指数与对数比较大小的方法探究

2022-02-13 10:42■陈
中学生数理化·高一版 2022年1期
关键词:幂函数增函数正数

■陈 猛

指数与对数的比较大小是函数单调性的应用载体,又是逻辑推理与化归思想的体现,是提高同学们数学综合素养的有效途径。下面通过几道例题的分析,希望对同学们的学习有所帮助。

例1设a=log3e,b=e1.5,c=,则( )。

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

解:因为b=e1.5>2=log39>log34=c==1,而1>log3e=a,所以a<c<b。应选D。

感悟:比较指数与对数的大小,可利用指数函数与对数函数的单调性,同时引入0,1等中间量进行求解。

例2设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )。

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

解:令2x=3y=5z=t,x,y,z为正数,则t>1,所以。,即2x>3y。,即2x<5z。

综上可得,3y<2x<5z。应选D。

感悟:针对已知条件中的连等式,可借助新的参数作为变量,表示题目中的相关量,再通过作差或作商来比较大小。

例3设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )。

A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

解:因为a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,所以ab<0。

感悟:根据已知条件(或选项)构造相应的函数,利用函数的单调性比较大小。

例4若a>b>1,0<c<1,则( )。

A.ac<bcB.abc<bac

C.alogbc<blogacD.logac<logbc

解:因为幂函数y=xc(0<c<1)在(0,+∞)上是增函数,又a>b>1,所以ac>bc,A 不正确。幂函数y=xc-1(c-1<0)在(0,+∞)上是减函数,由a>b>1,可得bc-1>ac-1,所以abc>bac,B不正确。由a>b>1,可得lga>lgb>0,所以alga>blgb>0。因为lgc<0,所 以。又,所以,即alogbc<blogac,C 正确。由函数y=logax与y=logbx(a>b>1,0<x<1)的图像(图略)知在x=c处的函数值满足logac>logbc,D 不正确。应选C。

感悟:利用函数的图像与性质比较函数值的大小,可以达到学以致用的目的。

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