抵偿高程面法在长度投影变形控制中的应用

梁 刚 李维平 邵秋铭

(重庆市勘测院, 重庆 401121)

0 引言

线路工程中的勘测放样是一项重要工作,主要作业内容是把设计的线路位置通过全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System，GNSS)定位、边角测量等方法标定在拟建区域实地上[1]。但是由于长度投影变形的存在,使现场实际量测的边长,与采用投影后坐标进行反算的理论边长有差异,从而造成实地放样出的点位与设计阶段的图上位置不符[2]。而且进行放线线路越长,实地点位与图上设计点位的偏差就越大,最后可能会引起线路设计方案的改变,造成设计阶段工作无效,经济损失、时间消耗都很大[3]。

在城市测量中,按照《城市测量规范》的要求[4],投影的长度变形不得大于2.5 cm/km。在城市快轨、地铁、高速铁路工程测量中,对长度投影变形有着更为苛刻的要求。城市快轨、地铁、跨座式单轨等项目要求实地水平距离改化到高斯平面上距离的投影变形不得大于15 mm/km,高速铁路的要求更是提高到10 mm/km[5]。要想满足长距离线路工程规范中规定的长度变形量限值,就要分析研究投影变形的特点,定量地分析投影变形的大小,从而采取相应的有效地处理方法,来控制长度投影变形量,以达到线路工程施工的精度要求[3-6]。

1 长度投影变形理论分析[7-10]

确定国家大地坐标系的理论椭球面是一个光滑曲面,实际上它不可能展开成为一个真正的平面。在进行高斯投影时,虽然进行了分带处理,在投影后的长度仍然会发生改变。在研究投影变形量的组成时,主要划分为两个部分进行分析,一是实际测量所得的空间距离归算到所选择参考椭球面这个过程引起的变形量计算;二是将参考椭球面到高斯投影面这个过程引起的变形。

1.1 实测边长到参考椭球面上变形量的解算

ΔS1=-S·Hm/Rm

(1)

式中,ΔS1为空间距离改算到椭球面的变形量;S为归算边的长度;Hm为改边两个端点相对投影面高程的平均值;Rm为边长地区的平均曲率半径。

可见,若参考椭球面低于该归算边平均高程面时,ΔS1为负值,也就是说实际测量的距离经过改算后变短了,而且缩短的绝对值与平均高程成正比,随平均高程增大而增大。现列出Hm为50～4 000 m时变形比ΔS1/S的数值,如表1所示。

由表1所列及公式推导可知,如果仅考虑实地测量距离到参考椭球面上的变形,那么线路两端参考椭球面的平均高程应小于63.7 m,这样才能在理论上使得投影长度变形的相对精度优于1/100 000。

表1 投影长度变形相对精度统计(相对于高差)

1.2 参考椭球面到高斯投影面边长变形量的解算

(2)

为直观了解投影带边缘某边长投影精度随着该边到中央子午线距离的变化情况,将利用公式(2)的计算结果进行列举,如表2所示。

从表2中可以看出,在仅考虑椭球面到高斯投影时产生的投影变形,如果投影带最远处到中央子午线小于28 km,该投影过程引起的变形值将小于1/100 000。也就是说,所选投影带东西最宽不能大于56 km。

表2 投影长度变形相对精度统计(相对于该边到中央子午线距离)

1.3 长度投影的总变形量

(3)

从上文分析可知,如果参考椭球面低于该归算边平均高程面,这两部分变形值可以抵消。在线路工程建设中,为了限制边长投影变形,可以选择多种方法。限于篇幅,本文主要对采用抵偿高程面法减少投影变形的效果进行分析。

2 抵偿高程面法

选用抵偿高程面法限制长度变形,就维持了中央子午线不变。该方法是选择与线路穿越区域最接近的水准面来作为该测区的投影面,由此产生的边长改正量来抵消一部分高斯投影过程中的边长变形量。

(4)

于是就有

(5)

(6)

在抵偿坐标系中,如果某条边位于平均高程面上,而且其中点横坐标为y0,那么从前面的论述可知,改边长的投影变形可以被完全抵偿。对于其他位置的边,设其两端高程的平均值为Hs,中点坐标为y0+Δy,如果想使长度变形值小于τ,即有

(7)

将式(6)代入上式得

(8)

若测区平坦,可忽略第一项,于是可得以下两式:

(9)

确定了y0,也就确定了为限制边长投影变形而确定的东西宽度。例如由y0=60 km,R=6 370 km,τ=1/100 000,代入式(9)可得Δy=6 km及Δy=-7 km,也就是要求线路穿越区中心往东最远距离要小于6 km,往西最远处距离要小于7 km,当y0>60 km时,对东西方向宽度限制更严。由此可见,当测区远离带中央子午线,只有拟建线路较短、穿越区域不大的情况下,选用抵偿坐标系的方法才比较适合。

3 基于抵偿高程面法的算例分析

3.1 抵偿高程面选取方法[11-12]

在工程应用中,需要选择最恰当的抵偿高程面,以获取最好的变形抵偿效果。常用的抵偿高程面选取方法主要有三种:传统方法、单位长度变形和最小法以及单位长度变形最小二乘法。

3.1.1传统方法

该方法是选取y0=ymax,此时如果某条边平行于横坐标为y0的纵坐标轴,那么该边的投影变形可以全部都被抵偿。将y0=ymax带入式(6),得到抵偿高程面的高程为

(10)

这种方法适用于较小的测区,但对大面积测区就有待改进了。

3.1.2基于max{|ΔSi|}=min的方法

由于投影范围内每个位置的边长变形是不相等的,我们可以选取一个抵偿高程面,使投影范围内的各个边投影至这个高程面上的单位长度(S=S0=1 km)的最大变形值得以最小,即max{|ΔSi|}=min。使用该方法时会遇到两种情况,一种情况是拟投影的范围位于3°带中央子午线的某一侧(两侧的投影变形情况一致),另一种是拟投影的范围跨越了3°带的中央子午线。

图1 投影范围位置示意图

本文略去公式推导的过程,直接给出抵偿高程面大地高的计算公式。对于第一种情况,基于前文的讨论,推导出抵偿高程面的大地高为

(11)

对于第二种情况,基于前文的讨论,推导出抵偿高程面的大地高为

(12)

在此约束条件下选取一个抵偿高程面,使整个测区内单位长度(S=S0=1 km)变形ΔSi的平方和达到最小,依此来确定抵偿高程面。限于篇幅,本文也不再详述推导过程,直接给出该准则下抵偿高程面的计算公式:

(13)

某铁路建设项目,线路的平均高程Hm=2 km,地势较为平坦,y∈[20 km,100 km],S=1 km,曲率半径Rm=6 371 km,下面分别按照前文介绍的三种方法,首先计算项目范围内的抵偿高程面,然后计算长度变形量。

根据三种方法计算长度变形的相对值随ym的变化量,如表3及图2所示。

表3 不同方法的长度相对变形值比较

图2 不同方法长度变形情况

从表3和图2中可以看出,方法1对长度变形量的限制效果最差,这种基于消除测区最大的高斯投影变形量的方法确定的抵偿面,从结果数据可以看到,距离中央子午线越远的边,其长度投影相对变形量反而越小,在y的最大处的投影变形为0;方法2和方法3对长度变形值的限制效果相差并不是很大,方法2的长度变形中误差要略大于方法3的长度变形中误差,但其长度变形的最大值要小于方法3的长度变形的最大值,并且变形值的变化更均匀。因此,方法2相对于方法3,其适用范围会更大一些。由表3得出的长度变形中误差，方法1为0.085 m，方法2为0.043 m，方法3为0.041 m。

4 结束语

在穿越较大区域的线路工程中,由于长度投影变形的存在,使得实测的距离与投影后坐标反算的距离不符,这会对工程的施工放样带来很大的影响,本文介绍了投影变形的来源,并且描述了基于计算抵偿高程面的方法减少投影变形步骤。通过算例,对比了三种选择抵偿投影面方法的应用效果,最终选取了最合适的抵偿面计算方法。

限制长度投影变形的方法很多,除抵偿高程面法以外,还有平移中央子午线法、独立坐标系法、调节因子法、分段法等,各有优点,限于篇幅本文没有一一介绍,在具体工程应用中往往结合地理条件选择某一种方法,或者综合运用多种方法。为了限制长度投影变形,有可能在一个工程中建立几个坐标系,但这种几种方法的综合运用在有效地限制长度投影变形的同时,也带来了各种坐标系之间进行坐标转换的问题,因此我们就要从工程的实际情况出发进行综合的考虑,对所选限制长度变形的方式进行适当的优化,以提高工程建设的综合效率。