以九为法：《律吕新书》在律学史上的另一贡献

摘 要：蔡元定《律吕新书》在阐述十八律理论以及校勘《史记·律书·律数》数据时，曾使用“以九为法”的律学算法，并受到朱载堉高度评价。这种算法的产生源自三分损益法自身的特点，除在求得十八律整数律数方面具有不可替代的价值外，还体现出蔡元定律学理论重视实践特点。“以九为法”与蔡元定发明的“小分算法”结合使用，代表着三分损益法前提下，古代律学运算的最高水平，具有很高的学术价值。

关键词：《律吕新书》;以九为法;蔡元定

中图分类号：J609   文献标识码：A

文章编号：1004-2172（2022）01-0067-08

DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2022.01.008

南宋理学家、乐律学家蔡元定所作《律吕新书》是中国古代音乐史上的经典著作之一。目前对该书律学成就的研究多集中于“十八律”等课题，较少注意到蔡元定在律学运算方面所做出的贡献。笔者曾在《〈律吕新书〉小分算法解析》①一文中对蔡元定的“小分算法”进行过阐述，认为这是理解蔡元定十八律理论的关键之一。

但除此之外，《律吕新书》中还有一种被朱载堉称作“元定书中最紧要者”②的算法——“以九为法”值得重视。那么，何为“以九为法”？《律吕新书》云：

或曰：“径围之分以十为法，而相生之分、厘、毫、丝以九为法，何也？”曰：“以十为法者，天地之全数也;以九为法者，因三分损益而立也。全数者即十，而取九相生者，约十而为九，即十而取九者，体之所以立;约十而为九者，用之所以行。体者，所以定中声;用者所以生十一律也”。③

“以九为法者，因三分损益而立也”，说明三分损益法的数理特点是“以九为法”的理论基础。所谓“以九为法”，本质上就是九进位制，即下一级计量单位逢九进位。具体而言，“九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸”④。本文从《律吕新书》文本出发，对“以九为法”的具体运用方法与学术价值进行阐述。

一、“以九为法”计算三分损益十二律整数律长

“约十而为九者，用之所以行”，说明“以九为法”的目的是解决十进位制与九进位制之间的冲突。三分损益法的核心运算公式3：2是一个无理数。因此，若要以整数律数精确地表达三分损益所求数据，必须以3的相应乘方数为最小起始律数才能满足。也就是说，求五声音阶至少需要以34为起始律数，求七声音阶至少要以36为起始律数，求十二律则需要311为起始律数，以此类推。

例如，目前所见我国最早采用三分损益法求得五声音阶的文献《管子·地员》载：“凡将起五音，必主一而三之，四开以合九九”。意为欲求五声音阶律数，必须先将3连乘4次，求得34，即以81作为起始运算数据，才能实现其后运算过程中连续4次除3所得均为整数。自起始律“宫”开始，4次三分损益除以分母3，依次可得徵、商、羽、角。《管子·地员》采用先益后损，求得的五声律数分别为：宫81、徵108、商72、羽96、角64。如将宫设置为最低音，则需先损后益，先后求得的五声律数分别为：宫81、徵54、商72、羽48、角64。

同理，在西汉时期的《淮南子·天文训》中为了求得十二律的整数律数，以311，即177147为起始律数进行运算。采用先损后益，自黄钟律数177147出发，依次求得林钟118089、太簇157467、南吕104972……仲吕131072，共十二律。由于运用三分损益法产生十二律不再需要使用更大的律数进行生律运算，因此177147这个数字在古籍中又称“黄钟大数”，演化为一种基本数据，为后世求律者沿袭。①从汉《史记·律书》、京房六十律，到南北朝何承天新律、钱乐之三百六十律，五代刘焯律、王朴律，南宋蔡元定十八律一直使用黄钟大数为起始律数，直到明朱载堉“新法密率”才被弃用。

黄钟大数177147虽然解决了整数律数的问题，但律数过大难以应用于音乐实践，更为重要的是无法承担产生度量衡标准器数据的任务。《尚书·虞书·舜典》云：“协时月正日，同律度量衡”。②在我国历史上，黄钟律管数据自先秦时期开始与就与度量衡数据密切相关。最迟至汉代，黄钟律长已经开始对度量衡中的“度”起到決定作用。《淮南子·天文训》载“古之为度量轻重，生于天道。黄钟之律修九寸。”《汉书·律历志》又云：“度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度长短也，本起于黄钟之长。……量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也，本起于黄钟之龠。……权衡者，衡，平也;权，重也，……本起于黄钟之重。”③，“五声之本，生于黄钟之律。九寸为宫，或损或益，以定商、角、徵、羽。”④“三统者，天施，地化，人事之纪也。十一月，乾之初九，阳气伏于地下，始著为一，万物萌动，钟于太阴，故黄钟为天统，律长九寸”⑤汉代典籍中出现的黄钟律长9寸，就实际操作而言是一个较为合理的数据，因此历代律历志均将黄钟律管定为9寸。但是这一来又回到了最初的问题，9仅仅是3的2次方，无法实现黄钟九寸之后，其余十二管皆为整数。从黄钟9寸出发，在十进制下，以“寸、分、厘、毫、丝、忽”为计量单位三分损益计算如下：

1.黄钟律管9寸，三分损一下生林钟，得6寸;

2.三分益一上生太簇，得8寸;

3.三分损一下生南吕，得5寸3分3厘3毫3丝3忽有余;

4.三分益一上生姑冼，得7寸1分1厘1毫1丝1忽有余;

5.三分损一下生应钟，得4寸7分4厘〇毫7丝4忽有余;

6.三分益一上生蕤宾，得6寸3分2厘〇毫9丝8忽有余;

7.三分益一重上生大吕，得8寸4分2厘7毫9丝8忽有余;

8.三分损一下生夷则，得5寸6分1厘8毫6丝5忽有余;

9.三分益一上生夹钟，得7寸4分9厘1毫5丝4忽有余;

10.三分损一下生无射，得4寸9分9厘4毫3丝6忽有余;

11.三分益一上生仲吕，得6寸6分5厘9毫1丝4忽有余。

从第3次运算开始，所有律长都不能除尽。为了解决这一问题，蔡元定在《律吕新书》中提出了“以九为法”的新方案。

下面就其具体算法进行解析。

首先，在《律吕新书·黄钟之实》中，蔡元定尝试将十二律律数与律长运算单位融为一体：

子一 钟之律;

丑三 为丝法;

寅九 为寸数;

卯二十七 为毫法;

辰八十一 为分数;

巳二百四十三 为厘法;

午七百二十九 为厘数;

未二千一百八十七 为分法;

申六千五百六十一 为毫数;

酉一万九千六百八十三 为寸法;

戌五万九千〇四十九 为丝数;

亥一十七万七千一百四十七 黄钟之实。

案，黄钟九寸，以三分为损益故，以三历十二辰得一十七万七十一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戌六阳辰，为黄钟寸、分、厘、毫、丝之数。子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝。 在亥、酉、未、己、卯、丑六阴辰，为黄钟寸、分、厘、毫、丝之法。亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为厘，卯之二十七为毫，丑之三为丝。①

这一方案以3为基数，不断开方，至第11次方时，加上原来的基数，共计十二个数字，即“历十二辰”。十二辰中，又以开方次数为准，奇数为阳，偶数为阴。阳为数，阴为法。具体算法非常巧妙：“九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数，以三约之，为丝者五万九千四十九;以二十七约之，为毫者六千五百六十一;以二百四十三约之，为厘者七百二十九;以二千一百八十七约之，为分者八十一;以一万九千六百八十三约之，为寸者九。由是三分损益以生十一律焉。”②这样一来通过逆向拆解黄钟大数177147，建立了一个以3的平方数为基准的长度计量单位体系。

其次，以黄钟9寸为基准，按照三分损益生律顺序，将十二律律数拆解为寸、分、厘、毫、丝、忽。

子，一分，一为九寸;

丑，三分二，一为三寸;

寅，九分八，一为一寸;

卯，二十七分十六，三为一寸，一为三分;

辰，八十一分六十四，九为一寸，一为一分;

巳，二百四十三分一百二十八，二十七为一寸，三为一分，一为三厘;

午，七百二十九分五百一十二，八十一为一寸，九为一分，一为一厘;

未，二千一百八十七分一千二十四，二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一厘，一为三毫;

申，六千五百六十一分四千九十六，七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一厘，一为一毫;

酉，一万九千六百八十三分八千一百九十二，

二千一百八十七为一寸，二百四十三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝;

戌，五万九千四十九分三万二千七百六十八，

六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝;

亥，十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六，一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽。①

这组数据仍自黄钟9寸出发，但以分数形式正向表述“以九为法”下三分损益相生次序，与上一步骤中的逆向表述形式相呼应。自“卯”之后，所有不尽余数，均用上一步骤中“以九为法”求得的下一级单位表述。一寸为九分，一分为九厘，一厘为九毫，一毫为九丝。算法如下：

1.子，黄钟律长为9寸。

2.丑，三分损一生林钟，律长为黄钟9寸的，得6寸;

3.寅，三分益一生太簇，律长为黄钟9寸的，得8寸;

4.卯，三分损一生南吕，律长为黄钟9寸的。9×=5。即得5寸，余寸。按1寸为9分，寸为3分。合计5寸3分。

5.辰，三分益一生姑冼，律長为黄钟9寸的。9×=7。即得7寸，余寸。按1寸为9分，寸为1分。合计7寸1分。

6.巳，三分损一生应钟，律长为黄钟9寸的。9×=4。即得4寸，余寸。按1寸为9分，寸为6分，余分。按1分为9厘，分为6厘。合计4寸6分6厘。

7.午，三分益一生蕤宾，律长为黄钟9寸的。9×=6。即6寸，余寸。按1寸为9分，寸为2分，余分。按1分为9厘，为8厘。合计6寸2分8厘。

8.未，三分损一生大吕，律长为黄钟律长9寸的。9×=4。按清黄钟为4.5寸，则此处所得为清大吕，已超出一个八度。按蕤宾重上生，应三分益一。三分益一生大吕，律长为黄钟律长9寸的。9×=8。即8寸，余寸。按1寸为9分，寸为3分，余分。按1分为9厘，分为7厘，余厘。按1厘为9毫，厘为6毫。合计8寸3分7厘6毫。

9.申，三分损一生夷则，律长为黄钟律长9寸的。9×=5。即5寸，余寸。按1寸为9分，寸为5分，余分。按1分为9厘，分为5厘，余厘。按1厘为9毫，厘为1毫。合计5寸5分5厘1毫。

10.酉，三分损一生夹钟，律长为黄钟律长9寸的。超出一个八度，同“未”。改作三分益一生夹钟，律长为黄钟律长9寸的。

9×=7。即7寸，余寸。按1寸为9分，寸为4分，余分。按1分为9厘，分为3厘，余厘。按1厘为9毫，厘为7毫，余毫。按1毫为9丝，毫为3丝。合计7寸4分3厘7毫3丝。

11.戌，三分损一生无射，律长为黄钟律长9寸的。9×=4。即4寸，余寸。按1寸为9分，寸为8分，余分。按1分为9厘，分为8厘，余厘。按1厘为9毫，厘为4毫，余毫。按1毫为9丝，毫为8丝。合计4寸8分8厘4毫8丝。

12.亥，三分损一生仲吕，律长为黄钟律长9寸的。为清仲吕，同“未”“酉”。改作三分益一生仲吕，律长为黄钟律长9寸的。

9×=6。即6寸，余寸。按1寸为9分，寸为5分，余分。按1分为9厘，分为8厘，余厘。按1厘为9毫，厘为3毫，余毫。按1毫为9丝，毫为4丝，余丝。按1丝为9忽，丝为6忽。合计6寸5分8厘3毫4丝6忽。

文中未、酉、亥三則算式数据的校改，依据未下文所引《律吕新书》上卷第《黄钟之实第四》。运算过程展示了黄钟律长定为9寸后，如何在“以九为法”的条件下，实现十二律律长皆为整数，解决了十进位制下三分损益求律余数不尽的缺陷。

二、“以九为法”与蔡元定十八律

除运用“以九为法”求十二律律数与整数律长外，《律吕新书》还用其阐释蔡元定十八律中的正律与半律的应用情况。

子，黄钟，十七万七千一百四十七，全九寸，半无;

丑，林钟，十一万八千〇九十八，全六寸，半三寸，不用;

寅，太簇，十五万七千四百六十四，全八寸，半四寸;

卯，南吕，十万四千九百七十六，全五寸三分，半二寸六分不用;

辰，姑洗，十三万九千九百六十八，全七寸一分，半三寸五分;

已，应钟，九万三千三百一十二，全四寸六分六厘，半二寸三分三厘不用;

午，蕤宾，十二万四千四百一十六，全六寸二分八厘，半三寸一分四厘;

未，大吕，十六万五千八百八十八，全八寸三分七厘六毫，半四寸一分八厘三毫;

申，夷则，十一万零五百九十二，全五寸五分五厘一毫，半二寸七分二厘五毫;

酉，夹钟，十四万七千四百五十六，全七寸四分三厘七毫三丝，半三寸六分六厘三毫六丝;

戌，无射，九万八千三百零四，全四寸八分八厘四毫八丝，半二寸四分四厘二毫四丝;

亥，仲吕，十三万一千零七十二，全六寸五分八厘三毫四丝六忽（余二算），半三寸二分八厘六毫二丝三忽。①黄钟律数设为177147，律长九寸。按“以九为法”，连续除以9，可得1寸为19683，1分为2187，1厘为243，1毫为27，1丝为3，1忽为，即。十二律律数约以（即除以）寸法，得其寸数;不尽之数再约以分法，得其分数;仍不尽之数再约以厘法，得其厘数;仍不尽之数约以毫法，得其毫数;不尽之数又约以忽法，得其忽数。

需要特别说明的是原文括号内的“余二算”。至最后一次生律“亥”时，丝数不能尽除，余2。以“忽法”约之，按1忽为，以余数2除之，得6忽。如此，在计算十二正律律长之后，蔡元定还算出各正律之半（即高八度）的律长。下面将上文十二律及其半律律长求法、用法逐一解析：

1.黄钟

黄钟律数设为177147，长9寸。得每寸为19683，每分为2187，每厘为243，每毫为27，每丝为3，每忽为。，十八律中没有黄钟半律，清黄钟应由仲吕三分损益而得，属于变律，因此此处为“半无”，而非“不用”。

2.林钟

三分损一得林钟律数为118098，约以寸法，得6寸。除半，得清林钟律数59049，约以寸法，得3寸，不用。“不用”意为此律可生，但不被十八律实际采用。

3.太簇

三分益一得太簇律数157464，约以寸法，得8寸。除半，得清太簇律数78732，律长4寸。

4.南吕

三分损一得南吕律数104976，约以寸法，得5寸，余6561。余数约以分法，得3分。合计5寸3分。除半，得清南吕律数52488，约以寸法，得2寸，余13122。余数约以分法，得6分。合计2寸6分，不用。

5.姑冼

三分益一得姑冼律数为139968，约以寸法，得7寸，余2187，得一分。合计7寸1分。除半，得清姑冼律数69984，以寸法约之，得3寸，余10953。余数约以分法得5分，合计3寸5分。

6.应钟

三分损一得应钟律数为93312，约以寸法，得4寸，余14580。余数约以分法，得6分，余1458。余数约以厘法，得6厘。合计4寸6分6厘。除半，得清应钟律数46656，约以寸法，得2寸，余7290。余数约以分法，得3分，余729。余数约以厘法，得3厘。合计2寸3分3厘，不用。

7.蕤宾

三分益一得蕤宾律数为124416，约以寸法，得6寸，余6318。余数约以分法，得2分，余1044。余数约以厘法，得8厘。至此，得蕤宾律长为6寸2分8厘。除半，得清蕤宾律数62208，以寸法约之，得3寸，余3159。余数约以分法，得1分，余972。余数约以厘法，得4厘。合计3寸1分4厘。

8.大吕

三分损一得大吕律数165888，约以寸法，得8寸，余8424。余数约以分法，得3分，余1863。余数约以厘法，得7厘，余162。余数约以毫法，得6毫。合计8寸3分7厘6毫。除半，得清大吕律数82944，约以寸法，得4寸，余4212。余数约以分法，得1分，余2025。余数约以厘法，得8厘，余81。余数约以毫法，得3毫。合计4寸1分8厘3毫。

9.夷则

大吕律数三分益一得夷则律数110592，约以寸法，得5寸，余12177。余数约以分法，得五分，余1242。余数再约以厘法，得5厘，余27。约以毫法，得1毫。合计5寸5分5厘1毫。除半，得清夷则律数55296，约以寸法，得2寸，余10930。余数约以分法，得7分，余621。约以厘法，得2厘，余135。约以毫法，得5毫。合计2寸7分2厘5毫。

10.夹钟

三分损一得夹钟律数147456，约以寸法，得7寸，余9675。约以分法，得4分，余927。约以厘法，得3厘，余198。约以毫法，得7毫，余9。约以丝法，得3丝。合计7寸4分3厘7毫3丝。除半，得清夹钟律数73728。约以寸法，得3寸，余14679。约以分法，得6分，余1557。约以厘法，得6厘，余99。约以毫法，得3毫，余18。约以丝法，得6丝。合计3寸6分6厘3毫6丝。

11.无射

三分损一得无射律数98304。约以寸法，得4寸，余19572。约以分法，得8分，余2076。约以厘法，得8厘，余132。约以毫法，得4毫，余24。约以丝法，得8丝。合计4寸8分8厘4毫8丝。除半，得清无射律数49152，约以寸法得2寸，余9786。约以分法，得4分，余1038。约以厘法，得4厘，余66。约以毫法，得2毫，余12。得4絲。合计2寸4分4厘2毫4丝。

12.仲吕

三分益一得仲吕律数131072。约以寸法，得6寸，余12974。约以分法，得5分，余2039。约以厘法，得8厘，余95。约以毫法，得3毫，余14。约以丝法，为4丝，余2。约以忽法，得6忽。合计6寸5分8厘3毫4丝6忽。除半，得清仲吕65536。约以寸法，得3寸，余6487。约以分法，得2分，余2113。约以厘法，得8厘，余169。约以毫法，得6毫，余7。约以丝法，得2丝，余1。约以忽法，得3忽。合计3寸2分8厘6毫2丝3忽。

至此，蔡元定十八律中前十二律的全部律数与律长均按“以九为法”求得整数数值。但是十八律的核心创造是“变律”。上卷《变律第五》中，蔡元定继续使用“以九为法”对六变律的数据进行运算，并对不可整除的余数用“小分”表达。这部分内容在拙文《〈律吕新书〉小分算法解

析》①中已经有较为详细的阐释，在此不做赘述。

三、“以九为法”校勘《史记·律书》

司马迁《史记·律书·律数》载：

黄钟长八寸七分一，宫。大吕长七寸五分三分一。太蔟长七寸七分二，角。夹钟长六寸一分三分一。姑洗长六寸七分四，羽。仲吕长五寸九分三分二，徵。蕤宾长五寸六分三分一。林钟长五寸七分四，角。夷则长五寸四分三分二，商。南吕长四寸七分八，徵。无射长四寸四分三分二。应钟长四寸二分三分二，羽。②

按黄钟律长“黄钟八寸七分一”，即8寸，则三分损一得林钟律长为，即  。与原文“林钟长五寸七分四”不合。更重要的是无法解释《史记》前文反复强调“黄钟九寸”，此处为何出现“黄钟八寸七分一”？

司马贞《史记》索隐：“上文云‘律九八十一以为宫’，故云‘长八寸十分一宫’。而《汉书》云黄钟长九寸者，九分之寸也。刘歆、郑玄等皆以为长九寸即十分之寸，不依此法也。云宫者，黄钟为律之首，宫为五音之长，十一月以黄钟为宫，则声得其正。旧本多作‘七分’，盖误也”。③

所谓“黄钟长九寸者，九分寸也”，即指1寸为9分，则9寸为81分。必须将上文中“八寸七分一”校作“八寸十分一”，才可保证其后数据在三分损益原理下运行正常。对这一原理最早进行系统阐述的是《律吕新书》下卷《律长短围径之数第二》。

按，《律书》此章所记分寸之法与他记不同，以难晓故，多误。

盖取黄钟之律九寸，一寸九分，凡八十一分。而又以十约之为寸，故云八寸十分一。本作“七分一”者，误也。今以相生次序，列而正之。其应钟以下则有小分，小分以三为法，如历家太少余分强弱耳。其法未密也。今以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分一，一千四百五十八为三分二，余分之多者为强，少者为弱，列于诸律之下。其误字悉正之。①

在勘正《律数》的基础上，蔡元定还使用小分算法进一步精确了上述数据。虽然勘误方法最早由司马贞提出，但具体运算原理阐释，以及全部数据校勘，则是蔡元定完成的。

四、“以九为法”的学术价值

《律吕新书》中“以九为法”的应用非常广泛。上卷《律吕本原》中，《黄钟之实第二》《黄钟生十一律第三》《十二律之实第四》《变律第五》均采用此法阐述十八律理论。下卷《律吕证辨》中，《律长短围径之数第二》《黄钟之实第三》《三分损益上下相生第四》均采用此法辨析《史记·律书》中《律数》《生钟分》相关数据的校勘问题。可见，朱载堉认为“以九为法”是《律吕新书》“最紧要者”并不过分。下面结合上文解析，对其学术价值进行总结。

首先，对于理解十八律的具体应用方式具有极为重要的意义。“以九为法”的运用既清晰地表达了三分损益法的缺陷，又巧妙地利用了三分损益法的特点求出十二律律长的精确数据。虽然三分损益法在以黄钟大数为起始律数的前提下，能够实现十二律律数均为整数，但却无法同样应用于黄钟9寸的律长数据，而律长数据正是蔡元定十八律最为重要的数据。十八律的目的正是保存三分损益的前提下进入应用层面，只有在律长的语境下，十八律中的“半无”“不用”才有其存在价值。

其次，“以九为法”与“小分算法”代表着保留三分损益法的前提下古代律学运算的最高水平之一。在精密度上，蔡元定运用上述两种算法求得完全整除的律数、律长，胜过京房、钱乐之。而何承天、王朴、朱载堉则已经突破了三分损益，与蔡元定不在同一条跑道。实际上，蔡元定十八律之后，恪守三分损益法的一派律学家已经没有能力在此基础上进一步前进了。从这个角度上看，蔡元定运用“以九为法”与“小分算法”，在“旧法”前提下求得的十八律，与朱载堉以“新法”表达的“密率”有着同样的价值。即便在《乐律全书》刊行后，研究十八律的清代律学家远远多于研究新法密率者，说明至少在复古派眼中，蔡元定不比朱载堉差。

第三，“以九为法”所凝视的律长运算，体现出蔡元定对于律学理论实用价值的追求。律数为虚，律长为实。所谓“协时月正日，同律度量衡”②，黄钟律长对于度量衡标准的意义，客观上要求其计算必须符合实践需要。蔡元定使用“以九为法”表达其十八律理论，是对古代律学“经世致用”传统的致敬。“以九为法”的运用，使得蔡元定一举解决前代乐律学文献中的多个难题。

因此，朱载堉在《律吕精义》中给出这样的评价“朱熹、蔡元定始能表章九分为寸之法，有功律学亦多”③。

本篇责任编辑 何莲子

收稿日期：2021-11-29

基金项目：2020年度教育部人文社会科学研究规划基金项目“南宋蔡元定音乐著述整理与研究”（20YJA760054）阶段性研究成果。

作者简介：吕畅（1981— ），男，博士，硕士生导师，四川音乐学院音乐学系副教授（四川成都 610021）。