变量为六元三次的除数函数

王琳琳

(华北水利水电大学数学与统计学院， 450046，河南省郑州市)

0 引言与重要结论

1993年，Gafurov[1]研究了变量为二元二次型的除数函数均值问题并推导出了它的渐近公式

本文将在文献[8]的基础上考虑变量为六元三次型的除数函数的均值问题.

为了能够得到本文的结论,首先定义一些公式. 设S(a,q)为指数和

(1)

令0≤j≤k-1,设

其中a是大于零的整数,系数cj+1(b,q)的定义详见文献[12].根据文献[13]，当(a,q)=1时,Aj(q)与整数a无关，并得出一个上界

Aj(q)≪kq-1.

(2)

令

(3)

(4)

其中i,j(0≤i≤j≤3)是整数.

本文的重要结果如下.

定理1 设d4(n)是除数函数,则有

1 证明思路概述

(5)

其中整数a，q满足1≤a≤q≤Q以及(a,q)=1,我们用M(a,q)表示满足式(5)的α的集合,并且定义主区间M和余区间C(M)如下

(6)

令

(7)

由(7)式和恒等式

有

(8)

为了方便起见，令

这样就可以把对定理1的研究转化为计算S1(x)的渐近公式和S2(x)的上界.

2 F(α;x)和在主区间上的估计

(9)

其中

(10)

根据分部积分可得Ij(β)的上界

Ij(β)≪xεmin{x,|β|-1}.

(11)

证明与文献[4]中的引理4.1的证明过程类似.

为了证明结论需要应用下面两个引理.

3 定理1的证明

由引理2.1和引理2.2得

因此,将(2)式和(11)式代入并积分求和得

则

接着考虑等号右边的积分,根据Ij(β)的定义得到

其中

由(2)式和引理2.3推出

于是

其中Ii由(3)式给出.

接下来把q≤P扩展到所有的正整数得

综上得

(12)

其中Ii，j的定义分别由(3)、(4)式给出.

现在估计S2(x)的上界,对每一个α∈C(M)都可以写成(5)式且满足P

由文献[14]中的引理2.4可以得出

根据Shiu[16]的结果推出

(13)

根据(8)、(12)和(13)式定理1得证.