广义柯西-黎曼算子及其应用*

曾凡倍， 杨佳琦, 刘媛媛， 谷龙飞

(临沂大学数学与统计学院，276000，山东省临沂市)

0 引 言

复变函数论主要研究复数域上的函数，以解析函数为研究对象. 随着对复变函数研究的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，广义解析函数也在越来越多的方面有了应用. 宋洁[1]讨论了广义解析函数的广义Riemann-Hilbert问题，通过转化成相应的Riemann问题，证明在适当的假设下，此边值问题可解. 李玉成[2]研究了多复变广义解析函数的一个带位移的非线性边值问题，证明了解的存在性并给出解的积分表达式. 王明华[3]给出了一种广义解析函数Riemann边值逆问题的一般提法，对此问题正则型情况的可解性进行了深度讨论，基于广义解析函数边值问题的有关理论，得到了所研究问题的可解条件及解的表达式.

1 预备知识

定义1[4]设G是复平面C上一开集，其上任意一点记为z=x+iy，其中x,y∉R. 引入柯西-黎曼算子

定义2[4]若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则把

(C.-R.)

称为柯西-黎曼方程(简记为C.-R.方程)，是关于u及v的偏微分方程组.

定理1(柯西积分公式)[4]在区域D内，如果f(z)处处解析，C为D内任何一条简单正向闭曲线，它的内部完全含于D，ζ为C的内部任意一点，则

就是解析函数的柯西积分公式.

柯西积分公式是一把开启了许多数学方法与定理的钥匙，它定义了一种利用积分表达的解析函数,可确定解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系.

2 柯西-黎曼算子的应用

定理3(修正的Borel-Pompeiu公式)[6]设G⊂C是具有充分光滑的边界区域 Γ，有C′边界，即边界为光滑曲线，u(z)∈C′(G)，则有

证明复格林公式为

令ε→0，根据格林公式，可得关于算子Dα的修正的Borel-Pompeiu公式为

根据上述修正的Borel-Pompeiu公式知，当u(z)为广义解析函数时，被积函数为零，即可推出广义解析函数的广义柯西积分公式.

这就是广义解析函数的柯西积分表达公式，也是对广义解析函数的施瓦兹型引理进行证明时的一个重要工具. 参考解析函数的施瓦兹引理，给出广义解析函数的施瓦兹型引理并进行证明.

3 广义解析函数的施瓦兹型引理

定理5(广义解析函数的施瓦兹型引理) 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内广义解析，并且满足条件f(0)=0,|f(z)|≤1(|z|<1), 则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤(1+c)|z|，其中c=e2|α||α|+1.

证明由定理4可得

(1)

由于ζ在以原点为圆心，半径为0

由r的任意性，可令r→1，则有

取c=e2|α||α|+1(c为任一常数)，则有

4 结 论

本文通过了解柯西-黎曼算子、C-R方程、柯西积分公式等基本定义定理，对柯西-黎曼算子进行推广，研究了广义柯西-黎曼算子的零解，定义为广义解析函数. 在研究广义的解析函数时，由修正的Borel-Pompeiu公式得出了广义解析函数的柯西积分公式，进一步利用此结果证明了广义解析函数的施瓦兹型引理.