐次递减3).当学生发现规律后,教师再展示(−1)×3 =____,要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么(−1)×3 =−3 就顺其自然出来了,注意以设问方式进行,引导学生归纳得出结果.顺着这个思路,应有(−1)×3=−3,(−2)×3=−6,(−3)×3=−9.

同样的方式处理“负数乘正数”后,指出:“从算式左右各数的符号和绝对值两个角度观察上述算式,可以归纳: 正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积是负数;负数乘正数,积是负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积.”这其实同之前有理数加减法类似,先确定符号,然后再确定结果的绝对值.

利用上面归纳的结论计算下面的算式: (−3)×3=____,(−3)×2=____,(−3)×1=____,(−3)×0=____,此时有一个关键点,如前面一样,不要急于展示式子(−3)×(−1)=____,(−3)×(−2) =____, (−3)×(−3) =____, 否则学生会按照他的“负负得正”立马给出答案.教师应当引导学生发现规律后,再一个一个的千呼万唤始出来,最后引导学生归纳: 负数乘负数,积为正数,乘积的绝对值等于各数绝对值的乘积.

这样做的目的就是阻止学生根据前面习题提供的经验,以防直接作出了答案.这样利于我们教学设想,学生会按照我们教学节奏,层层递进,最终归纳发现有理数乘法法则.