区传递的2-(v,8,1)设计与单群PSLn(q)

2022-02-23 02:50井雪娜韩广国

杭州电子科技大学学报(自然科学版) 2022年1期

井雪娜，韩广国

(杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310018)

0 引言

具有良好传递性的区组设计的分类问题，是区组设计研究中的基本问题。经过国内外学者的共同努力，区传递2-(v,k,1)设计的分类问题取得了丰富成果。1976年，Calpham[1]研究了区传递的2-(v,3,1)设计，并完成其分类。1996年，Camina等[2]分类了自同构群为可解群的区传递的2-(v,4,1)设计。针对自同构群为非可解群的情形，Li[3]研究并分类了2-(v,4,1)设计。Tong等[4]对自同构群为可解群的区传递2-(v,5,1)进行了分类。Han等[5]对自同构群为非可解群的区传递2-(v,5,1)进行了分类。文献[6]通过证明得到：若2-(v,k,1)设计的自同构群G是区传递、点本原的，则G的基柱(socle)要么是初等交换群，要么是非交换单群。这一结论为后续研究区传递2-(v,k,1)设计提供一个思路，可以运用有限单群分类定理来研究区传递2-(v,k,1)设计的分类。本文研究区传递2-(v,8,1)设计分类问题。

1 预备知识

设D是1个定义在点集P上的2-(v,k,1)设计，其自同构群G≤Aut(D)是区传递的。对1个2-(v,k,1)设计，所有区的个数记为b，经过1个点的不同区的个数记为r。假定n是1个正整数，p是1个素数，则|n|p表示n的p部分，|n|p′表示n的p′部分。

引理1[7]设D是2-(v,k,1)设计，且G≤Aut(D)为区传递的。若k|v，则G是旗传递的。

引理2[5]设G是点集P上的传递置换群，T≤G≤Aut(T)。记Γ为G的非平凡次轨道，则Γ为T的某些等长的次轨道的并。

引理4[8]设D为区传递的2-(v,k,1)设计，D的自同构群G是几乎单群。记Gα是保持点α不动的G的子群，且G的基柱T为李型单群。若T∩Gα为T的抛物子群，则G是旗传递的。

2 定理及其证明

定理设D为2-(v,8,1)设计，其自同构群G≤Aut(D)是区传递、点本原但非旗传递的，则G的基柱Soc(G)不是有限域GF(q)上的典型单群PSLn(q)，即Soc(G)≠PSLn(q)。

为了证明定理，先来证明如下引理。

引理5设D,G满足定理的条件，T=PSLn(q)且Tα=T∩Gα(α∈P)，则以下性质成立：

(1)v=1+56br；

(5)若(v-1,q)=1，则Tα具有非平凡轨道，其长度x满足x||Tα|P′。

证明性质1中，由于k(k-1)b=v(v-1)，代入方-李参数并化简，可得kr(k-1)br=v-1，故v=1+kr(k-1)br。因为G是非旗传递的，由引理1可知，8不能整除v。由kv的定义可得kv=1,2或kv=4。若kv=2，则kr=4，因此，v=1+28br且v是奇数。同时有kv=(k,v)=2且v是偶数，矛盾，故kv≠2。类似证明可得kv≠4。故kv=1，此时kr=8且v=1+56br。

运用引理2和引理3可证性质(2)—(5)，证明与文献[9]的命题3.1类似。引理5证毕。

下面对定理进行证明。

设D,G满足定理的条件，用反证法证明。设T=Soc(G)=PSLn(q)，其中q=pf，p是素数。文献[10]中定义的方-李参数如下：

kv=(k,v)，kr=(k,r)=(k,v-1)，bv=(b,v)，br=(b,r)=(b,v-1)。

因v=1+56br为奇数，故G为奇数次本原群。由文献[11]可得G的基柱T，Gα(α∈P)为下列情形：

(1)若q为偶数，则Gα∩T是T的抛物子群；若q为奇数，下列(2)—(6)之一成立。