基于 App Designer 开发的傅科摆仿真模拟 ①

刘小琪, 吴 颖

(北京师范大学物理学系，北京 100000 )

0 引 言

法国物理学家傅科于1851年在巴黎万圣殿内的拱顶上悬挂了一个摆长67m，摆锤质量为28kg的单摆，该单摆摆动周期约为16s，实验发现该单摆平面绕竖直轴作顺时针转动(由上向下看)，转动周期约为 32h，这就是著名的傅科摆实验。傅科摆实验无需依赖地球以外的物体，就能直观地展示地球自转的存在，是物理学史上最美丽的实验之一。对傅科摆的仿真模拟研究具有重要的教学意义。

1 傅科摆的理论推导

1.1 考虑自转的重力加速度

图1 随动坐标系建立示意图

(1)

O 点加速度可以表示为

(2)

根据非惯性系中加速度的公式

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中表观重力由自转角速度和星球半径决定

(8)

表观重力的矢量合成如图 2所示

图2 表观重力示意图

1.2 傅科摆的运动微分方程

图3 傅科摆受力示意图

对于傅科摆，根据非惯性系中的牛顿第二定律有

(9)

其中，

(10)

(11)

由此可列出三个方向的运动微分方程

(12)

其中存在约束条件x2+y2+(l-z)2=l2，则可做出以下近似

(13)

(14)

为了在程序中应用 ode45 指令求解微分方程，将以上微分方程组改写为一阶微分方程组

(15)

2 利用App Designer编程仿真模拟

2.1 基于功能的面板设计

为了实现傅科摆的模拟，需要输入参量并输出图像和数据。基于此，设计了如图 4 所示的面板。

图4 程序面板

面板分为输入、画图和输出三个模块。左侧一栏为数据输入栏，根据第一部分的理论推导，求解傅科摆的微分方程需要以下参量：摆球的初始坐标(x_initial,y_initial,z_initial)、摆球初始速度(默认为 0，由于傅科摆的速度必须垂直于摆绳的方向，用户不能随意设置初始速度)、傅科摆所处星球的自转角速度(w)、傅科摆在星球上所处的纬度(λ)、星球表面的重力加速度g(考虑星球自转，由星球质量M，星球半径R，星球自转角速度w，傅科摆的纬度λ决定)。

通过计算和测试，确定能够得到较好模拟效果的参数范围，使用滑块组件来实现数据的输入，并根据这个范围，将滑块的范围设置为合适的值。

2.2 程序与用户操作流程图

在程序开始运行之后，用户通过滑块调节各个参数的大小，然后点击“开始”按钮，程序获取用户选择的参数并开始进行微分方程的求解，在运行程序的同时，面板右侧输出栏中输出摆球的坐标(x_now,y_now,z_now)和摆球方位角(θ_now和φ_now)的实时数据。如果用户点击“暂停”按钮，画图和数据输出的程序暂停运行，再点击“继续”按钮时，程序继续运行。在点击“开始”按钮之后，在任何时候点击“停止”按钮都能够使程序关闭。在点击“开始”按钮之后，用户仍然可以通过滑块改变参数，以新参数重新开始计算。程序运行与用户操作的流程图如图 5 所示。

图5 程序运行与用户操作流程图

3 仿真模拟结果

为了方便使用者对傅科摆的运动过程进行观察，可调的能实时变化的视角十分重要。 view 语句包含水平视角和俯仰视角，其中水平视角可调范围是 0° 到360°；俯仰视角范围需要从-90°到 90°才能实现俯仰的全部视角。

为了得到较好的图像呈现效果，坐标轴的选取十分重要。首先是坐标轴范围，由于的初始的摆球位置和摆线长度都是不确定的，所以在程序中采用的坐标轴范围是根据用户的设置而变化的；其次，为了呈现更好的俯视图的摆球轨迹图像，使用 pbaspect 语句锁定x,y轴的纵横比。值得注意的是可以通过设计视图右侧的组件浏览器中的检查器对图像组件的初始坐标轴、是否显示网格等性质进行设置，以获得更好的图形效果。

图6 运行过程截图

4 结 语

利用 MATLAB 中的App Designer 设计了一款能够模拟其运动过程的应用程序。这款程序具有调节参数、显示立体图和俯视图、设置是否显示轨迹、实时输出数据以及开始、停止、暂停、继续的功能。立体图和俯视图的同步更新能够直观地显示摆球的运动情况；右侧的实时数据也印证了傅科摆弦振动面缓慢转动的特性。本款APP 可以用于傅科摆运动的辅助学习，有助于更加直观地了解傅科摆的运动特性。