基于小波包分解重构算法的北斗抗多路径误差

徐精诚， 连增增， 董佳琪， 岳哲

(河南理工大学测绘与国土信息工程学院， 焦作 454000)

全球卫星导航系统(global navigation satellite system，GNSS)在进行短基线相对定位时，主要面临如下三大误差源的干扰：与卫星端有关的误差，如卫星星历误差、卫星钟差；与传输路径有关的误差，如电离层及对流层延迟误差；与接收机有关的误差，如接收机钟差等。上述误差基本可以通过差分技术和模型改正进行削弱和消除[1]，但受测站周围环境影响因素较大的多路径误差无法通过此类方法消除，成为制约GNSS定位精度的主要因素之一[2]。因此，削弱多路径误差在卫星相对定位中的影响，对于提高GNSS定位精度具有重要意义。

但多路径误差是一种非平稳的随机误差，易受周围环境影响，削弱难度较大。对此，国内外学者展开了大量的研究[3-5]。目前，削弱多路径误差的方式主要有三类：①选择合适的站址，避免附近有大面积水域和高层建筑物；②对接收机的硬件方面进行改进，主要有特殊天线法、窄相关、多径消除(multipath eliminating technology，MET)和多径估计延迟锁相环(multipath estimation delay lock loop，MEDLL)等技术[6]；③对数据的后处理方法进行研究，主要分为基于恒星日滤波改正模型和频域滤波法两类[7]。其中基于恒星日滤波改正模型主要是利用卫星具有周日重复这一特性，通过单历元算法解算静态观测数据来提取多路径误差序列，校正后续相邻时间段误差。但随着时间的推移，多路径效应的重复性也在不断降低。而频域滤波算法主要分为经验模态分解[8](empirical mode decomposition，EMD)和小波变换[9](wavelet transform，WT)方法及其相应改进算法[10-11]。

不同于其他系统，北斗卫星导航系统(Beidou satellites navigation system，BDS)采用多星座设计，增加了GEO(geostationary earth orbit)和IGSO(inclined geosynchronous orbit)两种高轨卫星，能增加观测时段的有效卫星数，有利于提高区域定位精度[12]。当这两种卫星参与高精度载波定位时，会对定位模型的结构产生影响，从而导致BDS与其他系统的多路径效应特征存在着差异性[13]。因此，众多学者对如何削弱BDS多路径效应，进行了大量研究。Song等[14]提出一种基于小波分解的GEO卫星多路径误差校正方法，有效改正了GEO卫星的多路径误差；谢秉辰等[15]利用小波分解对多路径相关周期性误差进行降噪处理，提高了北斗变形监测的精度；杨威等[16]针对BDS星座特点，提出一种基于恒星日滤波与小波分解结合的BDS多路径削弱方法，提高了BDS定位精度。然而，小波方法也存在无法分解信号的高频频段的局限性。

针对BDS系统星座特性，现提出一种小波包(wavelet packet，WPT)分解重构算法来削弱BDS多路径误差。该算法基于小波包分解重构原理来提取多路径误差序列，通过分解尺度空间和小波空间进一步细化信号的高频部分，弥补小波方法无法提取信号高频部分多路径误差的缺陷；再利用提取的多路径误差序列对后续相邻天的BDS坐标序列进行改正，从而实现BDS多路径误差的削弱。

1 WPT算法原理及降噪步骤

1.1 WPT分解重构原理

WPT分解和重构原理[17]如下。

(1)

小波包分解表示为

(2)

小波包重构表示为

(3)

式中：h(·)为低通滤波器；g(·)为高通滤波器；k、l为分解层数；h、g为滤波器系数,h与尺度函数有关,g与小波函数有关。以一个3层小波包分解为例，如图1所示。

图1 3层小波包分解结构图Fig.1 Structure diagram of three-layer WPT decomposition

S0,0为分解前的原始信号，由原始信号逐级分解，层层递进，得到各子信号。下面的Sj,i表示第j层(尺度数)第i个节点对应的分解信号。信号S经过j层小波包分解后可以表示为

S=Sj,0+Sj,1+…+Sj,2j-2+Sj,2j-1

(4)

按照图1所示方式进行分解，信号在第j层小波包分解后，得到2j个特征信号，每个特征信号与相应频率段相匹配。由于原信号包含的有效信息集中在某几个子频带，所以必须对子频带进行筛选。保留有效成分集中的信息频带，对混合频带进行滤波处理，噪声频带舍弃，重构信号后，得到干净的多路径误差序列。与传统方法相比，WPT算法能够细化信号的高频部分，通过互相关系数大小来抑制噪声，同时保留有效信号不丢失，提高信号的降噪效果。

1.2 互相关分析

互相关系数是衡量两组随机信号在频域内相关性的指标，各子频带xi(t)和原信号x(t)的互相关系数计算公式为

(5)

式(5)中：cov[x(t),xi(t)]为x(t)、xi(t)的协方差。

以各子频带与原信号的互相关系数为依据，如果二者间的互相关系数越大，则子频带中含原信号的有效成分越多。一般认为[18]，当0≤R≤0.1时，表示两种信号弱相关；当0.1≤R≤0.5时，表示两种信号实相关；当0.5≤R≤1，表示两种信号强相关。因此，可以按照互相关系数的大小来确定各子频带的性质。若0.5≤R[x(t),xi(t)]≤1，代表子频带是有效信息成分占主导的信息频带，予以保留；若0.1≤R[x(t),xi(t)]≤0.5，代表子频带中既含有信息成分，也包含噪声成分，可通过软阈值降噪手段进行处理；若0≤R[x(t),xi(t)]≤0.1，代表子频带是噪声成分占主导的噪声频带，有效信息成分较少，直接舍弃。

图2 WPT算法降噪流程Fig.2 WPT of noise reduction process

1.3 小波阈值降噪原理

对于多路径误差这类随机非平稳信号，常用软阈值和硬阈值滤波方法进行降噪。

软阈值函数定义为

(6)

硬阈值函数定义为

(7)

1.4 WPT降噪及BDS多路径误差削弱流程

WPT算法降噪流程如图2所示，削弱BDS多路径误差的具体步骤如下。

(1)BDS原始坐标序列x(t)通过小波包分解成若干个子频带。

(2)利用两个指标M1=0.1和M2=0.5，将子频带细化分为噪声频带、混合频带、信息频带三类。

(3)多路径误差主要集中在信息频带和混合频带“干净”部分，所以舍弃噪声频带，利用软阈值滤波对于混合频带进行处理，得到的 “干净”信息与信息频带进行重构，实现BDS坐标序列降噪。

(4)将降噪后的BDS坐标序列x′(t)作为多路径误差改正模型。

(5)利用x′(t)改正后续相邻天的BDS坐标序列，即实现BDS多路径误差削弱。

2 仿真实验及分析

设含噪声的模拟数据模型为

ut=xt+et

(8)

式(8)中：et为正态白噪声序列；xt为原始信号；ut为含噪信号；t为时间。

构成的模拟信号模型为

(9)

2.1 实验方案设计

本文构建的仿真信号模型如式(9)所示，仿真数据的采样间隔为1 s，样本数为8 000，在原始模拟信号中分别加入服从正态分布N(0,0.502)、N(0,1.002)、N(0,1.502)、N(0,2.002)、N(0,2.502)、N(0,3.002)的6组高斯白噪声数据。为了定量说明本文提出WPT算法的降噪效果，选定了3个评价指标：信噪比(signal noise ratio，SNR)、互相关系数R、均方根误差(root mean square error，RMSE)，计算公式为

图3 不同降噪算法降噪效果对比Fig.3 Comparison of noise reduction effects of different noise reduction methods

(10)

(11)

(12)

2.2 仿真实验结果及分析

为了验证本文WPT算法的有效性，分别应用EMD、WT、WPT 3种算法对仿真信号进行降噪处理。统计在不同噪声水平下，经3种算法降噪后信号信噪比、互相关系数、均方根误差的值，如表1所示。为了对比不同算法的降噪性能，给出et服从N(0,2.002)时，三种算法的降噪效果如图3所示。

由表1可知，随着噪声水平的增加，3种算法的SNR和R在不断地增大，RMSE在不断地减小，但不同的算法呈现不同的降噪效果。在噪声水平较低时，三种算法的互相关系数R都趋近于1，SNR值和RMSE值都大致相同。此时，三种算法的降噪效果大致相同。但随着噪声水平的不断增加，WPT算法的SNR和R要大于EMD算法和WT算法，RMSE要远小于EMD算法和WT算法。此时，WPT算法的降噪效果要优于EMD算法和WT算法。从图3可以看出，同一噪声水平下，WPT算法处理后的仿真信号更加平滑，所含噪声量更少。

从上述分析来看，WPT算法的整体降噪效果要优于EMD算法和WT算法。说明本文提出的WPT算法具有较好的降噪效果，可以用于BDS多路径误差的削弱。

表1 不同降噪算法降噪效果统计Table 1 Noise reduction effect statistics of different noise reduction algorithms

3 BDS实测数据分析

为了进一步验证本文WPT算法的有效性，在仿真实验的基础上，进行了实测数据的验证。本实验选用河南理工大学测绘学院楼顶南方CORS站和国家重点实验室楼顶华测CORS站的实测数据，接收机类型分别为N0-ANT1和CHC P5。卫星截止高度角设为5°，基线长度为368.70 m，采集时间自2021年7月04日0时—2021年7月6日24时，采样间隔为30 s。实验场所周围环境如图4所示，数据处理策略如表2所示。

图4 试验站周围环境Fig.4 Surrounding environment of the test station

表2 数据处理策略Table 2 Data processing strategy

以南方CORS站作为基准站，华测CORS站作为试验站，3 d静态观测数据通过RTKLIB软件的RTKPOST后处理模块进行处理，得到试验站三维坐标序列。通过短基线载波双差解算可以对电离层延迟、对流层折射、卫星和接收机钟差等误差进行有效的消除，因此，认为此时得到的试验站坐标序列中主要存在随机噪声误差与多路径误差。为了清晰直观的表示连续3 d的坐标序列趋势对比，将3 d的坐标序列绘制于同一图中，如图5所示(将第2天与第3天的N、E、U方向的坐标序列分别依次增加4 mm和8 mm)。3 d之间坐标序列的相关系数，如表3所示。

图5 3 d BDS不同方向坐标序列Fig.5 Day1～Day3 coordinate sequence of BDS in different directions

从图5和表3可以看出，相邻3 d的BDS原始坐标序列具有明显的相关性。因此，利用卫星具有周日重复性及提取的BDS多路径误差序列对后续观测值进行误差改正。E方向的相关系数略低，其原因可能是接收机E方向较空旷无遮挡，致使多路径效应较低。

表3 坐标序列相关系数Table 3 Coordinate sequence correlation coefficient

图6 第1天不同方向降噪效果Fig.6 Day1 noise reduction effect in different directions

为了验证WPT算法的降噪效果，分别利用EMD、WT和WPT算法对第1天的BDS原始坐标序列进行降噪实验。三种算法的降噪效果对比，如图6所示。降噪前后坐标序列的RMSE大小，如表4所示。

从图6中可以看出，WPT算法提取的多路径误差序列相较于EMD、WT算法更加平滑，说明WPT算法提取的多路径误差序列包含的噪声要少于EMD、WT算法。因此，WPT算法提取多路径误差序列的效果要优于EMD、WT算法。

从表4中可知，WPT算法滤波后BDS坐标序列的RMSE要低于其他两种算法，说明WPT算法相较于EMD和WT算法，能够更好地去除随机噪声。还有滤波前后，BDS坐标序列的RMSE改变量较小，这是因为在数据预处理时，选用了前向后向滤波，在一定程度上降低了数据的随机噪声，多路径误差占据主导地位。

表4 降噪前后坐标序列的RMSETable 4 RMSE of coordinate sequence before and after denoising

图7 三种算法提取的多路径误差序列Fig.7 Multipath error model extracted by three algorithms

EMD、WT、WPT 3种算法提取的3 d N方向多路径误差序列，如图7所示。通过对比可知，WPT算法提取的多路径误差序列明显好于WT、EMD算法。在细节部分上，相较于其他两种算法，经WPT算法处理后的多路径误差序列更加平滑。这表明，WPT算法将高频的随机噪声去除的比较彻底，提取出的多路径误差序列更加干净。因此，WPT算法要优于EMD、WT算法。

滤波后多路径误差序列的相关系数，如表5所示。由表3和表5对比可知，WPT算法提取3 d多路径误差序列的相关性高于EMD、WT算法，进一步表明，WPT算法能较好地提取多路径误差序列。

为了分析本文基于小波包分解重构原理提出的WPT算法在削弱多路径误差中的效果，利用第1天的多路径误差序列来改正随后第2天、第3天的原始坐标序列。第2天、第3天改正后坐标序列的RMSE，如表6所示。

从表6可知，WPT算法的改善效果要优于EMD、WT算法。对比N、E、U 3个方向的RMSE值和改善效果，第2天整体改善效果要高于第3天，因为第1天和第2天的多路径误差序列相关系数更大。从第2天来看，U方向上的改正效果最好为83%，N、E方向上分别提升77%、78%。因为U方向上多路径误差序列相关性最大，受多路径效应的影响最大，所以多路径误差滤除的效果最好。

表5 滤波后多路径误差序列的相关系数Table 5 Correlation coefficients of multipath error sequence after filtering

表6 多路径改正模型前后坐标序列的RMSE值Table 6 RMSE of coordinate sequences before and after multipath correction model

4 结论

基于小波包分解重构原理提出了一种削弱BDS多路径误差的WPT算法，并将其与经典的EMD、WT算法进行了仿真和实测数据比较，通过实验分析，得出以下结论。

(1)在仿真实验过程中，通过对比分析WPT算法、EMD算法及WT算法在不同噪声水平下降噪效果可知，WPT算法的降噪效果要优于EMD、WT算法，表明WPT算法可以用于BDS多路径误差削弱。

(2) 将WPT算法用于BDS多路径误差改正，实验结果表明，WPT算法对BDS多路径误差的削弱效果优于EMD、WT算法，在N、E、U 3个方向上的精度分别提升77%、78%、83%，有效地提高了BDS的定位精度。