基于边依赖平均驻留时间方法的采样系统镇定问题*

李 瑶, 侯林林

(曲阜师范大学计算机学院,276826，山东省日照市)

0 引 言

网络控制系统(networked control system,NCS)通常由一个通讯网络和多个节点组成. 这些节点用于信息的收集、处理和实现. 信息通过通信网络进行传播,这意味着网络带宽是信息传输过程中的一个重要特征[1]. 在实际应用中,有限的网络带宽往往会导致数据包丢失,进而降低系统的性能,甚至导致系统不稳定. 因此,对于网络控制系统的丢包现象进行研究是十分必要的[2-5].

采样控制是网络控制系统研究中最常用的控制方法,许多学者致力于这一问题的研究[6-9],其中丢包问题更是引起了众多学者的广泛关注,控制输入的丢失便是其中的一种. 导致控制输入丢失的因素有很多,例如控制器和执行器失效、网络和控制器的间歇性不可用等,这些问题的出现都会影响采样控制系统的稳定性. 为了进一步提高系统的性能,近年来对控制输入丢失进行了广泛研究,如参考文献[10-13]等.

切换系统是由一系列连续时间或离散时间的子系统以及一个切换信号组成[14,15]. 许多具有非线性特征的复杂实际系统,以及某些具有固有跳跃特性的人工系统都可以由切换系统来描述. 因此,在过去的几十年间,切换系统得到了广泛研究[16-19]. 切换信号的设计在切换系统性能研究中发挥着重要作用,其中平均驻留时间方法[20-22],模态依赖平均驻留时间方法[23-26],以及可容许边依赖平均驻留时间方法[27,28]相继被提出用以设计切换信号,最终用来分析切换系统的各种性能.

对于采样控制系统而言,根据控制输入是否丢失可以将采样控制系统建模为切换系统,其中包含稳定子系统和不稳定子系统[12,13,29]. 例如,应用平均驻留时间方法,文献[12]研究了网络控制系统的控制输入丢失问题. 文献[29]研究了一类含有丢包的采样 T-S 模糊系统的指数可镇定问题,通过设计公共 Lyapunov 函数,得到了系统稳定的结论. 本文研究采样控制系统的镇定问题. 首先,根据控制输入是否丢失将采样系统建模为切换系统. 针对采样周期时变性,将采样控制系统建模为切换时滞系统. 然后,采用可容许边依赖平均驻留时间方法设计切换信号,此切换信号由快速和慢速可容许边依赖平均驻留时间方法组成,并且设计多 Lyapunov 函数,应用 Lyapunov 稳定性理论,得到了保证系统指数稳定的相关结论. 最后,仿真结果验证了所得结果的有效性.

1 问题描述和预备知识

网络控制系统可由以下连续时间系统来描述

(1)

其中x(t)∈n和u(t)∈m分别表示系统状态和控制输入. 矩阵A和B是具有适当维数的已知矩阵. 本文中采用如下采样控制器

u(t)=u(tk)=Kx(tk),t∈[tk,tk+1),

(2)

其中K代表控制器增益,tk是采样时刻. 将(2)式代入到(1)式中可得

(3)

当控制输入丢失时,即u(t)=0时,系统是不稳定的; 反之,当控制输入u(t)=u(tk),t∈[tk,tk+1)时,系统是可镇定的. 令σ(t)∈{s,u}代表切换信号,当σ(t)=s时,代表系统是稳定的,而当σ(t)=u代表系统不稳定. 则当控制输入丢失时,采样控制系统可以描述为如下切换系统

(4)

其中t∈[tk,tk+1),k=0,1,2,…. 令τ(t)=t-tk且满足

0≤τ(t)≤h,

(5)

其中h是常实数,则系统(4)可以描述为如下带有时滞的切换系统

(6)

其中φ(t0)为系统初始状态,且

(7)

注2 时变采样周期不能太长,因为长采样周期会导致采样信息不精确. 在仿真中,我们会通过驻留时间和最大采样周期之间的关系来说明这一点.

若系统(6)是稳定的,则称采样控制系统(3)可以通过控制器(2)实现镇定. 本文的主要目标就是通过设计边依赖平均驻留时间切换信号来保证系统(6)是稳定的,从而实现采样控制系统(3)的可镇定性.

定义1[30]考虑系统(6). 如果存在正常数λ>0,c>0,使得对任意的初始条件x(t0),总有‖x(t)‖≤ce-λ(t-t0)‖x(t0)‖,∀t>t0,则在所设计的切换信号下,系统(6)是指数稳定的.

(8)

(9)

引理1[31]对任意给定的矩阵M>0,常数κ1，κ2,满足κ2>κ1,如下不等式成立

(10)

2 主要结果

对子系统i,其中i∈{u,s}. 设计如下Lyapunov函数

(11)

命题1 给定参数h>0,αs>0,αu<0,βs=1,βu=0.如果存在矩阵Pi>0,Ri>0,i∈{u,s}使得如下不等式成立

(12)

其中

则有

Vi(t)≤e-αi(t-t0)Vi(t0).

(13)

证明结合(6)式,对Vi(t)求导数,得到

(14)

其中,当i=u时βi=0,当i=s时βi=1. 应用引理 1 可得

(15)

其中

(16)

根据(15)和(16)式,以下不等式成立

2xT(t)PiAix(t)+2xT(t)PiBix(t-τ(t))+αixT(t)Pix(t)+

(17)

因为

(18)

所以

(19)

应用Schur 补引理可得(12)式等价于

(20)

结合(19)式可得(13)式. 命题证毕.

假设1 假设切换时刻为tm,m=0,1,2,…,并且切换时刻为采样时刻.

由命题1和假设 1,可得如下结论.

定理1 给定参数h>0,αs>0,αu<0,μs,u>1,0<μu,s<1. 如果存在正定矩阵Ps>0,Rs>0,Pu>0,Ru>0使得如下不等式成立

(21)

(22)

Ps≤μs,uPu,Pu≤μu,sPs,Rs≤μs,uRu,Ru≤μu,sRs,

(23)

则在所设计的满足

(24)

的切换信号σ(t)下,系统(6)是指数稳定的,其中

证明假设当t∈[tm,tm+1)时控制输入没有丢失,则由(13)式可得如下不等式

Vs(t)≤e-αs(t-tm)Vs(tm)=

(25)

由(25)可以得出s∈[tm+θ,t),这说明e(αs-αu)(ρ-tm)≤1,从而可得如下不等式

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)Vu(tm-1)=

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)e(αs-αu)h(xT(tm-1)μu,sPsx(tm-1)+

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)μu,se(αs-αu)hVs(tm-1)≤

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)μu,se(αs-αu)heαs(tm-1-tm-2)Vs(tm-2)≤

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)μu,se(αs-αu)heαs(tm-1-tm-2)e(αs-αu)hμu,sVu(tm-2)≤…≤

(26)

根据(24)式,当t→∞时有Vσ(t)(t)→0. 从而由(22)式和定义1可知,在所设计的切换信号下,系统(6)是指数稳定的.

注3 本文中所设计的切换信号是由满足 SAED-ADT 的切换信号和满足 FAED-ADT 的切换信号组成. 当控制输入丢失时,相应的子系统是不稳定的. 在这种情况下,对应的子系统采用的是 FAED-ADT 切换策略. 当控制输入没有丢失时,则在所设计的采样控制器下,相应的子系统是稳定的. 针对此类子系统,采用的是 SAED-ADT 切换策略.

定理2 给定参数h>0,αs>0,αu<0,μs>1,0<μu<1. 如果存在正定矩阵Ps>0,Rs>0,Pu>0和Ru>0,矩阵K,使得不等式(25)和如下不等式成立

(27)

(28)

则在所设计的满足(24)式的切换信号σ(t)和控制器(2)下,系统(3)是可镇定的,其中

(29)

(30)

借助于 Schur 补引理,可得不等式(29)和(30)分别等价于(27)和(28)式. 证毕.

3 仿真算例

本部分通过一个数值例子来说明所得结果的有效性. 设系统(1)的参数为

图1 状态x(t)的轨迹 图2 切换信号σ(t)

表时与hmax 的关系

4 结 论

本文研究了采样控制系统的镇定问题. 首先,根据控制输入是否丢失将采样控制系统建模为了带有时变时滞的切换系统. 然后,设计了由SAED-ADT方法和FAED-ADT方法构成的切换策略,使得切换时滞系统是指数稳定的,从而实现了在所设的采样控制器下,采样控制系统的稳定性. 最后,通过仿真验证了所得结果的有效性.