从属于指数函数的星像函数子类的四阶Toeplitz行列式

张海燕, 汤 获

(赤峰学院 数学与计算机科学学院, 内蒙古 赤峰 024000)

1 引言与预备知识

设S表示单位圆盘D={z∈: |z|<1}内单叶解析且具有如下形式

(1)

的函数族.设P表示单位圆盘D内具有如下形式

且满足条件Rep(z)>0的解析函数族.由文献[1]易知, 对于函数p(z)∈P, 存在Schwarz函数ω(z), 使得

定义1[2]设函数f(z)和g(z)在单位圆盘D内解析.如果存在D内的Schwarz函数ω(z), 满足ω(0)=0, |ω(z)|<1且f(z)=g(ω(z)), 则称f(z)从属于g(z), 记为f(z)g(z).特别地, 如果g(z)在D上是单叶的, 则

f(z)g(z)(z∈D)⟺f(0)=g(0),f(D)⊂g(D).

设函数f(z)∈A, 若满足条件Re[zf′(z)/f(z)]>0, 则称f属于星像函数类, 记为f∈S*.显然,f∈S*将单位圆盘映射到右半平面且星像的区域[2].

目前, 关于星像函数类的研究已有很多结果.例如： Ma等[3]引入了某类星像函数类S*(φ),

定义2[8]设函数f∈S, 若f满足条件:

(2)

(3)

Mendiratta等[8]研究了该函数类的积分表达式、 包含关系、 系数估计增长定理与偏差估计、 从属关系及函数类的半径问题等. Thomas等[9]定义了函数f的q阶Toeplitz行列式Tq(n)：

其中a1=1,n≥1,q≥1.特别地, 有

即

2 主要结果

|cn|≤2,n=1,2,….

|cn+k-μcnck|<2, 0≤μ≤1,

(4)

令

则显然有p(z)∈P, 且

(6)

另一方面, 有

比较式(5)和式(7)两边z,z2,z3,z4,z5,z6的系数, 可得

由引理2, 易证|a2|≤1.由引理1, 可得

同理可证

设c1=c,c∈[0,2], 由引理2和引理3可知,

(9)

证明: 由式(8)和引理1可知,

设c1=c,c∈[0,2], |x|=t,t∈[0,1], 则由三角不等式可得

设

与定理2的证明类似可得如下定理:

(10)

(11)

(12)

设c1=c,c∈[0,2], 由引理3可得

令

与定理5的证明类似可得如下定理:

(13)

(14)

(15)

证明: 因为

所以由三角不等式可得

将式(4),(9)～(14)代入式(16), 即得式(15).证毕.