寻路小能手

杨胡平

经过长途跋涉，阿才他们终于回到了老家。刚进门就受到了奶奶的热烈欢迎。

在吃团圆饭前，奶奶把一碗饺子装进保温盒中，让阿才给村里的李奶奶送去。李奶奶的儿女都在国外，不方便回来，现在她一个人在村里生活，腿脚有些不方便，阿才的奶奶想让李奶奶也尝尝年味儿。

阿才的爸爸怕阿才不认路，便和阿才一起出了门。路上，阿才说：“爸爸，你说李奶奶喜欢花吗？不如我们采些野花一起送过去给李奶奶吧。”

爸爸想了想，说：“我记得李奶奶最喜欢公路边金黄色的野菊花了，那边的野菊花比其他地方的要大，而且很漂亮。”

李奶奶和阿才奶奶的家都在村子边上，村子前面不远处是一条笔直的水泥公路，公路边长着成片的野菊花。阿才决定和爸爸稍微绕个远路。

最近的路线

爸爸突然问阿才：“公路边任何一点都可以采摘到野菊花，你知道怎样走才是最短的路线吗？”

阿才摇了摇头，他可没有想过这样的问题。从奶奶家走到公路，再从公路到李奶奶家，有很多条路线。要想选出一条最近的路线，这个问题有些复杂，阿才一时不知道怎么算。

爸爸接着问：“那你知道‘两点之间线段最短’和‘三角形任意两条边的和大于第三条边’这两条规律吗？”

阿才点了点头：“当然知道！可是从奶奶家走到公路边，再走到李奶奶家的路线，并不是一条直线呀！”

“这个不难，只要我们肯动脑筋，就能找出最短的路线。”接下来，爸爸拿出笔和纸，画出了一條辅助线。奶奶家标为A点，李奶奶家为B点，画出B点的对称点B′，连接A和B′，AB′和路边相交的点为C点。

这次没等爸爸讲解，阿才就明白过来了。AB′是一条直线，且AB′=AC+B′C=AC+BC。

阿才从公路边任取一点C′，连接AC′和B′C′，根据三角形任意两条边之和大于第三边，则有AC′+B′C′≥AC+BC。那么AC+BC就是阿才从奶奶家去公路边，再去李奶奶家最近的一条路线。

三角形路线

周末的早上，阿才跟着爸爸和李叔叔来到河滩边，河滩是两条小河交汇的地方。

原来，李叔叔在环保单位上班，他这次来这里是想做一次水质调查。李叔叔拿着两个小瓶子，从放行李的地点出发，在两条小河中分别采集了一瓶河水。然后，他拿着两瓶河水，回到了出发点，拿出仪器开始化验水质。

爸爸看了看两条小河的位置，拿出笔和纸，将李叔叔刚才走过的路线画了出来，并标上了字母。出发点是P，第一次采集河水的地点为A点，第二次采集河水的地点为B点。两条小河交汇之处为O点，第一条小河的上流为M，第二条小河的上流为N。

接下来，爸爸问阿才：“如果你是李叔叔，你觉得怎样走，才能让这三条路线之和，也就是△PAB的三条边之和最小呢？”

阿才望着这张草稿纸，陷入了沉思。爸爸提醒：“你可以画辅助线呀！”一语点醒梦中人，阿才马上画起了辅助线。

阿才先以OM为对称轴，画出了P 点的对称点P1，再以ON 为对称轴，画出了P点的对称点P2。然后他将P1和P2连接起来，同OM和ON相交的点分别是A点和B点。△PAP1和△PBP2中，PA=P1A，PB=P2B。△PAB的三边之和，其实是线段P1P2的长度，所以，这时的△PAB的三条边之和最小。

建桥方案

阿才奶奶家所在村子的河对面有一家超市，由于河上没有桥，要去河对面的超市十分不方便。好在年后镇政府就要派人来村子里建一座桥了。

爸爸问阿才：“如果让你当设计师，你知道在什么地方建桥，才是从奶奶家去超市最短的一条路线吗？”阿才拿出笔和纸，开始画图。

设奶奶家是A点，河对面的超市是B点，两条平行线代表小河。假设建桥的地点是M和N，去超市要走的距离就是AM+MN+BN。

爸爸也拿起笔，将A向下平移到A′，使AA′的距离等于小河的宽度。连接A′B，其与小河的相交点是N′，画一条经过N′且垂直于小河河岸的线段M′N′。

那么，从阿才奶奶家去河对面超市的路线是AM′+M′N′+BN′。由于AM′=A′N′，所以AM′+BN′=A′B，AM′+M′N′+BN′=A′B+M′N′。

而M′N′=MN，AM=A′N。在△A′NB中，A′B<A′N+BN，所以A′B<AM

+BN。

由此可见，在小河上的M′N′处修桥，才是从阿才奶奶家去河对面超市最近的路线方案。在河上的其他地方，比如在小河上的M和N两处建桥，路线都不是最近的。