弗兰克-赫兹实验原子激发能级测量的改进与电子平均自由程的研究

王开元 魏孝龙 龚国斌 毛一葳

（南京大学物理学院，江苏南京 210093）

0. 引言

弗兰克-赫兹实验是经典的近代物理实验之一，该实验证明了原子能级的存在，为玻尔的原子模型提供了直接证据，但是，一般的弗兰克-赫兹实验中，受到测量电路的限制，只能测量出原子的第一激发电位。除此之外，实验测得氩原子的第一激发电位为11.69V，与资料中13.1V相比误差较大。对图像进一步的分析与认识也相对缺乏。我们尝试通过改进的电路测量原子的其他激发态。本文讨论了改进的测量电路的原理和测量结果，并针对弗兰克-赫兹实验图像作了一些分析，提出了可以进一步研究的方向。

1. 实验原理

根据玻尔的原子模型，电子只能处在一些分立的轨道上，这种稳定运动状态称为定态。每一定态对应于一定的能量，称为能级。电子在跃迁时会以电磁波的形式吸收或放出能量。由于能量是分立的，吸收或放出的光子具有特定的频率。原子与具有一定能量的电子发生碰撞，可以分为两种情形：若发生弹性碰撞，电子能量几乎不变，方向改变；若发生非弹性碰撞，电子的部分或全部能量转移给原子的电子，使其激发到高能级。

1.1 一般测量电路

一般的实验测量电路如图1所示。灯丝电源VF加热灯丝，产生慢电子。第一栅极G1主要消除空间电荷对阴极电子发射的影响。VG2K在第二栅极和阴极之间建立加速场，VG2P在第二栅极和极板之间建立拒斥场。在上述测量电路中，阴极和第二栅极之间全部为电子加速和碰撞的公用区域。由于电子的加速距离远大于其平均自由程，电子可以多次与原子发生碰撞，从而主要将原子的电子激发到第一激发能级。这为测量原子的其他激发态造成了困难。

图1 一般测量电路

1.2 改进测量电路

为了解决以上问题，弗兰克于1920年对实验装置作了改进[1]。如图2所示，第一栅极和第二栅极用导线短接，一同接到加速电压的正极，使得阴极和第一栅极之间建立减少碰撞的加速区，第一栅极和第二栅极之间建立等势碰撞区。电子的加速距离变短，小于其平均自由程。改进电路把加速区和碰撞区分开，从而使电子在加速区易于获得更高的能量，在碰撞区有更高的概率和原子发生碰撞[1-2]。

图2 改进测量电路，在G1和G2之间可以增加调节电压δVG

在此基础上，为了减少碰撞区游离的慢电子和其他离子，并考虑补偿电子弹性碰撞过程中损失的能量，第一栅极和第二栅极之间又增加了一个0V～1V的调节电压δVG[3]。

2. 实验过程与结果

本实验的主要器材有：DH-FH-VI型弗兰克-赫兹实验仪、DH4507A微机型弗兰克-赫兹实验仪、F-H汞管、F-H氩管、计算机。

2.1 测量第一激发电位

按照图1的方式连接实验仪器。根据常规的实验步骤分别对汞管和氩管进行测量，去除本底电流后得到的曲线如图3和图4所示。

图3 汞原子第一激发电位测量

2.2 测量氩原子的亚能级

按照图2的方式将氩管的第一栅极和第二栅极短接。测量得到曲线如图5所示。选择VF=2.3V，VG2A=7.0V的曲线，利用程序获得极值点如图6所示。

图5 氩原子亚能级测量

图6 VF= 2.3V VG2A=7.0V

2.3 测量汞原子的高激发能级

按照图2的方式将汞管的第一栅极接到实验仪上VG2K的正极和VG1K的负极，第二栅极接到VG2A和VG1K的正极。这里实验仪上的VG2K实际对应汞管的VG1K，VG1K调整的是δVG。控制VG2A=1.0V，VF=1.4V，在不同温度下得到F-H曲线如图7所示。

图7 汞原子高激发能级测量

结果表明，随着管子温度的升高，极板上的电流下降，曲线峰的数目先增加后减小。选择T=120℃对应的曲线（见图8）进行分析。

图8 T=120℃下的F-H曲线

3. 分析与讨论

3.1 汞原子的高激发能级

图7显示了多个高度不一且间距不等的峰和谷，各个峰（谷）可能是汞原子直接被激发到较高能级的结果，也可能是激发能级的叠加[3]。第一个峰与第二个峰间距为5.0V，是63P1能级。可以求得接触电势差为5.9V-5.0V=0.9V。将测量值减去接触电势差后，根据汞原子能级图，尝试不同的能级组合方式[3-4]。减去接触电势差的测量值和可能的组合方式列如表1所示。其中a为63P1，b为63P2，c为61P1。

表1 能级的测量值和理论值

理论值和测量值相差比较小，可以认为测得了前3个激发能级。但是这种方法是通过配凑组合的方式，从理论值倒推实际情况的，其精度不高。上表中15.2V的测量值没有找到对应的组合方式，该测量值可能是管子内部的杂质蒸汽引起的。

3.2 氩原子的第一激发电位的修正

常规实验的结果给出氩原子的第一激发电位为11.69V，与理论值13.1V的相对误差为10.76%，偏差较大。该偏差出现的原因在于氩原子亚能级的存在[2,5]。从氩原子能级图如图9所示都可以看出，氩原子在基态与第一激发态之间有几个亚稳态。

图9 氩原子的亚稳态示意图

通过程序获取极小值点，并用三次多项式插值拟合本底电流，去除本底电流后分析单一变量对实验结果的影响，如图10～图12所示。

图10 VG1K=2.0V VG2A=7.1V

图11 VF=2.2V VG1K= 2.0V

图12 VF=2.2V VG2A=7.1V

从图中可以得到：

（1）灯丝电压越高，曲线的峰谷越明显。

（2）拒斥电压越高，所得的峰间距、谷间距越大，且随着第二栅压增大间距变化得越小。

（3）第一栅压越小，曲线的峰谷越明显。

但是，计算所得的结果仍与第一激发态有一定差距，因为此时测的仍然是跃迁到两个亚能级与跃迁到第一能级的概率和[6]。两个亚能级间距相对较小，可视为一个能级，取平均值为11.64V，不考虑原子被激发到更高能级的情况的话，可将原子被激发到亚能级和第一能级的概率分别设为x和1-x，因此概率与峰（谷）间距的关系为：

其中ΔV为峰（谷）间距。计算结果如表2所示。

由表2可知：

表2 原子激发到亚能级的概率

（1）灯丝电压越高，电子跃迁到亚能级的概率越大。

（2）拒斥电压越高，电子跃迁到亚能级的概率越小。因此，想要实验结果更加接近真实的第一激发电位，应尽量选择小的灯丝电压和大的拒斥电压。

3.3 F-H 曲线分析

对于以上实验的结果，我们还从以下几个方面进行了讨论：

3.3.1 峰间距和电子平均自由程

根据理论分析，F-H曲线上峰（谷）的间距应该相等。常规实验就是根据这一原理通过计算峰（谷） 间距的平均值得出原子的第一激发能。但是实际的结果显示，汞管和氩管的曲线上峰（谷）间距随着峰（谷）数目的增加而增大。

这一现象产生的原因有：（1）由于其他亚稳态能级的存在，随着加速电压的增大，电子的能量升高，将原子的电子激发到能量较高的亚稳态能级的可能性增大；（2）由于阴极发射电子，电子积聚，在两极板间形成了“虚阴极”，相当于一个势垒。随着VG2K的增大，势垒向阴极移动，逐渐消失，从而出射到管子中的电子数量增加，使得峰间距增大；（3）与非弹性碰撞的模型有关[7]。

非弹性碰撞的模型指出，若自由电子的能量小于第一激发能，发生弹性碰撞，能量近似不变。当能量达到第一激发能时，电子与原子在发生非弹性碰撞前还会再移动一段距离。移动的平均距离近似等于电子的平均自由程λ。在这段距离中电子获得了额外的能量，如图13所示。由于汞原子和氩原子第一激发态附近的能级多，间隔小，电子在发生非弹性碰撞时有较大的可能将原子的电子激发到较高能级，而自身失去绝大部分能量。

图13 电子在栅极G1G2之间运动时的能量变化

若发生了n次非弹性碰撞，电子从电场中获得的总能量为

说明峰（谷）间距与n为线性关系。作出汞管的峰间距与n的关系图线，如图14所示。

图14 汞原子ΔV-n关系图线

3.3.2 数据点分组现象

实验中发现了一个暂无解释的现象，测量得到数据点呈组状，每隔固定几个数据点后会出现电流值的突然增加或减小，如图15所示。

图15 电流突变现象

经过实验我们发现，无论是汞管还是氩管均出现了电流突变的现象。改变灯丝电压、栅极电压和拒斥电压均不能消除这种现象，因此我们考虑可能是仪器本身的问题。把万用表切换到电压档，接在仪器步进电压输出端进行测量，我们发现步进电压的变化与仪器显示的数值不同，实际上是不均匀的。前几个时间步长内电压的增量不足0.1V，到一定时间后电压的增量会突然超过0.1V，可能这就是造成电流突变的原因。但是万用表的示数会受到其电池电量的影响，为了减小误差可以改用数字电压表测量。

4. 进一步探究

查阅文献可知，第一栅极和第二栅极之间常常增加一个0V～1V的调节电压δVG。我们尝试将δVG变为-δVG进行实验，在T=120℃下和T=125℃下得到的F-H曲线分别如图16和图17所示。

图16 T= 120℃

图17 T= 125℃

我们发现使用负的δVG后，F-H图线的分辨率有所提高。同时也出现了新的现象。在两幅图中， 随着δVG绝对值的增大，曲线的峰和谷都向右移动，但是不同的峰和谷位移的距离并不相同。由于我们的实验时间有限，这一现象有待进一步研究与解释。

5. 结语

本实验通过对传统测量电路进行改进，使电子在加速区获得更高的能量，在碰撞区有更高的概率和原子发生碰撞，从而成功地观察到了汞原子较高激发能级和氩原子亚能级的存在。在尝试使用负的δVG后我们发现图线的峰和谷变得更加明显，且发生不同程度的位移。具体的原理有待接下来更深入的研究。对于曲线上每隔一定的数据点电流值发生突变的问题，我们遗憾地发现可能是仪器本身的因素造成了该异常现象。可以尝试外接电压表测量，以实际电压值为x轴重新作图，观察电流突变现象是否消失。