水下湍流中温度、盐度对光学系统成像质量影响分析

孙枢为，王昊，汪伟，李鹏，康福增，谢小平

（1 中国科学院西安光学精密机械研究所 光子网络技术研究室，西安 710119）

（2 中国科学院西安光学精密机械研究所 瞬态光学与光子技术国家重点实验室，西安 710119）

（3 中国科学院大学，北京 100049）

0 引言

地球表面的70%以上被海水覆盖，海洋的利用与开发对国家发展具有极为重要的意义，各国竞相加大对海洋的研究与探索。水下成像技术是探索海洋资源的一种关键手段，而湍流是影响水下成像质量的重要因素。湍流是由于介质各部分流速不同，在交界面产生小型涡旋的现象，这一现象会直接导致介质折射率分布发生变化，从而对光束的波前结构发生变化，最终造成成像质量下降。湍流现象在海洋中普遍存在，因此研究湍流对水下成像质量的影响对于水下信息获取与空间光通信［1］具有重要意义。1966 年，FRIED D L［2］提出了MTF 理论和基于Kolmogorov 功率谱的大气湍流中长、短曝光成像的光学分辨率模型，发现了短曝光分辨率明显优于长曝光分辨率。2009 年，HOU W L［3-5］提出了一种基于Kolmogorov 型折射率谱的简单水下成像模型，初步研究了散射效应和湍流对光学传递函数（Optical Transfer Function，OTF）的影响。2011 年CHEN Y Z 等［6］基于HOU W L 提出的OTF 模型，加入衍射对水下成像的影响。2016 年，PU H 等［7］在Nikishov 功率谱基础上研究了不同曝光条件下的调制传递函数。在此期间，大部分对水下湍流的研究基本以Nikishov 功率谱［8］为基础，但此功率谱中并未考虑到水体平均温度与平均盐度的影响，折射率起伏模型还需要进一步完善。2019 年，YAO J R 改进了折射率起伏功率谱［9-10］，以平均温度、平均盐度表征涡旋扩散率，建立了温度和盐度为主导的功率谱模型。该功率谱相较于Nikishov 功率谱更加完善，但该模型缺乏实验论证。

本文基于Yao 折射率起伏功率谱，推导了平面波波结构函数的解析表达式，完善了水下光学成像模型。相较于已有的水下光学成像模型，该模型将传统模型中难以测量的微观参量如动能耗散率和温度耗散率，用平均温度和平均盐度等宏观参量代替，更贴合实际应用。依据水下光学成像模型，研究了平均温度和平均盐度对MTF 的影响。设计搭建了一套长度为3 m 的水下成像实验平台，得到了在不同温度和盐度的湍流条件下MTF 的变化情况，对仿真模型进行了验证。利用温度、盐度以及流速等容易测量的物理量，通过模型可以对不同海洋湍流条件下成像质量的退化情况进行评估，为水下图像复原与矫正提供了一种物理参考模型。

1 理论模型

1.1 折射率起伏功率谱

湍流现象会使介质折射率不均匀，从而造成成像质量下降，因此研究湍流造成的成像质量变化本质上是研究折射率起伏情况。QUAN Y H 和FRY E 于1995 年提出了用于描述平均温度和平均盐度变化对功率谱线性系数贡献的水折射率多项式［11］。在平均温度处于［0 ℃，30 ℃］范围，平均盐度处于［0 ppt，40 ppt］（1 ppt=0.001）范围，波长处于［400 nm，900 nm］的条件下，折射率可表示为（文中温度T与盐度S均代表平均温度与平均盐度）

介质的折射率n为平均折射率n0与折射率的起伏量n'之和，可表示为

式中，T'和S'分别为温度和盐度的起伏量，对式（1）求导，假设dλ=0 即不存在非线性效应，可得线性系数A、B的表达式分别为

图1 为线性系数A和B随平均温度和平均盐度变化情况。可以看出A受平均温度变化的影响更为显著，系数B基本只与平均温度呈负相关，且变化范围较小。空间折射率起伏功率谱可表示为［9］

图1 线性系数随温度与盐度变化情况Fig.1 Linear coefficients varying with T and S

式中，ΦT(κ)、ΦS(κ)和ΦTS(κ)分别代表温度功率谱、盐度功率谱和温度-盐度耦合功率谱。三种功率谱可以解析拟合为［10］

式中，β0=0.72，ε为动能耗散率，η为Kolmogorov 微观尺寸，ci为常数，η、ci以及χi均与平均温度与平均盐度相关，其具体计算过程见附录。

1.2 波结构函数与水下成像模型

湍流现象会影响光束波前，从而改变系统成像质量，通过1.1 节中湍流折射率起伏功率谱可以求解波结构函数。平面波在各向同性的均匀海水湍流中传输，其波结构函数为［12］

式中，J0为零阶贝塞尔函数，贝塞尔函数写作泰勒展开的形式为

式中，Γ 为Gamma 函数，零阶贝塞尔函数在零点处的值为1，即J0(0)=1，将式（10）带入式（9）得

式中对于幂函数以及e 指数函数相乘的积分部分可以转化为Gamma 函数的形式，表达式为

利用式（12）可将式（11）中较为复杂的积分形式化简为Gamma 函数的和的形式，即

对式（13）含有ΔCi的各项分子分母均乘常数使其大小不变，转化为Γ(a+n)/Γ(a)，n=1，2，3，...（其中a为常数）的形式，即

引入Pochhammer 符号，该符号的定义为(a)n=Γ(a+n)/Γ(a)，n=1，2，3，...，其中Γ(1)=1，式（14）化简为Pochhammer 符号形式为

为进一步简化式（15）中的求和项，引入合流超几何函数

对于合流超几何函数1F1(α；β；-γ)在γ≫1 时，合流超几何函数可近似为指数函数，表示为

利用式（19）将合流超几何函数化简为系数为gamma 函数的幂函数形式，则式（18）可化简为

式（19）为平面波的波结构函数的解析表达式。根据波结构函数可以求解MTFtur，湍流环境下长曝光成像的MTF 表达式为［2］

式中，Dpl(ρ，L)=A2·Dpl，T(ρ，L)+2AB·Dpl，TS(ρ，L)+B2·Dpl，S(ρ，L)，在成像问题中ρ=λΩ，Ω为空间频率。水下成像必须依托于成像系统，因此需要考虑镜头调制传递函数的影响，对于衍射极限成像系统其调制传递函数MTF0可表示为［7］

式中，Ω0=D/λ为空间截止频率，D为镜头的入瞳直径。接收端的调制传递函数是光学镜头调制传递函数MTF0与海水湍流引起的调制传递函数MTFtur两者的乘积［7］，即

式（22）为在湍流与光学镜头共同作用下的调制传递函数。

2 仿真结果分析

基于水下光学成像模型对调制传递函数进行仿真，仿真条件如表1。图2 为S=1 ppt 时，不同温度下的结果。图2（a）为MTF 曲线随温度变化情况。水体温度由0 ℃上升至30 ℃，截止频率由0.95 下降至0.5，MTF 曲线降低，成像质量劣化，结果表明温度升高，湍流抑制了高空间频率成分，即图像将失去部分细节信息。图2（b）为不同空间频率成分的MTF 受温度影响情况。随着温度由0 ℃升高至30 ℃，归一化空间频率Ω/Ω0=0.10，0.15，0.20，0.25 的MTF 值分别降低0.316、0.400、0.458、0.474；不同空间频率MTF 受温度变化的影响不同，空间频率越高，MTF 值下降越快，这表明高频成分的MTF 值相较于低频成分更敏感。

表1 仿真条件Table 1 The simulation conditions

图2 S=1 ppt 时，调制传递函数随温度变化情况仿真结果Fig.2 MTF varying with temperature in simulation at S=1 ppt

图3 为T=20 °C 时成像质量受平均盐度影响的仿真结果。由图3（a）可以看出盐度由0 上升至40 ppt，MTF 曲线略有下降，截止频率基本不变，平均盐度的升高对MTF 曲线的影响有限。图4（b）为不同空间频率成分受盐度的影响情况，Ω/Ω0=0.10，0.15，0.20，0.25 的MTF 值分别下降0.077、0.081、0.089、0.092，相差并不明显。结果表明：不同空间频率的MTF 值随盐度升高线性下降，并且盐度对不同频率的MTF 值影响基本相同。对比图2（a）与图3（a）可以看出，温度变化对MTF 的影响更为剧烈。结合图1，湍流对于成像质量的影响主要源于其造成了折射率分布的起伏，此过程中平均温度变化引起的折射率分布起伏相较于平均盐度来说更为严重，故而平均温度变化对于成像质量的影响更明显。

图3 T=20 ℃时，调制传递函数随盐度变化情况仿真结果Fig.3 MTF varying with salinity in simulation at T=20 ℃

3 实验平台及结果分析

3.1 实验平台

为对水下光学成像模型进行验证，搭建了长度为3 m 的实验平台，如图4。装置主要由水箱（3 m×0.3 m×0.5 m），水泵（流速可达到2 m/s），流速计（量程0～ 5 m/s，测量精度0.001 m/s），调频器（控制水泵流速）和温控系统（测量范围：10℃～ 40 ℃，测量精度：0.1 ℃）组成。水泵用于改变水体的流速从而控制湍流强度，温控系统兼具加热升温和温度实时测量的功能，水箱两侧分别为探测目标和CCD 相机。实验可以根据雷诺数来判断是否产生湍流，雷诺数Re的表达式为

图4 水下湍流实验装置Fig.4 Underwater turbulence experiment device

式中，ρ为介质密度，μ为动力粘滞度，Ltur为水力直径，实验装置中Ltur=0.1 m，uavg为水箱中水体的平均流速。该实验条件下，当水体流速大于0.04 m/s，雷诺数Re＞4 000，即可产生湍流。

实验选择分辨率板（usaf1951）作为探测目标，光在湍流中传输距离为3 m，在固定流速下对温度范围在［10 ℃，30 ℃］、盐度范围为［1 ppt，30 ppt］条件下，成像质量的变化情况进行实验。仿真参数温度方差耗散率χT与动能耗散率ε在可根据实验参数进行估算，χT由温度梯度和热扩散系数κT决定，热扩散系数取常数κT=1.4×10-7m2/s，其表达式为

实验中温度在x，y方向基本一致，因此∂T/∂x=∂T/∂y=0。ε取决于运动粘度γ与速度梯度，其表达式为

式中，运动粘度取常数γ=1.01×10-6m2/s。因此只需测量温度梯度与速度梯度即可推算出χT与ε。

3.2 实验结果分析

利用实验平台对仿真模型进行验证。实验过程中，调整水泵功率使流速满足湍流条件，待流速平稳后测量水箱内水体温度与流速分布情况，测量5 次结果取其平均值。将相机设定为长曝光模式（曝光时间为0.2 s，即相机每0.2 s 记录一次）调焦后使CCD 相机成像界面清晰，在不同的温度、盐度条件下对于分辨率板的成像情况记录100 张图片（即记录20 s 内图像变化情况）。平均流速为uavg=0.1 m/s，温盐梯度比的表达式为H=（dT/dz）/（dS/dz），即竖直方向上的温度梯度与盐度梯度之比，因竖直方向水的温度分布与盐度分布，正好相反，故此值为负数。实验在水的表面与底部的不同位置分别测量5 次温度值与盐度值取其平均值，可求得温度盐度梯度比值H=-2 ℃/ppt，温度梯度的平方和为（dT/dx）2+（dT/dy）2+（dT/dz）2=1 ℃2/m2，流速梯度的平方和为（du/dx）2+（du/dy）2+（du/dz）2=0.24/s2，带入式（24）与（25）可求得χT=2.8×10-7K2/s，ε=6×10-7m2/s3，此时实验条件与表1 仿真条件相同。图5 为不同温度和盐度条件下成像结果。

图5 不同温度与盐度条件下实验结果Fig.5 Experimental results under different temperature and salinity conditions

基于图5 可以计算特定空间频率的MTF 值，分辨率板条纹的灰度分布如图6。在计算MTF 值时，将三个灰度极大值的平均值作为灰度最大值Imax，将两个灰度极小值的平均值作为最小值Imin，对于特定空间频率的MTF 值等于对应条纹灰度最大值和最小值的差值与最大值和最小值的和值之比，即［13］

图6 分辨率板灰度分布Fig.6 The gray level distribution of resolution board

图7（a）为S=10 ppt 时，空间频率为17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm 的MTF 值随平均温度变化情况，图中实线为仿真结果，散点为实验结果。实验测量了17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm三个空间频率MTF 值的变化情况。平均温度由10 ℃上升至30 ℃，上述空间频率对应的MTF 值分别下降0.196，0.219，0.231，MTF 值与水体温度呈现线性负相关，并且平均温度升高，高频成分相较于低频成分其MTF 值下降更快。图7（b）为T=20 ℃时，MTF 随盐度变化情况。平均盐度由1 ppt 升至30 ppt，空间频率为17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm 的MTF 值分别下降0.117，0.113 和0.108。对比图7（a）与7（b）三个空间频率MTF 值的下降幅度可以得出结论：温度变化相较于盐度变化对成像质量的影响更为严重，验证了仿真结果。在盐度较高时，实验结果相较于理论曲线整体偏下，其主要原因为：盐度增加，散射对于成像质量也会产生一定的影响。

图7 实验中MTF 随温度和盐度变化情况Fig.7 MTF varying with temperature and salinity in experiment

图8（a）为S=10 ppt，不同温度条件下MTF 的变化情况。图8（b）为T=20 ℃时，不同盐度条件下MTF 曲线的变化情况。随着平均温度与平均盐度的升高，水体的折射率起伏加剧，水体折射率空间分布不均匀，光束的波前结构产生变化，成像质量降低。在温度较高时，实验得到的MTF 曲线与仿真结果存在一定差异。实验过程中湍流是利用水泵带动水循环产生的，水泵工作的同时也会伴随部分气泡的产生，气泡会使光束产生偏折，导致实验结果与仿真曲线之间存在差异。

图8 实验中MTF 随温度和盐度变化情况Fig.8 MTF varying with temperature and salinity in experiment

4 结论

本文推导了平面波波结构函数，完善了水下光学成像模型。基于该模型数值仿真了平均温度和平均盐度对于光学系统MTF 的影响。搭建了水下湍流成像实验平台，通过实验得到了不同平均温度与平均盐度条件下的成像结果，并对比了仿真结果与实验结果。仿真与实验结果均表明，平均温度和平均盐度增加都会造成成像质量的下降，且平均温度改变相较于平均盐度改变对于MTF 的影响更为严重。进一步研究发现，随着温度与盐度的升高不同空间频率的MTF 值近似于线性下降，并且盐度升高对各空间频率MTF 的影响基本一致，温度升高对于高频成分MTF 影响更为显著。

附录

式（7）中湍流的内尺寸与流体密度ρ、粘滞系数μ以及动能耗散率ε有关［9］，即

动力粘滞度μ的计算公式为［14］

式（26）中，a21、a22及μ0表达式为

水的密度ρ可以分解为盐度项与温度项［14-15，21］，其表达式为

式（7）中，χS与χTS可以通过涡旋扩散系数dr与χT求得［10］

涡旋扩散率dr与温度和盐度相关，其定义为［8］

式中，KS和KT分别为盐度涡旋扩散系数和温度涡旋扩散系数，两者的比值即为涡旋扩散率dr。Rρ定义为温盐诱致比，是一个无量纲量，其表达式为［9，16］

式中，H为温度梯度与盐度梯度之比，即(∂T/∂z)/(∂S/∂z)，α和β分别代表温度扩散系数和盐度收缩系数，其表达式为

利用TEOS-10 toolbox［17-18］可以得出对应温度、盐度、压强条件下的α，β值。式（7）中，无量纲参数ci的值与普朗特数Pr 和施密特数Sc 相关，具体关系表示为［9］

普朗特数Pr 与施密特数Sc 的表达式为

式（A13）中，cp水的比热容（单位：J/(kg·K)），σT为热导率（单位：W/(m·K)）。比热容cp的表达式为［19-20］

热导率σT的计算式为［21］