基于数学思维能力培养的高中数学教学做合一课堂研究

高 尹

一、 引言

数学成绩是获得高考好成绩的关键，高中生都将高考复习的重心放在数学上，然而很多学生数学成绩并不理想。为了弄清原因，笔者在高中开展了学生数学学习情况问卷调查，统计数据，分析学情，把握新高考改革方向，提出了以全方位数学思维能力培养为核心的教学做合一教学策略。

二、 高中学生数学学习情况调查分析

笔者于高三上学期在即将参加新高考的高三年级学生中随机发放了150份调查表，收到有效的调查问卷133份。调查情况如下：①70%以上的学生认为数学最重要，15%的学生认为数学较重要，表明到了高三大部分学生已经意识到数学在高考中的重要性。②高三年级学生谈到将来的高考志愿时选择理工类、经济类专业的占比近80%，而数学是学习这些专业的基础，如果数学基础薄弱，进入大学学习专业知识将困难重重，故在高中阶段打下良好的数学基础显得尤为重要。③调查显示71%的教师课堂采用讲授为主的教学方式，26%的教师采用边讲授边做题练习的教学方式，说明虽然数学进入高考一轮复习，学习内容的难度明显提升，但教师仍然采用老师主讲学生被动接受的传统教学方式。④通过对高中学生数学学习适应情况的调查，有超过70%的学生认为高中数学较难学，主要是高中数学比较抽象，特别是高三数学是对高中所学内容的总复习，考查对知识综合运用的能力，大部分学生还没有适应高三数学的学习节奏。⑤调查发现高三数学学习成绩较好的学生仅剩14%左右，主要是因为高三是高中的最后一年，为了冲刺迎接高考，课堂、课后作业以及考试中涉及的综合性题目增多，部分学生的数学成绩下降幅度较大。⑥调查了解高中学生认真学习数学的原因，有近80%的学生选择“因升学需要”、仅有不到10%的学生选择“重要且有用、有趣”，说明面临高考，大部分高中学生将升学当成了学习数学的唯一目的，完全忽略了高中数学学习对今后大学阶段专业学习的影响。⑦了解高中学生在数学课堂上的专注度，数据显示上课注意力不集中的学生超过80%，这是因为高三数学有较大难度，在传统授课模式下学生被动学习，上课听不懂的学生人数显著上升，很多学生不能深入课堂上教师讲授的内容，会逐渐失去学习数学的兴趣。⑧了解高中学生是否积极参与数学课堂教学，课堂上能够发挥主观能动性积极思考的学生数只占35%，总体还是偏少，主要是一直以来采用灌输式教学导致大部分学生形成了被动的学习习惯。⑨调查高中学生喜欢的教学方式，大部分学生喜欢数学课堂“老师引导，学生动手实践，主动参与探究”的教学做合一方式。了解高中学生学习数学时独立解决问题的能力和处理问题的方式。调查表明大部分高三学生经常与其他同学共同探讨完成作业，独立解决问题的能力较弱。了解高中学生灵活运用所学知识解决实际应用问题的能力，大部分学生认为应用题的难度较大，说明经过高中两年的数学学习，高三学生解决实际问题的能力仍然不强。了解高中数学课堂教学的效果，近90%的高三学生有过上课听得懂但课后作业不会做的经历，数据显示大部分学生还是只会照葫芦画瓢，套公式或模板做题，不能触类旁通地解决同类问题。

由以上调查结果可知，大部分高中学生学习数学的积极性较高，他们想学好数学，他们想考与数学基础关系密切的理工类、经济类大学，但是他们并不懂数学与大学专业学习的关系，没有弄清学习数学的目的，没有掌握良好的学习数学的方法，被动学习，没有主动参与课堂教学，没有真正对数学产生兴趣，故而数学成绩很难大幅度提高。大部分数学教师在高考成绩考核的压力下，仍然采用喂养式教学，以期达到良好的教学效果，但收效甚微，高中学生凭借自身思维能力独立解决数学问题的能力不强，特别是在综合性的应用题和变化的题型面前往往显得束手无策，归根结底就是单一的教学手段没有真正提高学生的各项数学能力，这样很难大幅度提高高考成绩。

三、 新高考改革要求及数学教学策略

(一)新高考改革对数学教学的要求与高中生数学学习现状对比

2014年9月，国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，正式启动新高考改革，2020年开始部分省份正式实施新高考，至今年江苏省新高考改革已实施两年，考查方向已确定，但由问卷调查可知目前高中生的学习状态仍没有改变，这与新高考的要求差距很大。新高考数学科目有以下特点：

(1)新高考数学着重考查学生的六大核心素养，即数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模、数据分析和数学抽象。核心素养是抽象的，无法看到和摸到它，但同时核心素养也是具体的，体现的是学生多方面的数学思维能力，通过试卷上的一道道题目就能考查出来。由于高中数学核心素养的本质是运用数学知识解决实际应用问题的能力，故解决实际问题成为高考数学考试的热点。比如，利用函数、三角函数、解三角形、数列、平面解析几何等内容建模解决实际问题。新高考改革的重要方向就是要让学生能够运用数学知识和能力处理实际问题。而前面问卷调查的结果说明目前高中生灵活运用知识解决实际问题的能力不强。

(2)试题创新成为高考的趋势。正式实施改革前的高考试题大部分都有明显的解题套路，只要多刷题便有较好的效果，然而从近两年率先实施改革省份的高考数学试卷来看，考题普遍有新意，更加注重考核考生现场的临场应变能力和解决问题的能力。而高中生仍习惯采用题海战术，没有摸清高考的新要求。

(3)新高考的数学考试不分文理，题型也有了变化，增加了多项选择题，且多项选择题的难度较大，考查学科思想和学科核心素养，相当于增强了考查知识的全面性，拿满分较难。

(4)新高考志愿填报采用以专业为单位的模式，有利于高中生对大学专业兴趣的形成。而前面的问卷调查结果显示目前的高中生并不懂数学与大学专业学习的关系，完全忽略了高中数学对今后大学阶段专业学习的重要性，这与新高考改革的方向是相悖的。

(二)数学教学策略

根据前面针对高中生数学学习状况的调查以及新高考的要求，传统的高中数学教学模式需要彻底改变，课堂上必须改变教师的“教”和学生的“学”的方式，才能契合新高考改革。依据调查结果分析，造成这种不利局面的主要原因是数学教师采用的教学方法不恰当，他们大多采用满堂灌的教学方法，该方法有以下缺陷：①该方法不能正确引导学生积极思考、自我归纳总结、举一反三，学生并没有掌握正确的解题方法，只能就题论题，遇到有些变化的题型就束手无策。②该方法消磨了学生参与数学课堂学习的积极性，他们觉得高中数学枯燥乏味，他们往往看到数学就怕，长此以往容易形成被动学习数学、畏惧学习数学的不良习惯。此外，从调查结果可看出，大部分学生喜欢老师引导、学生积极讨论的教学方式，他们课后也喜好通过探讨解决问题的数学学习方式。

因此，高中数学教师需要杜绝满堂灌的传统教学模式，把握新高考的方向，重视核心素养的培养，要在课堂教学设计中充分考虑，采用教学做合一的课堂模式，组织丰富的课堂活动，让学生动手实践、主动参与活动、积极思考，大幅度调动学生学习数学的积极性，教师授之以渔，指导学生真正掌握高中数学的学习方法，在课堂上润物细无声地向学生渗透核心素养，提高学生独立解决问题的能力，为后续的大学专业学习打下良好的数学基础。为了贯彻新高考要求，笔者提出基于数学思维能力全方位培养的高中数学教学做合一课堂模式，即：课堂上老师抛出实际问题，学生体会问题情境，思考解决问题的关键要素和途径，然后动手实践得出实验结果，并细致分析实验结果得出初步结论，老师点评研究方法得出定理，指导学生亲身体验定理的证明过程和应用过程，并在学生应用知识解决实际问题的过程中告知学生该部分内容与大学专业的关联，帮助学生确立目标，明确未来的发展方向。该教学策略摒弃枯燥的喂养式教学，提出以创新能力、实践应用能力等全方位数学思维能力培养为核心，突出学生主体，帮助学生在思考问题和解决问题的过程中不断建立数学思维能力，同时在这个过程当中学生的数学知识也不断地得到巩固和扩展。在课堂上潜移默化地将教、学、做融为一体，彻底激发出学生学习数学的潜能。

四、 高中数学教学做合一课堂教学方案——以“正弦定理”的教学为例

(一)教学内容分析

1. 教材分析

本节课是苏教版新教材必修二《解三角形》中的“正弦定理”，是在学习完三角函数的基础上对初中阶段解三角形方法的延续，其与日常生活和工业生产结合紧密，近两年的新高考试卷均有一道解三角形的解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。

2. 学情分析

通过初中和高中阶段前置内容的学习，学生已掌握了三角形边、角的基本关系及判定三角形全等、相似的方法，学会了同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换等三角函数知识。根据前面的问卷调查结果，学生对已有知识的掌握并不理想。

3. 教学目标

掌握正弦定理公式、正弦定理的证明及基本应用，培养学生的创新能力、实践应用能力等全方位数学思维能力。

(二)教学过程分析

1. 设置情境，导入本节主题

问题1 一个三角形工业模型缺了一角，只剩下两个角分别为35°和65°，剩下完整一边的长度为0.8m，李师傅想修好这个零件，但他不知道修复残缺两边的截料长度，你能帮李师傅这个忙吗？

设计意图：通过一个实际生活中的问题创设学习情境，拿出残缺的三角形模型，引入本节课的教学，激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生的学习兴趣。建构利用所学数学知识帮助别人的意识和数学学习的获得感，体现教师“做中教”，学生“做中学”。

问题2 三角形中各边角之间存在何种数量关系？

设计意图：由实际问题抛出本节课学习主题，教师启发、引导、对比分析得出新知识。

2. 动手实践，提出猜想

问题3 在直角三角形中各边角之间存在何种数量关系？

设计意图：传授学生一种迂回的数学思维方法，即遇到复杂问题无法处理时可先简化处理特殊情况再回头解决原来的一般性问题。让学生分小组交流、讨论各自的想法，各小组选派代表在全班交流。帮助学生建构将复杂问题简化为特例问题的能力。

问题4 用刻度尺、量角器、计算器等工具验证以上直角三角形结论对任意三角形都适用吗？

设计意图：鼓励学生动手实践，在分组实验中合作探究，猜想出结论，发挥学生的主观能动性，促使学生互相学习，让学生体验科学探索的过程，培养团队协作的良好习惯，体现“做中学”，帮助学生建构数学实践能力和由特殊性问题结论向一般问题知识转移的能力。

3. 证明猜想

问题5 以上得到的正弦定理怎么证明？

设计意图：告知学生严谨的理论证明是猜想变成定理的唯一途径，强调高中数学证明的重要性，引导学生采用作高法将一般三角形转化为熟悉的直角三角形进行证明，教师主导，学生主体，帮助学生建构逻辑推理能力。

问题6 是否还有其他方法来证明正弦定理？

设计意图：鼓励学生拓展思路、一题多解，引导学生用三角形的外接圆、三角形面积法、向量的数量积、坐标法等其他方法证明正弦定理，帮助学生建构分类讨论、数形结合的数学思想和创新精神。

4. 简单应用

问题7 如何运用正弦定理解决本节课引入的问题1？

设计意图：呼应本节课开头抛出的问题1，让学生体验运用数学知识轻松解决实际应用问题的过程，体现“做中学”，帮助学生建构实践应用能力。

5. 例题讲解，巩固练习

问题8 正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题？

设计意图：在前面7大问题已经习得正弦定理公式的基础上分组讨论归纳总结出其适用范围，帮助学生建构团队合作的意识。

问题9 求解一组典型的正弦定理题目。

【例1】已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a，b和B。

【例3】若acosB=bcosA，试判断△ABC的形状。

解析：本题考查转化思想，由正弦定理将已知的边角混合等式acosB=bcosA统一转化为角的等式sinAcosB=sinBcosA，利用两角差的正弦函数公式变形为sin(A-B)=0，从而得到A=B，故△ABC为等腰三角形。

设计意图：问题9的三道题目引导学生总结归纳常见正弦定理题型的解题方法，帮助学生建构归纳总结的能力。解决本问题采取的手段是教师的“教”和学生的“学”。

问题10 求解一组变化的正弦定理题目。

【训练1】在△ABC中，已知B=45°，C=60°，c=1，求最短边的边长。

解析：本题可先由B=45°，C=60°得到A=75°，根据三角形中大角对大边、小角对小边原理可知b为最短边，下面同例1直接由正弦定理即可求得最短边b的边长。

解析：本题同例2，有两解，分两种情况讨论求解B、C、b。

【训练3】在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。

解析：本题与例3均属于利用正弦定理判断三角形形状的题型，是一道综合题，涉及正弦定理、两角和差的正弦公式、勾股定理等众多知识点。本题有两个等式，等式sinA=2sinBcosC可先变形为sin(B+C)=2sinBcosC，再利用两角和差的正弦公式化简为sin(B-C)=0，即可得B=C；等式sin2A=sin2B+sin2C可利用正弦定理转化为a2=b2+c2，再利用勾股定理的逆定理得到A=90°，故△ABC为等腰直角三角形。

设计意图：让学生灵活运用在问题9中习得的方法解决问题10的三道题目，本系列问题突出学生的“做”与“学”，以学生的“做”测试学生的“学”。学生独立思考板书练习，教师巡视并针对学生反馈的不足进行指导，使学生掌握不同类型问题的解决方法，帮助学生建构利用已有知识和技能独立解决正弦定理综合问题的能力。

6.大学专业学习对接

问题11 两个工程测量人员在河南岸边的A点，河的北岸有1座铁塔，现要用测角仪和卷尺测量A点到河北岸铁塔的水平距离。

设计意图：这是一个大学理工科专业测量学的平面测量问题，没有具体的已知条件，需要学生思考如何创造条件，利用高中数学知识解决问题，相当于一个开放性问题。通过本问题告知学生本部分内容与大学专业的关联以及知识创新的重要性。提出大学专业学习中涉及本节课内容的应用问题，让学生体会高中数学学习的重要性；建构创新能力和学以致用的意识。

7.总结拓展

问题12 本节课同学们主要学到了哪些知识和方法？本节课所学知识还可以应用在生活中的哪些方面？

设计意图：借助该问题总结本节课的学习要点，学生归纳，教师总结，帮助学生总结归纳形成本节内容的完整知识体系，建构总结归纳的能力。在总结基础上适当拓展应用领域，鼓励学生创新，激活思维，帮助学生根据应用方向重构、内化所学知识，扩展能力。

问题1至问题12是从实际问题出发，循序渐进，始终贯穿教学做合一思想，让学生变成课堂的主体，通过猜想、动手实验、逻辑推理、归纳等方法，推导出正弦定理并得出一般解题思路，在整个探究过程中学生掌握从特殊到一般的研究问题方法，建构形成独立思考、独立分析问题、解决问题的能力和创新能力，使数学课堂变成了师生之间的交流合作，改变了课堂上教师“教”和学生“学”的方式，促进了教学相长，成为一场聚焦核心素养、培养数学思维能力的活动课。

五、 结语

基于数学思维能力培养的高中数学教学做合一教学模式是教师通过层层递进的系列问题将教学目标问题化，引导学生积极思考，指导学生动手实验，将思维能力、创新能力、实践应用能力等全方位数学思维能力的培养贯穿始终，打破传统数学课堂的安静和枯燥，突出“做”在课堂上的中心地位，让长期割裂的“教”与“学”和谐相融，实现教学做一体化，让数学课堂变得动起来、变得有趣起来，最终实现与新高考的无缝对接。