承“前”启“后” 以“理”驭“算”

姜鸿雁

在漫长的数学发展史上，用“字母表示数”让我们从具体走向抽象。同学们在它的带领之下，不知不觉走进了“代数式”的领域，为进一步学习“数与代数”开辟了广阔的天地。下面让我们在“过往与当下”的联系中，边关注当下学习的要点，边畅想未来的学习之路。

从一个大家非常熟悉的问题开始：

如圖1，用火柴棒搭正方形，我们知道搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒……

问题：搭任意多个正方形需要几根火柴棒？

一、揭示隐含规律——从特殊到一般

“搭的正方形的个数”与“需要的火柴棒的根数”之间隐藏着规律：每增加1个正方形，火柴棒的根数增加3。若用字母“n”表示“任意多”正方形的个数，由“数”的规律，很容易得到答案：3n+1。这是从“特殊”到“一般”的过程，是由“数”到“式”的过程。当n=100时，容易得到结果是301，也就是说，搭100个正方形需要301根火柴棒。不需要动手搭，就能算出答案，这是从“一般”到“特殊”的过程，也是由“式”到“数”的过程。

类似的例子还有许多，所以说，“列代数式”可以揭示生活中大量的普遍规律，“求代数式的值”使“式”回归到“数”，正是这种“数”与“式”之间的自如“穿梭”，实现了“数式相通”。正因为“数式相通”，所以学习“代数式”的路径和方式与刚刚学习的“有理数”很相似。我们不仅要能用字母表示数量之间的规律，更要能体悟学习中的方法，这样才能学得更轻松。

二、架构整体框架——从数类比到式

我们借助“数式相通”，回顾“有理数”这一章的学习历程，再结合“代数式”的已学内容，可以畅想“数与代数”的学习蓝图（图2）。

由有理数的分类，我们可以预测，代数式应该有除了整式以外的“式”等待学习;由有理数比较大小，我们可以预测，代数式应该也可以比较大小。如果两个代数式相等，则会出现方程;如果不相等，则会出现不等式。有理数有多种运算类型，由此我们可以猜测，整式除了加减运算，应该还有乘除、乘方等运算，甚至还应该有与各类运算对应的运算法则……所以本章只是代数式学习的“序幕”，一幅长长的学习画卷在后面等待我们去慢慢“绘制”。

如果说“数式类比图”是针对知识层面的，那么，就学习方法层面，我们也同样可以类比。比如“数轴”是研究有理数的有力工具，它实现了从“形”的角度刻画“数”，体现了数形结合，那么代数式的学习能不能通过“形”来刻画“式”呢？真是未来可期！

三、追求最简结果——法则保驾护航

我们继续看搭火柴棒的问题。问题的解决除了可以从“数”的角度发现规律、表示规律，还可以从“形”的角度探究结果。

从不同的角度想，虽然得到的结果看似不同，但表达的却是同一个问题，即本质相同。而在这些结果中，“3n+1”最简洁。这说明那些不同的表达式可以计算、化简，也就是这些表示数的字母可以和数一起参与运算或化简。运算需要有法则作支撑，如同有理数加、减、乘、除、乘方的运算都有对应的法则一样。事实上，通过学习，我们知道，“去括号法则”“合并同类项法则”都属于“整式加减运算”的法则。运算时弄清楚运算的原理，以原理驾驭运算的过程，不仅能为运算的正确率保驾护航，而且能使运算的结果通向最简，体现数学的简约之美。此外，如此这般的运算过程也彰显了数学的严谨之美。

同学们，在学习中思考，在思考中学习，可以让我们学得越来越通透。

（作者单位：江苏省无锡市河埒中学）