浅谈张量的通俗解释

梁铎强 刘芳远

摘要：本文尝试通俗解释张量，让张量学习者能抓住学习的主线。

关键词：张量; 通俗解释

1 前言

张量属于代数的范畴，是文献中最复杂、最容易混淆的基本数学概念之一。即使是在维基上搜索“张量”一词，也要小心消除歧义。作为一个读者，如果你不理解第一个关于张量的解释，那么在阅读第三个解释之后，你似乎理解了一点，然后在阅读第五个解释之后，你发现还有上百个解释是不同的。大部分工科学生惧怕张量的学习，为此，本文尝试通俗解释张量，让他们学习张量时能尽快入门。

2 正文

我们在课堂上进行了尝试，发现效果不错。具体教法如下。

1） 在物理中，张量就是不随坐标系变化而变化的量[1]。比如一根木头，随意割出一个长方体，各个面的弹性系数是不同的。六个面，18个量。由于是对称的，所以我们把这个9个量的二阶矩阵称为张量。以此类推，可以得出应力张量、应变张量。注意这些张量可以是固体存在，也可以适用于流体[2]。

2） 上述是牛顿力学范畴。其他领域也是一样的，比如晶体的电导率、磁化率、介电常数、热导率、极化率、扩散系数、温差电动势、都是二阶张量。

3） 其实量子力学也可以仿造之，得出惯性张量（类似弹性系数张量）和极化张量（类似应变张量）。极化张量表示核外电子在同一场强下的不同方向上的惯性和变形情况;

4） 惯性张量和极化张量是电子的防御情况。如果考虑入射的电磁波，那么光会发生偏振。光通过某些物质，偏振面发生了旋转，这个现象称為旋光现象。 这些物质所具有的这种性质成为旋光效应或旋光性。把不同方向的旋光性组合成旋光张量;

5） 电和磁是电磁波的两个分量。对于确定的电磁波，显然电和磁是不随坐标系变化而变化的，所以可以定义电磁张量。此时，麦克斯韦方程就可以从矢量形式改为张量形式;

6） 应力-能量张量，也称应力-能量-动量张量、能量-应力张量、能量-动量张量。在物理学中是一个张量，描述能量与动量在时空中的密度与通量（flux），其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中，应力-能量张量为重力场的源，一如牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用，尤其是在爱因斯坦场方程。

7） 在数学方面，人们发现曲率也是张量。于是定于了很多曲率张量，比如黎曼张量、里奇张量、外尔张量、爱因斯坦张量。

8） 数学是物理的抽象。数学认为一切皆流形，数学家的张量就定义为n维流形切空间上的多重线性映射。这就很难通俗化了。总的来说就是，只有取极限的时候，流形就等同于欧式空间。那么再复杂的张量，只要给出流形上任意一点的应力，都是可以通过多重映射得出一个实数集。类似给出了弹性系数张量，我们就可以计算出一直应力的任意一点的应变[3]。

9） 张量的计算公式比较抽象，很难通俗解释。不过张量总是可以使用多维数组表示，所以张量的计算可以程序花了。有利的方面就是我们可以丢掉繁琐的计算，不利的方面就是我们很难理解运算的奥秘了[4]。通俗一点讲：张量是对标量，矢量，矩阵的推广。张量的表达看起来像是数组，其实每个值是在对应空间上的分量的大小。基向量和分量一起形成了张量的表达，它在物理学上的优点是，当基向量发生变化的时候（坐标系发生变化或者说是观察方向发生了变化），对应的分量也会发生变化，但整个张量却能保持不变。一阶张量可以理解成一个向量，二阶张量可以理解成矩阵，三阶张量可以理解成立方体，四阶张量可以理解成立方体组成的一个向量，五阶张量可以理解成立方体组成的矩阵，依次类推。

10）在旧物理学书籍中，张量通常被定义为以某种方式变换的下标对象的集合，并且可以使用下标对象写出变换规则。但是这个定义并没有提供很多关于张量到底是什么的见解。特别是，这个定义导致了两个误解：首先，张量的定义是由其变换属性（它如何变化）定义的，这使得很难捕捉实体本身（它是什么）。第二，张量是由其分量定义的，而不像是存在于基之外的实体。物理学家总是使用张量的分量形式进行计算，而不区分张量和矩阵。的确，组件形式使用起来非常方便，但它不能完全捕获操作对象。现代数学视图定义：张量是一个多线性函数。

按这条思路讲解张量，学生反应不错。

3 结论

实践证明，通过对张量的通俗讲解，学生可以迅速入门张量的学习。

参考文献：

[1]Leedham-Green C R， O’Brien E A. Tensor products and projective geometries [J]. Journal of Algebra， 1997，189（2）： 514～528.

[2]Lu J， Papadopoulos P. Representations of Kronecker powers of orthogonal tensors with applications to material symmetry [J]. Int. J. Solids Struct， 1998， 35（30）：3935～3944.

[3]Miehe C. Comparison of two algorithms for the computation of fourth-order isotropic tensor functions [J].Comput. Struct， 1998， 66（1）： 37～43.

[4]Portugal R. An algorithm to simplify tensor expressions [J]. Comput. Physics Communications， 1998， 115（2）：215～230.

（2021年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目《虚拟现实技术在广西少数民族室内设计中的应用研究》项目合同编号：2021KY1264）