四旋翼无人机固定时间姿态输出反馈控制

邵士凯，王姝，赵渊洁

(河北科技大学电气工程学院，石家庄 050018)

随着科学技术的不断发展，四旋翼无人机因其机械结构简单、安全可靠等特点受到人们的广泛关注，在军用和民用领域均有实际的应用价值，如环境监测、探测敌方位置信息、灾后搜寻及救援工作等[1-3]。同时，作为一个操作方便的战术应用平台，无人机的跟踪控制引起了世界各国科研团队的关注[4-5]。四旋翼无人机(unmanned aerial vehicle,UAV)是一个强耦合、非线性、具有4个控制输入和6个状态变量的欠驱动系统，机身易受到气流等外界环境的影响。学者们针对四旋翼无人机的跟踪控制问题开展了大量研究。对于传统的比例积分微分(proportional-integral-differential，PID)控制方法[6]，该方法具有结构简单的优点，但是PID控制方法难以达到具有复杂模型和高精度无人机模型的控制要求。线性二次型调节器[7]对姿态和位置控制有较好效果，但只适用于系统在平衡点处的情况。为了克服线性方法的局限性，学者们针对无人机的抗扰动问题提出相应控制方法，包括滑模控制方法[8]、自适应控制方法[9]、反步控制方法[10]等。其中，滑模控制方法对非线性系统具有良好的控制效果，在多种控制问题中表现出优异的性能。郑峰婴等[11]提出了一种积分滑模控制器方法来改善闭环系统对干扰的不敏感及鲁棒性，该方法不仅能保留滑模控制所具有的优点，还消除了滑模控制从初始状态到滑模面的过程，但会引起“抖振”现象，主要原因是不连续符号函数项的增益大于总扰动的上界。为解决这一问题，常用方法是对符号项进行光滑处理来削弱抖振，但这会改变滑模控制的固有结构，降低其控制精度。干扰观测器可实时估计干扰量并将其前馈至控制器中实现对干扰的抑制，且不需要引入符号函数项。近年来许多学者对干扰观测器进行研究以提高滑模控制的性能，如非线性干扰观测器[12]、自适应干扰观测器[13]、扩张状态观测器[14]。干扰状态观测器能够对各种不确定项和外界干扰等构成的总扰动进行估计和补偿，且不需要较大的符号函数项，在保证鲁棒性的同时显著削弱抖振现象。研究发现扩张状态观测器不仅能够对总扰动进行补偿估计，同时也可以作为未知角速度的观测器，因此不需要设计额外的状态观测器来解算未知的角速度信息，能够保证在角速度敏感器故障的情况下继续研究无人机的跟踪控制问题，也体现了控制算法简单能耗低的优点。文献[15]提出了一种基于扩展干扰观测器的自适应鲁棒控制器，扩展状态观测器将外界干扰扩张成新的状态变量，利用输出反馈观测扩张的状态。文献[16]针对感应电机直接转矩控制系统中存在的干扰，结合扩张状态观测器和有限时间控制提出一种复合控制方法来提高系统的抗干扰能力。文献[17]考虑带攻击角度约束的制导系统模型，提出了一种超螺旋扩张状态观测器并结合动态面控制设计一种新型制导律，能使系统状态全局有限时间收敛。需要注意的是，文献[15-17]中系统均为有限时间收敛稳定，但是该收敛时间依赖于系统的初始状态，在初始条件不确定的情况下会影响系统性能。相比于有限时间控制，固定时间不仅能提升系统的控制精度，使系统具有强鲁棒性，而且系统的收敛时间独立于系统的初始状态。

基于此，现对角速度不可测的四旋翼无人机姿态输出反馈进行了研究，提出一种固定时间的扩张状态观测器，用于同步估计未知角速度和综合扰动，并根据观测器输出提出了基于齐次性理论的固定时间控制器。

1 数学基础

1.1 齐次性说明

为了清楚分析齐次性，考虑一般非线性系统，可表示为

(1)

令r=[r1,r2,…,rn]T∈Rn为加权向量，ri>0,i=1,2,…,n。对于任意常数λ>0,x∈Rn,扩张映射向量Λr(x)=[λr1x1,λr2x2,…,λrnxn]T∈Rn。

引理1[18]如果对于任意的λ>0,x∈Rn，有fi(Λrx)=λk+rifi(x)，则向量f(x)∈Rn为关于权重向量r∈R的k齐次度向量场。

1.2 四旋翼动力学模型

四旋翼无人机的动力学模型如图1所示。四旋翼无人机是一个包含6自由度、4个控制输入的欠驱动系统，具有多变量、强耦合、非线性、对干扰敏感等特点。四旋翼姿态模型为[20]

fi(i=1,2,3,4)为4个螺旋桨所产生的升力；ob-xbybzb为机体坐标系；o-xyz为地球固连坐标系

(2)

式(2)中：Θ=[φ,θ,ψ]为欧拉角；φ、θ、ψ分别为四旋翼无人机的滚转角、俯仰角、偏航角；J为四旋翼无人机的转动惯量；τ为螺旋桨在机体轴上产生的力矩向量；Δ(t)为外界干扰；ω=[p,q,r]为机体旋转的角速率；t为时间；斜对称矩阵ω×及矩阵W分别定义为

(3)

式(3)中：p、q、r为机体旋转的角速率。

(4)

因为det(W)=secθ，则当θ≠(2k-1)π/2，k∈Z，W是可逆的，k为任意整数。

假设四旋翼为刚体且结构对称，则模型可整理为

(5)

式(5)中：

(6)

针对姿态跟踪问题，定义：

(7)

相应地，对式(7)求导有

(8)

式中：Θd=[φd,θd,ψd]T为期望的姿态欧拉角，其中φd、θd、ψd分别为四旋翼无人机期望的滚转角、俯仰角、偏航角；Μd为期望姿态欧拉角的导数；M为实际欧拉角的变化率；D为综合扰动。

为实现姿态跟踪控制，通常存在如下假设[21]。

2 输出反馈控制

图2 控制结构框图

2.1 扩张状态观测器设计

固定时间扩张状态观测器用来对未知角速度和综合扰动进行同步估计，可表示为

(9)

2.2 输出反馈控制器设计

(10)

kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]

(11)

式(11)中：控制器参数kp>0,kv>0且有：α2∈(0,1)；α1=α2/(2-α2)；β2=(4-3α2)/(3-2α2)；β1=β2/(2-β2)。

2.3 理论分析

(12)

证明稳定性分析将分为三步。首先，证明固定时间扩张状态观测器能精准估计模型状态变量及综合扰动。其次，证明系统状态在[0,T1]时间内有界。最后，基于齐次性理论证明控制器的收敛性。

步骤1观测器估计误差可表示为

(13)

则式(13)关于时间的导数为

(14)

(15)

(16)

根据文献[22-23]，误差向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]可以在固定时间收敛至原点，且收敛时间为T1。

步骤2证明系统状态有界。定义Lyapunov候选函数为

(17)

(18)

ξ2ih2sigβ2(ξ1i)-ξ3ik3sigα3(ξ1i)-

(19)

令Γ=-ξ2ik2sigα2(ξ1i)-ξ2ih2sigβ2(ξ1i)-ξ3ik3sigα3(ξ1i)-ξ3ih3sigβ3(ξ1i)。

(20)

(21)

即满足

V≤{V[e1i(0),ξ2i(0),ξ3i(0)]+L/2}e2t-L/2

(22)

根据式(22)可知，对于∀t≤T1,e1i、ξ2i、ξ3i不会发散至无穷，因此可得：在时间[0,T1]内，系统有界。

步骤3当t≥T1时，采用齐次性理论证明控制器在固定时间内的收敛性，跟踪误差为

(23)

定义Lyapunov函数V1为

(24)

对V1求导得

(25)

将式(23)代入(25)中得

=kp{e2[sigα1(e1)+sigβ1(e1)]}+

e2{-kp[sigα1(e1)+sigβ1(e1)]-

kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]}

=-e2kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]

=-kv(|e2|1+α2+|e2|1+β2)≤0

(26)

(27)

(28)

式中：f0为零极限下的向量场；f∞为无穷极限下的向量场。

3 仿真实验与结果分析

3.1 对比仿真结果

对设计的固定时间控制器和固定时间扩张状态观测器性能进行仿真分析，同时为了更好地验证文中所提方案的良好性能，结合以下有限时间控制器和有限时间扩张状态观测器进行对比仿真验证。无人机相关参数如表1所示。

表1 系统参数

使其固定时间稳定，一般用双幂次控制u(e)=-|e|αsign(e)-|e|βsign(e),0≤α<1,β>1[24]。

有限时间控制器可表示为

(29)

有限时间扩张状态观测器可表示为

(30)

当控制器为式(10)时，分别进行有限时间扩张状态观测器[式(30)]和固定时间扩张状态观测器[式(9)]对比，其对比结果如图3所示。可以看出，有限时间和固定时间下的观测器均可以估计上干扰的实际值，但通过局部放大图，能更清晰地得出：固定时间观测器的估计效果在收敛速度和控制精度上优于有限时间观测器，验证了所提固定时间扩张状态观测器的有效性。图4为姿态欧拉角的跟踪效果图，均采用固定时间下的扩张状态观测器[式(9)]，分析对比有限时间控制器[式(29)]和固定时间控制器[式(10)]分别对参考姿态值的跟踪效果。可以看出，固定时间控制器的收敛时间以及收敛速度要优于有限时间控制器，说明所提控制方案合理可行且效果明显。图5为欧拉角的估计误差，图5(a)、图5(b)、图5(c)分别表示飞机姿态滚转角、俯仰角、偏航角的估计误差结果，其估计误差值在固定时间内精准且快速的收敛至零点。图6为欧拉角跟踪误差，通过这3条曲线的收敛效果说明控制误差能精准地收敛至原点，同样证明了固定时间控制器的有效性。

图3 干扰力矩

图4 姿态欧拉角跟踪效果

图5 欧拉角估计误差

图6 欧拉角跟踪误差

3.2 无人机飞行实验数据分析

为进一步验证所提控制方案的可行性，基于飞行控制器Pixhawk2.4.8进行了四旋翼无人机F330飞行控制实验，四旋翼无人机沿x、y、z轴飞行的数据如图7所示。可以看出，四旋翼无人机实际飞行轨迹基本跟随期望飞行轨迹，满足无人机飞行要求，则从实际实验证实了所提控制方案的可靠性。

图7 飞行数据

4 结论

研究了四旋翼无人机的姿态跟踪控制。考虑了模型不确定和外界干扰等因素，并将其集中在一起作为综合扰动，设计了基于固定时间的扩张状态观测器对综合扰动进行估计。另外，扩张状态观测器也对未知角速度进行估计，保证系统估计误差收敛至零。在此基础上提出基于齐次性理论的固定时间控制器，仿真结果表明，所提控制器可以在综合扰动存在的情况下保证闭环跟踪误差收敛至零，且收敛时间独立于系统初始状态。通过Lyapunov理论和仿真分析也说明了所提方案的有效性。