数的两种定义

我们知道，时间是无始无终无限长的，直线是无限长，宇宙的体积是无限大，数学中用符号∞表示无限大数。无穷大的数还有其他表现形式，例如：K*∞+G（k≠0，K、G为任意有限数）、2^∞、a^∞（a>1）、a^K*∞+G（a>1，k≠0）、A*∞^2+B（A≠0，A、B为任意有限数）等。仅就K*∞+G而言，随着K、G取值不同，就有无限多个无穷数，观想a^K*∞+G，且不论K、G的变化，a的取值个数都是无限多的。故无限数是无限多的。

那么无限数和有限数是什么关系呢？既然说无限数是无限的，那么它就不是有限数，所以无限数是独立于有限数之外的数。既然有限数是有限的，当然它就不是无限大的，有限数是独立于无限数之外的数。有限数和无限数是两类各自独立的数，两者互不包含，两者独立存在，这就是有限数和无限数的独立性原理。

数的定义是整个数学的理论基石。传统数学中数与数之间存在明确的逻辑联系，一切数相较“1”而确定，一个数是“1”的多少倍，这个数就是多大。例如有限数x，它就是“1”的x倍，所以这个数就是x。

道教经典《道德经》里有一句话：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这应该是有文字记载的人类对数最早的认识和定义，并且发明了世界较早的数字。这是传统数学最古老的起源，中国古代文化推动了人类数学的产生和发展。

数是相比较而存在的，前面选择了“1”为比较数定义了数。如果选取任意非零有限数c，以此数为比较数定义一切有限数，那么对于任意数n，n此定义下的大小为m，则m=n/c，当n1=-c时，m1=-1;当n=-2c时，m=-2;n3=-2.5c时，m3=-2.5，n=-yc时，m=-y当n=0时，m=0;当n=c，m=1;当n=3.3c时，m=3.3……当n=x*c时，m=x……选取任意有限数作为比较数，所定义的数总是一样的，数不因c的不同而有异;同时说明，数学上定义的阿拉伯数或其他计数制是普遍适用于关于有限数定义的一切情形的。

既然选取任意有限数为比较数形成了传统的数的定义，因有限数和无限大数是相对独立的，因而该定义就来包含无限大数为比较数。

如果选取无限大数为比较数定义一切有限数，某有限数与无穷大数相除即为该数此定义下的大小。令d为该定义下此数的大小，若设定f（∞）为任意无穷大数的表现形式，对任一有限数z，其定义式为d=z/f（∞）。根据d=z/f（∞），则有z=d*f（∞），若d为不为零的任意数，那么d*f（∞）为无穷大数，如此z为无穷大数，这与z为有限数相矛盾，所以d=0。因z为任意选取，所以一切有限数该定义下为零，即d=z/f（∞）=0。

在这个定义下，任意有限数的大小为零，也就是没有大小了。这与传统数学中各数均有一定大小完全不同，并且矛盾而不相容。相对于传统数的定义而言，这是个新的数的定义。

我们以这个数学思想分析诸事相和道理。例如一个人活了一百年，这一百年相对于无限长时间而言，也就是100/f（∞）=0，时间长短为零。用佛教的话讲，人生是空，空即时间没有大小，长短为零。即使人可以活一万年，人生亦为空。太阳有两百亿年的寿命，这也是一个空。即使存在三千万亿亿世纪的事物，其时间长短在此定義下也为零;再比此时间长三千亿亿倍的时间，与无限时间相比，该时间长短仍为零。即使三千亿亿……亿世纪的时间，这中间有十亿个亿这样长的时间，相对于无限长的时间，其量值为零。任何有限长的时间，该定义下长度为零。亦即时间的大小总为零，即t/f（∞）=0，t代表时间。

再以空间辨别此道理。一段任意长为l的线段，若与无限长的直线相比，则其值为l/∞，则有l/∞=0，这样比较，则任意长线段长度为零。三千亿光年的长度亦为零;三千亿亿……亿光年的长度，这中间就算有一千亿个亿，其长度在此定义下仍为零。亦即长度此定义下总为零。

银河系的体积总有一个大小，即使比银河系大三千万亿倍的宇宙空间，若与无限宇宙的体积相比，其量值均为零，即佛教所讲的“空”。一切有限空间的体积相对于无限大宇宙的体积，其大小均为零，也就是没有大小了，即v/f（∞）=0，所以在该定义下，地球是“空”的，太阳系是“空”的，银河系是“空”的，一切有限的宇宙空间都是“空”的。如佛教所讲，一切皆空。一切有限皆空，一切有限空间相对于无限空间，一切有限空间的大小就没有了。

两千多年前，释迦牟尼领悟了有限数对比无限数这个数学定义的结论，但他没有认识到这是个数学定义。释迦牟尼奉此思想为佛理的核心，是佛教立教之基。这个道理佛经中比比皆是，佛教教义上讲的“四大皆空”、“有即无，无即有”、“存在即空”、“当体即空”等，都与该数式和定义相对应。道教是传统数学数的定义的理论源头;佛教所宣讲的“空”理，实际上是一门独立的数学定义和思想。我能将这个知识思考和挖掘出来，确实深受佛理的启迪和帮助，是从佛理的逻辑线索中觉悟出来的。

数学原本是从数字符号的创造、组合和应用开始的，为满足计数和计算的需求而不断完善的。人类创造的最著名的数字符号是阿拉伯数字，它是人类应用最广泛的数符，为古印度所发明。还有古中国人发明的中国数字：一、二、三……十、百、千、万、兆、亿等。这些基本的数字通过一定的组合就能表达各种各样的数，中国数字一样具有强大的计数和计算的功能。还有古罗马数字也比较著名，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……还有英文数字和其他各国各民族发明的数字符号。其实，数字符号的创造是自由的，所以才有这么多数字符号的诞生。

数是相比较而存在的。一切有限数对比任一有限数就形成了我们所说的实数系，这样就定义了实数。一切有限数对比任一无限大数，任意有限数的大小为零。这是两个完全不同相对独立的数学定义。前一个数学定义起源于古中国道教的《道德经》，后一个发源于古印度的佛教，人类的数学文明竟起源于宗教文化，这样，人类的宗教文化走进了神圣的科学殿堂。

佛教是古印度文明的一支奇葩，是人类文化史上的一个文化高峰，道教也是人类文化史上的一个高峰，它们直接影响了人类数学的产生与发展，并促使了后世理学的形成。中国儒教兼容并蓄，吸纳并接受了佛、道二教的理论。最终，三教文化相互认同，形成了三教归一的态势和格局。这三教文化对中国乃至世界的影响至为巨大，三教对数学各有研究和贡献。

释迦牟尼所论证的“空”理是正确的，本文从数学角度给予了证明，这是两千多年来对他思想一个继承性和明确性的回应。

数既然有两种定义，那么就应该有两种数学理论体系。这是另外的一个数学论题，也是可以从数学上得到论证的。

作者简介：胡勇军  出生年月：1970.10  性别：男  籍贯： 湖南常德 职务：教师学历：大专 单位：桃源县盘塘镇中学 研究方向：中学物理