贾会新 马春丽
(甘肃省嘉峪关市教育局教研室,735100) (甘肃省嘉峪关市第二中学,735100)
解题在建立和发展学生的数学认知结构、形成和提高数学思维能力等方面有着不可替代的作用.在加强数学基础知识学习和基本技能训练的同时,应有意识地从思维角度进行解题分析.本文从一道选择题的解法出发,对解法分析、思维分析进行探究.
例1(2020年河南中原名校质量考评) 已知函数y=f(x)在R上单调递增,函数y=f(x+1)图象关于点(-1,0)对称,f(-1)=-2,则满足-2≤f(lgx-1)≤2的x的取值范围是( )
本题重点考查函数单调性、对称性和奇偶性,同时也考查对数不等式的解法.在函数性质的选择题里,属于中等难度的题目.
1.常规解法
解法1由y=f(x+1)图象关于点(-1,0)对称,可得y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,由定义域知x∈R,进而可知y=f(x)是R上的奇函数.又f(-1)=-2,知函数图象经过点(-1,-2),结合函数y=f(x)在R上单调递增,不妨建立一个在R上既是增函数又是奇函数并经过(-1,-2)的最简单函数模型,自然会想到f(x)=2x.于是,问题即可转化为解不等式-2≤f(lgx-1)≤2,解得x∈[1,100],选C.
解法2由y=f(x+1)图象关于点(-1,0)对称,可得y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,由定义域知x∈R,进而可知y=f(x)是R上的奇函数.又f(-1)=-2,所以f(1)=2.解不等式-2≤f(lgx-1)≤2即等价为解不等式-2=f(-1)≤f(lgx-1)≤f(1)=2,由于函数y=f(x)在R上单调递增,解不等式得x∈[1,100],选C.
2.解法分析
两种解法的区别在于,解法1根据函数具有的性质(如定义域为全体实数、单调递增、奇函数、过点(-1,-2)),于是设法构造一个能够满足题意最简单的函数f(x)=2x得解,也就是说构造的这个函数要满足题目的所有条件,这一点对学生来说也不算是很困难.而解法2从所求解的不等式两端-2,2出发,利用逆向思维将-2巧妙地转化为f(-1)=-2,于是马上就会联想到f(1)=2.运用化归和转化思想,构造出一个形如f(x1)≤f(x)≤f(x2)的不等式,再利用函数单调性转化为自变量之间的关系求解.这种方法具有一般性,就是平时所说的通性通法.但是学生很不容易想到,就是无法打通将-2转化为f(-1).同样在解法1中,有的学生也不容易想到构造一个满足题意的最简单的函数模型转化求解.这是我们应该关注的重点.
1.抽象出奇函数的思维障碍
学生的思维发展受数学概念、知识的本质属性理解的影响,在分析和解决数学问题时,往往只善于处理一些直观的问题,而对那些抽象的问题如数学概念则不能变换思维方式,缺乏解决问题的其它途径和方法,从审题的开始就受挫了.这里有两个知识点障碍需要攻克,即平移知识的转化和奇函数的获得.
已知条件描述y=f(x+1)图象关于点(-1,0)对称,表面上是在考查学生关于函数中心对称的知识点,实际却是间接地考查学生图象平移知识.按照图象平移“左加右减”的法则,将y=f(x+1)变为y=f(x),实际上是将y=f(x+1)图象整体向右平移一个单位,这样一来,对称点(-1,0)也要同步向右平移一个单位得到(0,0).最后转化“翻译”出来的结论是y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.于是发现,在x∈R的大前提下,这个结论恰好符合奇函数的性质,由此可以判断y=f(x)在x∈R上是奇函数.
2.构造函数模型的思维障碍
由于y=f(x)是增函数、奇函数、f(-1)=-2这三个条件之间的联系不是很紧密,能进一步获取信息比较困难.此处最关键的信息就是f(-1)=-2即图象经过(-1,-2),从学生思维的局限性、特殊性这个角度来讲,可能会有少部分学生根据经验和思维的惯性,联想起一个既是奇函数又是增函数而且经过(-1,-2)的特殊函数模型——正比例函数y=kx.这样一来,一般问题特殊化处理,于是代入(-1,-2),得到f(x)=2x是符合本题条件的一个函数模型代表,问题得解.
3.转化为利用函数单调性求解的思维障碍
函数单调性的本质属性是:A自变量之间的关系、B函数值之间的关系、C增(减)函数,这是一个知二求三的因果关系.所以从分析法的角度来看,要想求得x的取值范围,只需解不等式-2≤f(lgx-1)≤2.这个问题可以理解为是一个抽象函数的不等式,在对应法则f的作用下,只有而且必须分别将-2和2转化为f(x1),f(x2),才能构造出一个形如f(x1)≤f(x)≤f(x2)的不等式,也才能进一步利用函数单调递增得到x1≤x≤x2.所以问题进一步转化为-2=f(?),经对照条件f(-1)=-2,那不就是-2=f(-1)了吗?又因为y=f(x)是奇函数,自然就能想到2=f(1).于是巧妙地实现已知和未知之间的自然过度和联系.
可是对于大多数学生来说,函数单调性的性质掌握得就不够熟练,那自然就不能透过现象首先想到会把将-2和2转化为f(x1),f(x2),摆在他们面前的是一个孤岛一样的条件f(-1)=-2,不知怎么用.这是本题最大的思维障碍.
在本题的分析求解中,以下三个方面的转化策略运用恰当,使得解题思路开阔,思维障碍转化自然,学生在错解之后可以从本文中获取一些解题的感悟和念头,进而提高自己的解题水平和技巧.
1.重视逆向思维
本题中运用分析法审题,思路清晰,直击要害.什么是分析法?就是从结论入手,寻找命题成立的充分条件,直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时,便可断定原不等式成立,这种方法称为分析法.分析法的证题思路是“执果索因”,要求分析法的每一步都可逆.
在本题中,找到x取值范围的充分条件,就能抓住解题突破口,这样f(-1)=-2马上就成了我们手中的解题利器.可见,解题中利用分析法执果索因,利用逆向思维求解是多么重要.但是试想一下,如果学生从开始不去执果索因,不去寻找f(x1)≤f(x)≤f(x2),思维肯定会受阻,又怎么能巧妙进行转化呢?
2.常思化归转化
等价转化和从不同角度看待同一个条件会得到不同的效果.y=f(x+1)图象关于点(-1,0)对称等价于y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,而这个结论与奇函数的性质不谋而合,于是问题转化为奇函数,这也是非常巧妙的一个转化.
3.善建数学模型
本题中用到正比例函数模型和函数单调性知二求三模型.正比例函数模型可以使抽象问题具象化,直接降维得到关于x的不等式.而利用函数单调性知二求三模型,是将三个模块之间的转化关系:A自变量之间的关系、B函数值之间的关系、C增(减)函数的各模块要素补齐,使特殊问题一般化,直接升维得到关于f(x1)≤f(x)≤f(x2)之间的关系再降维求解.
从数学核心素养的角度来看,本题的多种解法可归结为“数学抽象与逻辑推理”,这恰好是六大数学核心素养的两个核心部分.在数学解题中,必须重视数学抽象和逻辑思维的培养训练,尤其要引导学生学会数学抽象和逻辑思维,引导学生在脑海中经常树立“为什么会从这个角度思考?是什么促使解题者想到这种思路?”这样的念头,并且要把这种转瞬即逝的念头抓住放大解剖.通过解剖让学生进一步分条析理,打通思维堵点.只有经过坚实的核心素养理性铺垫,基于核心素养的感性的数学文化的价值才能在高中数学教学中如鱼得水,得到渗透应用,才能助力学生学好数学.