贴标机供标机构运动精度可靠性分析

李兵华 贺 兵

龙赛琼2 汤迎红1

米承继1

1.湖南工业大学

机械工程学院

湖南 株洲 412007

2.广州海关技术中心

广东 广州 510623

0 引言

贴标机是包装生产线上的重要设备，其技术含量较高、结构较复杂。随着贴标机向高速度、高精度的方向不断发展，机构运动精度成为了影响贴标质量的关键因素，愈来愈受到人们的重视。制造、安装中的误差，以及运动副间隙和弹性变形等因素的不确定性，造成了机构实际运动输出与理想输出之间的差异，即机构运动误差。当运动误差较大时，贴标质量无法达到要求。因此，对贴标机机构进行运动精度可靠性分析是十分必要的。

目前，关于机构可靠性已有一定研究。Wang J.G.等[1]用混合降维法进行了考虑运动副间隙的机械运动精度可靠性分析；Kim J.等[2]对考虑尺寸误差和间隙开环机构的定位和定向运动进行可靠性分析；Huang X. Z.等[3]对汽车齿轮齿条式转向器进行运动精度可靠性分析；Zhang J. F.等[4]探讨了再现函数机构可靠度；郝振国等[5]对爬楼轮椅后腿机构进行运动精度可靠性分析；聂飞飞等[6]对高速经编机槽针机构进行运动精度可靠性优化；张义民等[7-8]对牛头刨床机构运动精度进行可靠性分析；郭惠昕等[9]研究了杆长制造误差和运动副间隙对平面连杆机构运动精度的影响；左传等[10]基于解析法对RSSR机构进行运动精度及可靠性分析；袁英才等[11]研究了运动副间隙对轮转机刀式折页机构动态性能的影响；魏永祥等[12]研究了随机参数弹性连杆机构在平稳随机激励下的动力响应；于霖冲、王慧、庞欢等[13-15]提出建立仿真模型对运动机构可靠性进行仿真分析。然而研究工作多集中于位移可靠性问题上，极少涉及速度可靠性。本研究考虑构件的加工误差，以贴标机供标机构为例，讨论了机构运动精度位移和速度可靠性问题。

1 贴标机结构及供标机构运动分析

1.1 贴标机结构

贴标机结构如图1所示，由首张标签（嵌入标盒中）、上胶辊、传标辊和供标机构等组成。其运动过程为：传标辊作匀速转动，经过上胶辊时，在首张标签表面涂一层胶，然后从标盒中粘取一张标签，再将标签传给其它机构[16]。为提高贴标精度，传标辊与标盒传递标签的任意瞬间，传标辊上相应点的线速度应与标签上相应点的速度大小相等、方向一致。

图1 贴标机结构Fig. 1 Labeling machine for standard structure

1.2 供标机构运动分析

为满足贴标机运动要求，供标机构采用连杆滑块机构，如图2所示。标盒的运动轨迹由圆弧和近似直线段组成。连杆滑块机构中，AD为机架，曲柄AB和DC为原动件，标盒与MC杆固连，标签放置在标盒里。圆弧段为传标过程，其运动轨迹平稳，与传标辊的传标过程可视同两个圆进行纯滚动，轨迹的直线段为标盒的回程段。首张标签上任一点工作段的轨迹为一段圆弧，且速度平稳，即在工作段中M点的理想轨迹为一段圆弧，理想速度为一定值。

图2 供标机构示意图Fig. 2 A schematic diagram for label deliver mechanism

连杆滑块机构封闭矢量方程为

将式（1）向直角坐标系的横、纵坐标轴方向投影，可得运动方程：

式中：l1是AB的长度；l2是BC的长度；l3是DC的长度；l4是AD的长度；θ1是AB与X轴的夹角；θ2是BC与X轴的夹角；θ3是DC与X轴的夹角。

在图2所示供标机构中，原动件AB、DC的角速度ω1与ω3相等，并且初始相位一致，所以θ1=θ3。

M点的位置坐标为：

式中：xM、yM分别是M点的X、Y坐标；δ是MC与BC之间的夹角，δ=0；l5是MC的长度。

θ2和l2可用式（4）和式（5）进行求解，

2 供标机构运动精度可靠性分析

2.1 供标机构误差概率模型

以图2中M点位置坐标（xM, yM）和BC杆长度l2、角度θ2为研究对象，则输出运动参数向量可表示为 U=[xM, yM, l2, θ2]T。因为 θ1=θ3，所以输入可只考虑参数θ1，输入运动参数向量V=[θ1]，有效结构参数（设计参数）向量 L=[L1, L2, …, L5]T=[l1, l3, l4, l5, δ]T。

供标机构实际输出运动UA(V, L)和理想输出运动UI之间的误差函数为

工程上，通常认为同一批次的零件尺寸服从正 态 分 布 且 相 互 独 立， 因 此 L～N(μL, σL)， 其 中是随机变量的均值，是随机变量的标准差。由于随机变量的标准差σL相对于μL很小，因此采用误差函数G(V, L)在均值μL处的线性近似代替误差函数G(V, L)，这样也具有足够的精度。将误差函数G(V, L)在均值μL处进行一阶泰勒展开，得到：

2.2 供标机构位移可靠度分析

根据式（2）（3）可建立连杆滑块机构输入与输出关系的均值模型，即

连杆滑块机构的运动输出位移随机误差矢量为ΔU=[ΔxM, ΔyM, Δl2, Δθ]T。

为了保证供标机构具有较高的传标精度，必须使首张标签上每一点的运动误差保持在允许范围内。由于供标机构采用确定的连杆滑块机构，故此处不讨论结构误差，只讨论首张标签的中点（即图1 M点）的运动误差，即

式 中：Δui是 输 出 位 移 随 机 误 差，Δu1=ΔxM，Δu2=ΔyM；εi是允许输出位移误差，ε1是X方向允许位移误差，ε2是Y方向允许位移误差；Bi0(V)是输出位移结构误差。

关于供标机构位移精度可靠性问题，X方向位移精度可靠度的计算方法与Y方向的一样。X方向位移精度可靠度的计算方法是：先计算满足下限的可靠度Rsl和满足上限的可靠度Rsu，然后求出供标机构的可靠度：

式中：f(Z)是机构运动输出X方向位移误差允许值ξ（ξ=ε1）和输出 X 方向位移误差 r（r=ΔxM+B10(V)）的联合概率密度函数；

g(ξ, r)为状态函数，可以表示机构的两种状态，即

其中g(ξ, r)=0是极限状态方程，表示临界失效面。

根据状态函数的定义，供标机构X方向的位移精度极限状态函数可以表示为

可见，机构运动输出误差的X方向位移允许值ξ与输出X方向位移误差r是相互独立的随机变量。采用一次二阶矩法求解可靠度具有足够的精度。

状态函数的前二阶矩公式如下：

一阶矩

式中ur=B10(V)；

二阶矩

X方向输出位移误差ΔxM的方差为

式中：J1是供标机构敏度矩阵J[8]的第1行向量；Var(ΔxM)、Var(X)分别是输出变量ΔxM和基本随机向量X的方差。

可靠性指标定义为

从几何意义来看，β是n维正则化空间中坐标原点到临界失效面g(ξ, r)=0的最短距离。当基本随机向量服从正态分布时，供标机构X方向的位移可靠度为

式中Φ是标准正态分布函数。

用相同的方法可以求得运动精度满足下限的可靠度Rsl。

2.3 供标机构速度可靠度分析

以供标机构M点速度(vMx, vMy)、BC杆杆长变化速度i2和输出角速度ω2为研究对象。

将式（11）对时间连续微分，得到输出向量速度：

雅可比矩阵为：

供标机构的运动输出速度误差矢量为随机误差。为了保证供标机构具有较高的供标精度，其X方向输出速度误差和Y方向输出速度误差需保持在允许范围内，其中误差包括结构误差和随机误差。故此节只讨论X方向速度可靠度的计算方法，同理可得Y方向速度可靠度。

式中：ΔvMx是M点的X方向速度随机误差；D10(V)是M点的X方向速度结构误差；τ1是允许X方向输出速度误差允许值。可见，机构运动输出速度误差允许值τ与输出速度误差γ是相互独立的随机变量。

状态函数的前二阶矩表示如下：

式中：A1是敏度矩阵A[7]的第1行向量；Var(ΔvMx)是输出速度变量ΔvMx的方差。

可靠性指标为

从几何意义来看，β是n维正则化空间中坐标原点到临界失效面g(τ,γ)=0 的最短距离。基本随机参数向量服从正态分布时，供标机构X方向的速度可靠度为

3 数值计算与分析

已知供标机构各构件的几何尺寸均值如下：曲柄AB长度l1为 150 mm，曲柄DC长度l3为 80 mm，支架AD长度l4为180 mm，支臂角度δ为0°，支臂MC长度l5为281 mm。曲柄做匀速旋转（角加速度均值为 0 rad/s2），角速度ω1为 0.523 6 rad/s。构件的几何尺寸服从正态分布规律，加工精度为IT7级。要求供标机构M点圆弧轨迹工作段X、Y方向位移精度误差允许值的分布为εi～N(0.1, 0.042)，X、Y方向速度精度误差允许值的分布为τi～N(0.1, 0.042)。曲柄AB工作段角度θ1为168°～192°。

蒙特卡洛法（Monte-Carlo）是利用随机抽样进行可靠度计算的一种可靠性分析设计方法，其优点是计算可靠性相对比较精确，可以用于其他可靠性分析设计方法计算精度的检验，其缺点是计算量大，计算效率低[17-19]。故本研究以式（11）～（24）为依据，用Matlab编制计算程序，计算M点输出位移可靠度，同时用Monte-Carlo对计算结果进行检验。计算程序流程如图3所示。

图3 Matlab计算程序流程Fig. 3 Matlab calculation program flow

图4 ～5分别为M点在工作区间内X、Y方向的位移可靠度，图中实线表示本文方法求得的可靠度，虚线表示Monte-Carlo法求得的结果。两种方法的具体计算结果如表1所示。由图4、图5和表1可知，本文方法相对于Monte-Carlo法，相对误差小于0.4%。

表1 位移可靠度Table 1 Displacement reliability

图4 X方向位移可靠度Fig. 4 X-direction displacement reliability

图5 Y方向位移可靠度Fig. 5 Y-direction displacement reliability

以式（25）～（38）为依据，用Matlab编制计算程序，计算M点输出速度可靠度。图6～7分别为M点在工作区间内X、Y方向的速度可靠度，图中实线表示本文方法求得的可靠度，虚线表示Monte-Carlo法求得的结果。两种方法的具体计算结果如表2所示。由图6～7和表2可知，本文方法相对于Monte-Carlo法的相对误差小于0.5%。

图6 X方向速度可靠度Fig. 6 X-direction speed reliability

图7 Y方向速度可靠度Fig. 7 Y-direction speed reliability

表2 速度可靠度Table 2 Speed reliability

4 结论

1）本研究采用矩阵法推导了供标机构连杆滑块机构的运动输出位移误差和速度误差表达式。

2）建立了连杆滑块机构位移和速度可靠度计算公式，并用Matlab编制了计算程序。

3）以贴标机供标机构为例，利用计算程序得到了其位移可靠度和速度可靠度。与Monte-Carlo法相比，用本文方法所得结果的相对误差均小于0.5%。本文方法求出的结果可以满足一定的精度，证明了该方法的可行性和有效性。