量纲分析法的6个应用案例

卢 婷

(湖州市吴兴高级中学 浙江 湖州 313000)

彭红亮

(浙江省湖州中学 浙江 湖州 313000)

邱为钢

(湖州学院公共教研部 浙江 湖州 313000)

量纲法是分析物理现象很重要的一个方法，在文献[1]的序言中提到“一位成熟的物理学家进行探究性的科学研究时，常常从定性的或半定量的方法着手.这包括对称性的考虑和守恒量的利用，量纲分析，数量级估计，极限情形和特例的讨论，简化模型的选取，以至概念和方法的类比……”在物理教学中，也尝试引入量纲分析法.文献[2]和[3]讨论了物理教材上常见物理量的量纲;文献[4]给出了物理竞赛题目中微重力环境下液滴本征振动频率的表示;文献[5]给出了双黑洞引力波辐射功率的估算;文献[6]给出了物理学史上著名的原子弹爆炸当量估算问题.不过，这些文献量纲分析印证举例，生活中很难发现，不能直接验证.所用的方法是待定系数法，不够直接明显.

为了拓展量纲分析的案例，我们额外给出了生活中常见的6个物理现象，便于操作和验证.这些物理现象中存在多个物理量，由物理定律可以组合出两个量纲一样的物理量，譬如能量和力矩，得到特征长度，时间和角速度.这些物理现象的真实数据，则从量级上验证了量纲分析的正确性.

1 彩虹圈下落速度

把彩虹圈拉停在空中，然后释放，你会看到一个很神奇的现象.底端悬空不动，上端下落，如图1所示.

图1 彩虹圈下落

实验和理论都表明[7]，这段时间内彩虹圈的上端是匀速下落的.设彩虹圈原长为l0，在重力作用下拉伸后的总长度是lg.利用中学里最常见的自由落体运动速度公式，猜测上端下落速率为

(1)

非常巧合的是，这个猜测公式与文献[7]理论物理模型给出的表达式是一样的.以这个速率匀速下落的时间是

(2)

由文献[8]中的数据，图1中彩虹圈的原长是6.6 cm，重力作用下总长度是114 cm，理论下落时间是2.3 s，实际下落时间是2.7 s.理论和实际下落时间量级上是一致的.

2 肥皂膜破裂速度

把一个圆环浸没在肥皂水中，再小心提出，会形成一个圆形的肥皂膜.用针尖在圆环中心刺一下，高速摄像机拍摄到了这个圆形肥皂膜的破裂过程，如图2所示[9].

图2 肥皂膜破裂

实验和理论都发现，圆环形破裂孔的半径与时间是成正比的，即径向破裂速度是恒定的，文献上称为Taylor-Culick定律.从能量角度看，肥皂膜“消失”圆环部分的表面张力势能，转化为这部分的动能，即

其中σ是表面张力系数，A是圆环部分的面积，h是肥皂膜的厚度，ρ是肥皂膜的质量密度.由此得到肥皂膜的破裂速度为

(3)

肥皂膜的表面张力系数σ约为2.5×10-2N·m-1，厚度h约为10 μm，质量密度ρ近似取为水的密度，理论上肥皂膜破裂速度是2.2 m·s-1.由图1中的数据(背景标尺为10 cm)，计算得到实际破裂速度是4 m·s-1，量级上是一致的.

3 玻璃破碎速度

互联网上的优质科普视频博主The Slow Mo Guys，擅长用高速摄像机拍摄有趣的物理现象.这次，他们把一块长的玻璃片，每隔一英尺区域喷上不同的颜色，记录裂纹穿越每个区域的时间，如图3所示[10].

图3 玻璃裂纹传播

可以看出，杨氏模量E和压强具有相同的量纲，单位也是Pa.从量纲上看，压强乘以体积是能量，与动能的量纲一致，得到

EV=ρVu2

从量纲上计算得到纵向压缩波的波速为

(4)

4 光纤极限高度

公园里的光纤挂灯，从侧面看，大部分光纤是弯的，如图4所示.

图4 光纤挂灯

从能量角度看，光纤完全直立，重力势能最高，弯曲弹性势能最低.光纤弯下去，重力势能低，弯曲弹性势能高.真实的弯曲光纤，使得重力势能和弯曲弹性势能加起来极小.从物理上看，是相对最稳定的位形.取下一根光纤，上部剪掉一段，看看能不能完全直立.如果不行，再剪一小段.直到一个极限长度，超过这个长度一点点，竖起来是弯的；低于这个长度一点点，竖起来是直的.那么，这个极限长度与光纤的哪些物理量有关？

物理学史上，是欧拉和伯努利首先提出单位长度上的弯曲弹性势能与杆曲率平方成正比，比例系数是弯矩B.对于特征长度为l0的光纤，曲率反比于l0.单位长度上的弯曲弹性势能和重力势能，量纲都是能量的量纲，量级上可以等起来，得到

其中ρ是光纤的线质量密度.由此计算得到特征长度为

(5)

严格的理论分析发现，临界长度近似为这个特征长度的2倍.实验测量到的光纤长度为15 cm，质量是0.02 g.极限长度是13 cm，特征长度是6.5 cm，由此得到光纤弯矩实验值约为360 g·cm2·s-2.塑料光纤的杨氏模量E约为0.01 GPa，光纤半径r约为0.5 mm.由弹性理论，弯矩B正比于杨氏模量E和半径r的4次方，约为625 g·cm2·s-2，与实验值量级一致.

5 钢尺声音频率

河南焦作市第十一中学的张怀华老师，实验发现钢尺一端固定振动发出声音的频率(主频)与钢尺的长度平方成反比[11]，实验装置如图5所示.

图5 钢尺发声

(6)

6 气泡塌缩时间

点燃小鞭炮后马上扔进水里，你会看到水里火光一闪，水面上溅起水花.整个过程很快，一般在10 ms左右，人眼根本看不清楚.视频科普博主The Slow Mo Guys，用每秒可以拍摄28万张图片的高速摄像机，看到了鞭炮在水中爆炸，形成的气泡膨胀到最大半径然后收缩的过程，如图6所示.

图6 水中小鞭炮爆炸产生的气泡随时间的演化

理想球形气泡在水中塌缩过程，最早由英国物理学家瑞利所研究.从能量考虑，气泡完全塌缩后，液体内部压强压缩气泡做的功，量级上等于同等体积液体获得的动能，即

pV=ρVu2

其中u是气泡塌缩速度，这个速度与液体中的声速量级一致.气泡最大半径R0除以这个速度，就是气泡塌缩时间

(9)

已知水中声音速度约为1 500 m·s-1，图6中气泡最大半径估计为10 cm，那么塌缩时间约为66 μs.每秒28万帧图片的时间间隔是3.5 μs，气泡塌缩过程图片接近20帧，约为70 μs.这两个时间接近，说明估算在量级上，还是合理的.

7 结束语

物理学习时期(中学和大学)，最多只有4年.在此之后，估计绝大多数的人，再也不会和物理见面.我们希望给学生带来物理真正的精髓，物理不仅是有趣的，也是有用的.就像文献[12]中蓝可回忆她导师于敏先生在探索氢弹爆炸机制时，所展现的物理能力之三“抓住关键物理量，进行理论初估算”.相比于敏先生“太阳般”光辉的量纲分析和量级计算，本文只能算“萤火之光”，抓住生活中6个有趣的物理现象，来展现常规物理考试中不会考到的物理知识.