浅谈通过数学周记培养学生的数学反思习惯

宁小红

反思即反省，“反思”在现代汉语中的解释是“思考过去的事情，从中总结经验教训”。从心理学的角度看，反思就是元认知，是对自己的认识过程及结果的认识，是全方位地对问题及解决问题的思维过程进行全面考察分析和思考的活动。其中，《中国高考评价体系》就提到了学生应该具备“思维认知能力”的数学能力。经过素质教育的培养，思维认知能力强的学习者应当能够独立思考，通过自己的逻辑思辨，发表独立的、有创造性的看法，能够从多个视角观察、思考同一个问题。

不少研究表明，数学日记有助于学生反思数学学习的过程，促进数学学习能力的发展。通过数学日记培养学生反思习惯在数学教学中具有重要意义。数学日记提高学生数学能力，提升学生数学素养的价值与意义是国内外众多研究者所一致认同的，但是数学日记在实际的高中数学教学中实施却受到许多时间空间的限制。在高考备考的压力下和多科作业的负担下，学生通过每天写数学日记的形式来进行反思每天的数学学习过程显得困难。因此我们换了种少受时间空间限制的方式，通过实施数学周记的形式来实践探索其对学生数学反思习惯的培养。通过一年多的行动研究，我们发现数学周记有助于培养学生以下几方面的反思习惯。

一、 对数学知识内容进行反思

在《中国高考评价体系》中，必备知识是指即将进入高等学校的学习者在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时，高质量地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的知识。高中数学必备知识内容丰富，高二的数学内容又相较高一难度上增加了不少，学生经过了一周的学习之后，难免会出现对一些数学概念、数学定理、公式法则、性质理解得不够深入，掌握得不够好的现象。那么这个时候，教师可以针对本周内的某个重难点知识内容，提出一些问题，让学生通过写作的方式对某个概念、某个命题进行深入的思考探索，帮助学生理解概念的内涵，掌握命题中对象的关系及相关数学规律。例如在学完二面角的相关概念后，我们在这周内学生的练习中发现，学生没能很好地理解这个概念，因此在周末的时候，我们设计了若干问题，让学生在周记本上用写作的方式回答。

设计如下：

1. 二面角的平面角如何定义？请用文字语言、图形语言和符号语言描述一下；

2. 你认为为什么这样定义二面角的平面角？

3. 二面角的平面角有多少个？它们有什么关系？

4. 作出两个平面，画出两个二面角的平面角，并说说画二面角的平面角的注意要点；

5. 试作出正方体，连接各面的对角线，探究图形中二面角的大小；

6. 挑一个本周内你遇到的不会做的与二面角相关的题目，进行再次探究。

通过对这一组问题的探究，学生对二面角的平面角概念进行了深入的反思，对概念进行再建构。明确概念的内涵外延，并对概念进行了初步的应用。当然，在我们的实践过程中还采取其他的方式来促使学生对相关知识进行反思，例如开放性地让学生谈自己在一周学习过程中遇到哪些困难，对哪些知识点理解不够到位，让他们通过查找资料自学并写下自学后对相关知识的认识与感悟；再如当学习完某一章节知识的时候，我们还通过指导学生画思维图来梳理相关知识的联系与区别，使学生加强对知识的整体性把握，如图1所示。

图1

二、 对数学解题过程进行反思

在教学过程中，我们经常会遇到这样一个问题，在某一不是很难的类型题上教师多次讲解，学生多次练习，学生还是掌握不到位。那么这时候除了教师要合理组织相关内容，再次讲解清晰之外，更重要的是学生自己要再深入分解问题、分析条件目标、掌握解决问题的思维方法。所以在我们的教学中如果出现这种情况，我们会再找一两道相关的典型题，让学生在周末的时候，从背景分析(即知识点分析)、条件分析、目标分析、思路分析(可从多角度考虑，尝试多种方法)、解题过程呈现、解题回顾(归纳解题方法策略，分析此类题的难点与关键点)等六个方面对题目进行全面深入地分析，使学生把握问题的本质，体悟题目中蕴含的思想方法。例如在我们的教学中发现学生对“最短弦、最长弦”和“切线长最短”的类型题掌握得不好，因此我们设计如下两个问题，让学生从以上六个方面进行反思。

反思题1 直线l：2mx+y-m-1=0与圆C：x2+(y-2)2=4交于A、B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为。

反思题2 已知P为直线l：x+3y-12=0上一点，过P作圆C：(x-2)2+y2=1的切线，则切线长最短时的切线方程为。

通过这两个典型题的深入探究，可使学生抓住解决此类型题的关键是要将弦长或切线长转化为圆心到直线的距离与半径的勾股关系，从中体悟转化与化归的数学思想方法。如此反思，从效果上来看，比聆听教师多次“强调”效果要好，因为这促进了学生对这道题解答时包含的过程性知识(对知识结果和知识应用的体验，且是内隐的、动态变化的)和程序性知识(题目该如何解答，每一个步骤是怎样的)的整理和反思。反思是一种习惯和意识，不断地反思，才会不断进步，如图2所示。

图2

三、 对数学思想方法进行反思

数学思想方法是对数学知识、数学解题及数学方法的本质认识，对学生学习数学具有非常重要的意义。数学思想方法是数学中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于学习的迁移，所以在平时的教学中要注重数学思想方法的教学。在高中的许多数学内容中以及数学问题中都蕴含着数学思想方法。通过周记的形式使学生对这些数学知识内容和问题进行深入探究反思，有助于学生对数学思想方法的领悟。例如让学生在周记中对数学概念的形成过程进行反思，并让学生思考在概念形成过程中应用了哪些思想方法。再如在题目探究型周记中，设计解题回顾环节，引导学生对整个解题过程进行反思，总结题目中的知识内容，挖掘蕴含在题目中的数学思想方法，显化数学思想方法，在这个过程中逐步培养学生从思想方法的高度审视平时遇到的数学问题。

有位同学在学完“平面向量的应用”后，在周记中说道：“老师在讲‘平面向量的应用’这一节内容时，着重讲了转化与化归的思想，让我印象非常深刻。在解题中先确定已知模和夹角的平面向量基底，然后将目标中的未知向量通过向量基本运算先转化为基底表示，再往下运算。这种将未知量转化为已知量的思维方式真的太妙了！”我对这位同学的批语是：“很高兴看到你对转化与化归的数学思想方法有较深的体悟，如果你能在平时的解题和学习过程中也多用转化与化归去思考问题你会发现转化与化归思想有更广的应用。”

四、 对数学学习方法进行反思

定期地反思近段时期自己在数学学习方法上的不足，总结自己这段时间以来好的数学学习经验，可以促使学生发展自己的数学学习能力。而数学周记可以给学生提供一个很好的自我反思总结的路径，在周记中引导学生反思自己一周以来做得好的与不足的地方。在每周的周记内容中我们可以设计这样的问题：通过一周的数学学习你觉得有哪些收获与成就？在一周的学习过程中有哪些不足？接下来如何改进？有同学在周记中写道：“这周做得不够好的是错题没有及时提问解决，导致问题堆积，下次遇到问题要规定时间，及时处理。”“线性回归分析这节课没来得及进行课前预习，上课没能很好地跟上老师的节奏，以后新课要提前预习，带着问题去听课。”“周三写作业前没有先去梳理当天学习的新内容，对所学新知识不够熟悉，导致晚修写作业效率低下，占用太多时间，下次要注意。”……通过这样的反思，学生可以发现自己的不足并进行及时的调整，可以促使学生养成定期对自己的数学学习过程进行自我监控和调节的良好习惯，进而提升学生的元认知能力。

五、 对数学学习情感态度进行反思

“数学情感”存在于教学过程的各个环节之中，具有积极性、消极性、双重性与不确定性。长期以来，数学教学中对学生的数学情感关注较少，教学活动多数是针对高考去设计与实施。很多教师下课后，很少与学生进行交流，至多通过平时的批改作业了解学生的一些解题情况，所以数学教师也需关注学生的情感体验(兴趣感、成功感、焦虑感和厌倦感)。

数学周记可作为师生间进行交流的有效媒介，它可以帮助教师发现、了解学生的个体差异，减轻学生的心理压力和精神忧虑，培养其数学自信心，使之在轻松愉快的环境中能动地掌握数学知识和数学方法，从而达到普遍提高学生数学能力的效果。实际上，近几年有非常多的研究表明，非智力因素对学生的数学学习有非常重要的助推作用。而在我们的实际教学中也可以发现，凡对数学学习有强烈兴趣的学生，都能够积极主动地进行数学探索，所以这类学生的数学素养都不会差。在周记中我们可以向学生提出这样的问题：在这一周的数学学习过程中，有什么经历是让你觉得有趣或愉悦的？有什么经历是让你感到糟糕或焦虑的？你有什么话想对老师说？

一个学生写道：“我的数学很差，高中之后数学更差，觉得数学老师离我好远好远，永远都跟不上老师的步骤。我上课时，都不敢看你，生怕你会提问我，我也不敢来问你问题，怕您觉得我问的问题太简单了……”我写下了：“你应该重拾信心和对学习数学的热情，老师和你一起努力，从现在的开始，一点一点努力把数学提高。记得多来找我。加油！”

还有一位同学在某一周的数学周记上写道：“又是被数学折服的一周，我认为老师讲哲学很有几把刷子，对学生的心理也分析得很透彻，真不考虑去考个心理辅导证吗？或许大家就不会在数学的世界里烦恼了，虽然我认为写数学就是烦恼！希望老师您可以多给我们煲煲心灵鸡汤，这样似乎就可以给已经被数学海洋推得无所适从的我一块冲浪板，虽然摔下板的概率不算低，但起码有个底，总好过赤脚踏上浪尖啦！”我在这位同学的周记上回复道：“谢谢你对老师的认可与信任，向我倾诉了你对数学的情感，虽然你过去学习数学的情感体验不是很好，但是我相信只要我们携手共同努力，慢慢调整心态，慢慢进步，我们一定可以在数学的海洋中自由畅快地游玩！”

通过这样的交流对话，学生找到了和老师深入交流的窗口，学生可以在周记中表达其内心深处对数学的真实情感，对那些失去数学学习信心的同学可以及时得到教师的鼓励、肯定与指导，对缓解学生数学学习焦虑有很大帮助。同时对教师而言，可以及时了解学生的数学学习情感动态，可以在后续的教学中进行及时的干预与调整。对拉近师生关系、改变学生对数学的认知、培养学生对数学的亲近感有很大的帮助。

六、 对数学课堂学习过程进行反思

学生在数学课堂中的学习习惯、学习态度和学习专注力对其学好数学至关重要，因为数学课堂是学生在校学习数学的最重要场所和最重要环节。如果学生能养成良好的数学课堂学习习惯，将对其高中数学学习产生很好的助推作用。反之，将对其数学学习产生不良影响。所以，通过周记帮助学生反思每周在课堂中的数学学习过程显得很有必要，通过反思学生可以对自己的课堂行为进行及时的调整，培养良好的数学课堂学习习惯和数学学习反思习惯，进而提升学生的数学学习能力。

有同学在自己的周记中写道：“学条件概率这一节课的时候，我走神了，没有紧跟老师的思路节奏，导致没有很好地理解条件概率的定义，条件概率公式也没有搞懂，导致课后花了很长的时间恶补后才勉强把这一块知识搞清楚。下次切记不能轻易走神，多跟老师进行眼神互动，紧跟着老师的节奏走。”还有同学写道：“通过回忆自己的课堂学习过程，我发现自己的专注能力真的很差，很容易受到外界因素的干扰，例如窗外有个人走过，我会不自主地望向窗外，老师背身板书的时候容易开小猜，决心改正过来。”我给这位同学的回复是：“看到你能真诚地反思自己在课堂中存在的问题老师真的很开心，更开心的是看到你通过反思，发现了自己存在的不足，并且下定决心改过。我相信只要我们平时有意识地去锻炼我们的专注能力，你的专注能力就会逐步提高。”

七、 对数学素养进行反思

提高学生的数学素养不是简单一句话。数学课堂学习探索的时间和空间是有限的，这就需要渗透到平时学习中。学生通过数学周记的形式有更大的空间进行探索和了解数学文化。在讲到杨辉三角与二项式定理的关系后，周记自行探索杨辉三角里面有丰富的数学规律。

一个学生在周记中写道：“如图3我发现第一斜列均为1，第二斜列则为自然数，第三斜数值是1、3、6、10……，这种熟悉的数据让我想起来，第三斜列为三角形数。第四斜列是什么呢？我虽然不知道，但可以肯定是数学中特有的。我还发现里面隐藏了斐波那契列，如图斜线相加在一起，分别是1、1、2、3、5、8、13、21……，当我发现的时候我太不可思议，原以为只是简单的二项定理展开式的系数。没想到却有这么丰富数学内含，感觉自己喜欢上数学了。”老师给的点评是：“你探索得很好，能从杨辉三角到三角形数，再到斐波那契列。看来对数学文化也是了解不少哟。老师告诉你第四斜列是四面体数，第五斜列之后等你上了大学可以再去研究。其实里面很多有趣的性质，我们可以一起继续探索。”学生通过数学周记对问题进行探索，并记录过程和感悟，也对数学文化有了进一步认识。

图3

八、 结语

新课程背景下，数学周记是在教师引导下着眼于发展学生的兴趣、需求和个人特长，并关注学生的个性发展，促进学生从被动地学习，逐步走向主动探索及反思，进而养成良好的数学反思习惯。这种的数学反思习惯，在情感、态度与价值观方面，也在数学思维能力以及数学创造性等方面，都有非常积极的影响。培养数学反思习惯，还可以有更多的形式，希望在以后的教学与研究过程中不断地探究与总结。