基于小扰动理论的低频脉冲压力波在井筒内传播规律分析

刘承婷，陈甜，于振国，尹井奇，杨钊，李盖宇

(东北石油大学石油工程学院，大庆 163318)

压力脉冲技术广泛用于3次采油，压力脉冲可以有效地延长压力的突进时间，增加井筒内压力的膨胀体积，可以在一定时间内扩大岩石的孔喉比，提高地层的渗透能力，进而提高采油效率[1]。

由流体动力学的分析方法可知，水平管道中压力波的能量衰减的主要参数是流体的性质以及管道所处的环境温度。压力波在管道中传播的实质是驱动及携带管道中的流体做强迫运动[2]。对于脉冲压力在水平管道内的传播中外学者做了大量研究。Kamal等[3]利用数字图像分析和压力波动分析方法，研究气固体流化床上的压力波衰波衰减趋势可归因于乳液阶段粒子的局部空隙部分。郭希健等[4]利用波形叠加理论，研究了管道泄漏中压力波的传播及衰减规律。Blackstock[5]利用特征线法，研究了两相流管道中压力波的传播规律以及衰减系数对压力波传播的影响。谭晓华等[6]利用平面滤波分析和仿真试验验证相结合的方法，分析了水击压力波在管道中的传播问题，发现水平管道中水击压力波的传播可以过滤管道中存在的裂缝问题。Savkar[7]利用频率压力波的响应曲线，预测了水平管道湍流情况下的压力波频率周期响应现象。夏瑞丽[8]研究了不同截面面积、不同流量工况下，水平管道中压力波的反射以及平面基吸收问题，并提出新的水平管道中压力波衰减的预测方法，利用数值模拟和实验的方法验证了管道中压力波的突变位置。然而，上面的研究多侧重于研究水平管道中压力波的传播问题，对于垂直管道中压力波的传播研究较少，对于垂直管道中压力波的传播以及衰减规律并没有给出相应的预测模型以及验证方法。在原油的开采过程中，经常会涉及油品在垂直管道中的运动问题。随着采油技术的开发，脉冲注水驱油已经成为一种成熟的技术[9]。低频脉冲可以加大脉冲驱替的时间，压缩波和膨胀波的交替传播可以有效地驱替地层缝隙中的石油。脉冲压力波通过注入井筒传递给地层，在井筒中会发生能量的衰减，对于这一衰减规律尚不清除。

为此，主要研究低频脉冲在垂直井筒中的传播以及衰减规律，找到影响低频脉冲压力波衰减的关键因素，利用实验验证影响因素的因子，最终找到适合井筒—地层的波动参数，为现场优化震源参数提供理论依据。

1 数学方程及模型建立

1.1 数学方程的推导

井筒液相流体流动和脉冲压力波的传播示意图如图1所示。垂直井筒中脉冲压力波的传播在初始传播的过程中[10]，保持原来的波形，随着时间的推移，由于压力波会在井筒中发生反射，当波在井筒的壁面停留时[11]，由于壁面与流体之间会发生摩擦，摩擦会导致波动能量衰减，压力波的衰减如图2所示。考虑液相流体介质中压力波传播的复杂性[12-14]，在构建低频脉冲压力波在井筒内传播和衰减数学模型中，做出如下假设：①垂直井筒中压力波的传递是不可逆的；②压力波在井筒的传播过程中与外界无热量交换；③考虑井筒中流体的自身重力对压力波传播的影响；④考虑流体与壁面之间的摩擦损耗；⑤由于井筒中流体主要以竖直流动为主，可以忽略水平方向的流动；⑥井筒壁是刚性管壁，井筒长度为L，规定井筒末端方向为正方向；⑦忽略脉冲压力波在传播过程中的波形畸变和非线性效应。

x表示流体流动的方向，即正方向

t为时间；p0为井筒的初始驱替压力；p为随时间变化井筒的瞬态压力

1.1.1 连续性方程

如图3所示，以x表示流体流动的正方向，在垂直井筒内取长度为δx，横截面积为s的流动单元，流体密度为ρ，流体流速为v，壁面滑移速度为u，下标x为长度为δx的物理量的增加量。

图3 连续性方程控制单元

假设x坐标方向与井筒内流体流动方向一致，根据质量守恒定律得

(1)

式(1)中：t为流动时间；ρ为井筒流体密度；v为流体速度；u为壁面滑移速度；s为横截面积。

对式(1)求导化简可得

ρsvx+v(ρs)x+(ρs)t=0

(2)

(3)

(4)

转化为微分形式为

(5)

1.1.2 动量方程

在井筒内取厚度为δx的微小流体控制单元，如图4所示。假设液相流体在井筒中的流速v、压力p在断面上都是均匀分布[15]，由动量方程得

x为流体流动的方向，即正方向；p为井筒瞬时压力；s为所取井筒的横截面积；τ为作用在控制体上的壁面剪切瞬时应力；g为重力加速度；px为在x方向上的压力；D为界面积变化系数；(ps)x为截面积为s的总力在x方向的力

(6)

(7)

(8)

式(8)中：α为井筒拟稳态摩阻系数。

1.1.3 井筒流体的物态方程

由于井筒的下端是地层，地层的渗透率比较低，流体的流动性较差，可以看作井筒是一个封闭体，所以上面两个方程并不能完整的描述垂直井筒中流体流动中低频脉冲压力波的传播规律，还需考虑井筒流体流动的封闭性条件，加入流体的物性方程为[16]

(9)

式(9)中：μ为流体黏度；κ为渗透系数。

1.2 波动方程

脉冲压力波在垂直井筒中传播就是压力驱动井筒内流体的质点运动，取无限小的时间段，利用线性小扰动理论，对垂直井筒的控制方程进行处理[17]，可以得到低频井筒流体的流动波动方程。根据线性小扰动理论，可以假设在非常短的时间内，由于压力波动引起的流体流动的参数p0、ρ0、μ0的变化量p1、ρ1、μ1非常小，则有

(10)

式(10)中：p0、ρ0、μ0分别为由于压力驱动引起的流体压力、密度、流速的初始值；p1、ρ1、μ1分别为由于压力扰动流体压力、密度、流速的变化值；δ为趋向无穷小。

将式(10)代入井筒流体的基本控制方程，略去高阶的物理量，可得

(11)

式(11)即为低频脉冲压力波在井筒内的传播控制方程。

2 结果分析

2.1 物理模型的建立

数值模拟以FLUENT18.0为计算平台，建立500 000 mm×80 mm的二维计算模型，采用结构化网格提高计算精度。边界条件有入口边界条件、出口边界条件以及壁面设置条件，出口是自由压力出口，壁面采用无滑移壁面，利用UDF(user define function)对边界的入口压力进行设置，入口压力P采用正弦函数的脉冲波可表示为

(12)

式(12)中：f为低频脉冲压力波的频率，Hz；A为低频脉冲压力波的最大压力，Pa。模型使用雷诺平均组控制方程，采用稳态的模拟方式，采用湍动能-耗散率(k-ε)标准流场计算模型，压力-速度的耦合方式采用SIMPLE以及Least Squares Cell的梯度格式，湍动能与流体湍流耗散系数先采用一阶迎风格式, 后采用二阶迎风格式，选用PRESTO!类型的压力插值格式，可以提高运算的速度以及精度。

2.2 数值模拟仿真结果

2.2.1 不同频率压力分析

不同频率的压力波驱动井筒流体的压力云图如图5所示。当压力为常压8×105Pa时，流体的流动成阶段性下降。调整驱动流体的压力驱动频率，流体内会出现压缩波和膨胀波，驱动流体的压力会出现周期性变化，当脉冲频率在0.02～0.06 Hz变化时，脉冲驱动流体的压力域宽在73.64 Pa左右变化，当脉冲频率大于0.06 Hz时，脉冲流体沿着主流流体流动的方向幅值逐渐较小，意味着脉冲压力的域宽将趋近于一个常数。

左侧色标为模拟井筒的压力标尺；右侧色标为软件模拟井筒实际压力，可依左侧标尺查看压力值

2.2.2 不同频率传播速度分析

不同频率的压力波驱动井筒流体的速度云图如图6所示。脉冲压力会对井筒流体的流动速度产生较大的干扰，当脉冲频率在0.02～0.06 Hz时，井筒流体的速度域宽变化较大，可以达到0.26 m/s，当脉冲频率大于0.06 Hz时，脉冲流体在主流方向上的速度变化幅值不再随着脉冲频率的上升而上升，压缩波和膨胀波的变化时间加长，意味着脉冲频率波在井筒中传播的速度域宽将趋于稳定值。通过速度线图可以清晰地看出不同频率速度的变化，不同频率的压力波驱动井筒流体的Y轴速度线图如图7所示。

左侧色标为模拟井筒的流速标尺；右侧色标为软件模拟井筒实际流速，可依左侧标尺查看流速值

图7 不同频率脉冲压力在井筒中传播的Y轴速度线图

随着脉冲频率的增加，井筒流体的轴向速度变化幅度逐渐增大，增加到一定程度以后幅度不会继续增加，而是开始回落。这表明施加的脉冲频率是在0.02～0.06 Hz时达到顶峰，且整体均高于未加脉冲前。压力脉冲增加了井筒流体压力的敏感性。但频率增加到一定程度后，速度幅度变化较小。因此井筒流体需要一个合理的频率范围，为了保证开发效果，实际脉冲注水应该在合理脉冲范围内实施。

2.2.3 不同频率动能波动分析

常压驱动流体时，流体的动能变化平缓，变化率维持在0.01左右。脉冲压力会产生周期性的驱动波，在驱动波的作用下，井筒内流体会发生强迫响应流动，响应流动会使井筒流体的动能产生瞬时差，采用频率为0.02～0.06 Hz的低频脉冲波，动能变化率可以达到0.6 m2/s2，当频率大于0.06 Hz时，动能变化将维持稳定。动能的变化只要以湍动能的形式表现出来，导出水平方向下不同频率湍动能数据曲线如图8所示。

图8 不同频率脉冲压力在井筒中传播的湍动能图

采用不同频率的低频脉冲压力波驱动井筒流体，就是要增加压力、速度、动能的变化率，变化率越大说明脉动幅度越大，脉动幅度大对于地层中流体的驱动作用就会越明显，综合因素考虑，井筒低频脉冲驱动的频率应在0.03～0.05 Hz，通过频率计算得到最佳波长为45～70 m。

2.3 实验流程

实验流程如图9所示，实验设备分为4个系统：①井筒注水系统：利用螺杆泵将水箱中的水泵入井筒内，压力传感器和流量计可以检测注入井筒的流量及压力变化；②井筒脉冲压力驱动系统：低频脉冲压力发生器将脉冲压力注入井筒内，调节井筒内注水压力的大小。高速摄像机可以拍摄井筒内流体在压力驱动下的波形变化；③注水岩心驱替系统：利用井筒内的压力注水驱替饱和油岩心，模拟地层中驱油过程，量筒(量程50 mL)计量驱替油以及水的含量；④数据采集系统：压力传感器(RS-845和HSTL-802，采样频率为1 000 Hz)、电磁流量计(精度等级±0.5%)、高速摄像机将采集到的数据传入数据采集系统，绘制数据曲线图。本实验采用螺杆泵(型号：G40-1螺杆泵)，提供高压(最大1.2 MPa)，高流量(200 L/min)，满足实验要求。高速相机由立方体世界技术发展有限公司提供，高速相机快门速度的可调范围为1/125～1/12 800 s，可实现60～2 500 fps/s的图像采集速度。

图9 实验流程图

2.4 实验结果分析

实验通过压力传感器检测不同频率脉冲压力波传入井底即岩心的脉动压力如图10所示。

图10 不同频率脉冲压力响应曲线

低频时压力脉冲波在开始段波峰波谷不断重复循环，但随着频率的增加压力波在前半段出现极大峰值并且在出现极大峰值之后，波峰波谷开始均匀降低。当脉冲频率在0.03～0.05 Hz时，实验压力波动域宽在0.05 MPa，膨胀和压缩的时间相差不大，脉冲效果较好，当脉冲频率大于0.05 Hz时，压力域宽波动幅度变化较小，且压力域宽减小至0.01 MPa，脉冲效果变差。

当脉冲振幅一定(0.8 MPa)时，低频时压力脉冲波在开始时有短暂的上升阶段然后，在波峰、波谷不断重复循环，压力峰值基本稳定，但频率增加到0.04 Hz，压力响应开始变得不稳定，压力脉冲波在第一次达到极大峰值之后开始连续降低。在频率小于0.04 Hz为最佳频率波动曲线。综合考虑数值模拟的结果以及实验分析，低频脉冲压力在井筒中的最佳波动频率为0.03～0.04 Hz。

3 结论

(1)利用线性小扰动理论，建立低频脉冲压力波在井筒传播的数学模型，确定频率、波长、振幅是影响低频波动能量衰减的关键因素。

(2)开发FLUENT的UDF接口，采用脉冲压力波入口条件，模拟得出0.03～0.04 Hz，45～60 m是井筒的最佳波动参数。

(3)创新使用低频脉冲发生器-井筒-岩心的一体化实验验证方法，得到的结果和数值模拟结果一致，验证了模拟数据的正确性，得出低频脉冲波驱油的最佳振幅为0.8 MPa。