基于宽带均匀同心球阵列的低复杂度二维波达方向估计算法

陈海华 王沛曌

①(南开大学电子信息与光学工程学院 天津 300350)

②(天津市光电传感器与传感网络技术重点实验室 天津 300350)

1 引言

波达方向(Direction Of Arrival, DOA)估计是阵列信号处理中的重要问题之一，在雷达、移动通信、声音信号处理、航空航天和卫星通信等领域得到了广泛应用[1]。传统的DOA估计算法如最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法[2]、子空间估计算法及其改进算法等至今仍被广泛应用。后者中最具代表性的算法是多重信号分类(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)算法[3]，以及通过旋转不变性技术估计信号参数的方法(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)[4]。

相较于1维DOA估计方法，2维DOA估计算法因其可以完成两个角度的同步获取引起了广泛关注。大部分2维DOA估计算法由1维DOA估计方法扩展而来，如经典的2维MUSIC算法[5]，利用入射信号的2维导向向量与噪声子空间的正交特性进行2维空间谱扫描估计信号入射角度。此外，基于酉变换的旋转不变(Unitary-ESPRIT)算法[6]、基于总体最小二乘法的旋转不变(Total Least Squares-ESPRIT, TLS-ESPRIT)算法[7]等，也是由1维ESPRIT算法发展而来的。研究表明，大部分基于谱峰搜索的2维DOA方法都具有更高的精度[8]，但其计算复杂度相较于1维DOA估计方法也急剧升高，因而如何降低2维DOA估计的复杂度也成了一个新的课题。针对此问题，文献[9]提出了一种基于均匀线性阵列的近场源定位降维MUSIC算法。该算法将导向矩阵分解为两个参数矩阵，从而将传统2维MUSIC问题转化为1维优化问题，并通过1次1维谱峰搜索及1次配对算法估计2维参数，极大地减少了计算量。该方法也可应用于传统均匀平面阵列[10]和L型阵列[11]的2维DOA估计。

上述降维DOA估计算法均设定到达信号为窄带信号。然而在实际应用中，到达信号为宽带信号的情况也很常见，例如超宽带通信、语音信号处理等。宽带信号的DOA估计算法有非相干信号子空间方法(Incoherent Signal subspace Method,ISM)[12]、相干信号子空间方法(Coherent Signal subspace Method, CSM)[13]和频率响应不变波束形成器(Frequency Invariant Beamformers, FIB)[14]等方法。在ISM和CSM算法中，利用傅里叶变换把宽带信号分解成多个窄带信号后进行DOA估计。而基于FIB的DOA估计算法首先对阵列响应的频率特性进行补偿，得到的阵列响应具有频率响应不变特性，因而可以将现有的窄带DOA估计算法推广到宽带信号中。基于均匀线性阵列的FIB采用固定频率响应补偿网络，可获得感兴趣频带内某个特定角度的频率响应不变阵列，用于宽带信号的DOA估计和波束形成[15]。为了改善DOA估计和波束形成在阵列末端的性能，文献[16]提出基于均匀圆形结构的FIB阵列，该阵列在360o方位角范围内的性能具有一致性，同时具备电子旋转特性，并可以离线设计频率响应补偿网络，极大地降低了实时计算复杂度。为了进一步改善DOA估计和波束形成在仰角末端的性能，可采用具有频率响应不变的均匀同心球阵列(Uniform Concentric Spherical Arrays,UCSA)[17]。基于UCSA的频率响应不变阵列，在整个空间内的性能具有一致性，可应用于宽带信号2维DOA估计。

为了降低宽带信号2维DOA估计的计算复杂度，本文提出一种基于FI-UCSA的降维MUSIC算法。首先通过离线设计频率响应补偿滤波器得到FI-UCSA，该阵列具有近似频率不变响应特性。其次，将补偿后的导向向量分解为方位角和仰角相关的两个矩阵，构造降维谱函数。之后，利用1维搜索方法估计信号的到达方位角，并随之计算相应的仰角。本文提出的宽带信号2维DOA降维估计算法结合了频率响应不变阵列和降维算法，极大地降低了实时计算复杂度。理论分析和仿真结果验证了上述算法的有效性和优越性。

2 数据模型

图1 UCSA结构图

由式(5)可以看出，阵列响应基本实现了频率响应不变特性。此外，本文设计的同心球阵列可等效为一个虚拟平面阵列，且具有电子可旋转特性，即可通过波束形成系数的相位改变阵列的主瓣方向，同时在整个空间的性能具有一致性。阵列的频率不变特性可以提高宽带信号DOA估计的性能，降低计算复杂度；等效阵列的电子可旋转特性可进一步降低DOA估计的计算复杂度并保证各个角度信号估计性能的一致性。

3 低计算复杂度降维MUSIC算法

由式(20)和式(24)可知，到达信号的方位角和仰角的估计可避免2维搜索，只需根据式(20)进行1维谱峰搜索，得到方位角的估计值，再通过式(24)的配对计算，得到相应到达信号的仰角估计值。因而，该方法极大地降低了2维DOA估计的计算复杂度。

4 仿真结果

本节对本文所提低复杂度2维DOA估计算法进行了仿真。在所有仿真结果中均假设有D=2个信号，到达角度分别为(θ1,φ1)=(10◦,30◦), (θ2,φ2)=(25◦,45◦)，两个信号的频率范围均为(0.3π,0.5π)。本文所采取的UCSA共有K=2个球面，第1个球面上的阵元个数为64个，由8阵元均匀圆形阵列旋转至8 个不同仰角得到，因而P1=Q1=8，半径rˆ1=0.6。类似地，第2个球面上P2=Q2=10，半径rˆ2=0.8。经IDFT后，方位角和仰角上的相位模式个数分别取W=7和Z=7。离散步长即扫描精度设为Δθ=Δφ=0.25◦。每次仿真进行N=300次蒙特卡罗实验。

基于上述FI-UCSA并采用本文提出的低复杂度2维DOA估计算法性能如图5所示。本文采用均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)作为性能指标，即

其中，φˆd,n和θˆd,n分别是在第n次蒙特卡罗实验中第d个信号方位角和仰角的估计值。作为对比，本文还对传统2维MUSIC算法、ESPRIT算法以及两种CSM类算法进行了仿真。

图5展示的是DOA估计的RMSE随着SNR变化的情况。在此例中，数据长度J=629，共对上述5个算法的性能进行了比较。其中2维MUSIC算法、本文所提降维低复杂度MUSIC算法以及ESPRIT算法是在FI-UCSA基础上进行角度估计的，RSS算法和基于阵列接收数据的修正算法是CSM类算法。由图5可得，本文所提算法与传统2维MUSIC算法和ESPRIT算法相比性能均有所改善，同时，由于RSS算法受预估角度值的影响，因此低信噪比下本文所提算法性能略优。而本文所提算法复杂度仅为5.20×107，相较于传统2维MUSIC的4.83×109，以及两种CSM类算法的9.67×108和8.03×108，极大地降低了计算复杂度。

图2 阵列的频率不变性

图3 阵列的电子可旋转和空间一致特性

图4 DOA估计的分辨率随SNR的变化

鉴于MUSIC估计方法是基于谱峰搜索的DOA估计算法，其精度受扫描步长影响。相较于两个维度均需要按扫描步长确定角度估计值的方法，本文所提算法在进行第2步仰角估计时只需进行配对计算，无需再次搜索，因此不受扫描步长的影响。图6为角度估计RMSE受扫描步长影响的情况。在本次实验中，扫描步长Δθ=Δφ=[1◦,0.5◦,0.25◦,0.1◦]，信噪比SNR为10 dB。由图6可以看出，随着扫描精度的提高，传统2维MUSIC算法的性能与本文所提算法性能越来越接近。在低信噪比下，角度估计受噪声影响较大，同一个估计角度在不同扫描精度下，会偏向不同的临近值，因此图中RMSE值有部分波动。在实际应用中，由于扫描精度的提高会带来算法复杂度的指数上升，因此需要根据实际在扫描精度与算法性能之间取得平衡。

图5 DOA估计的RMSE随SNR的变化

图7展示了算法性能随阵列参数设定的变化。图7(a)展示了阵列阵元个数对DOA估计性能的影响。图中横坐标P1表示第1个均匀圆环上阵元个数，而第2个圆环上的个数P2=P1+2，两个均匀圆环分别旋转Q1=P1和Q2=P2个角度得到均匀同心球阵列。为了便于比较，本例中方位角和仰角的相位模式个数分别取W=5和Z=5。另外，信噪比SNR设定为15 dB。由图7(a)可以看出，随着阵元个数的增多，DOA估计值的RMSE呈下降趋势。

图6 DOA估计的RMSE随扫描步长的变化

图7 DOA估计的RMSE随设定参数的变化

由式(4)可知，每个相位模式下贝塞尔函数的值由当前频率和阵列半径共同决定，是影响频率补偿滤波器和DOA估计性能的重要因素[17]。本文分别对阵列半径和工作频带宽带对算法性能的影响进行了仿真，如图7(b)和图7(c)所示。由图可知，阵列半径越小、工作频带越窄，算法性能越好。

另外，由式(4)还可以看出，本文设计的宽带阵列具有频率不变特性，该特性归功于引入的频率补偿滤波器。然而，频率补偿滤波器的模在设计时需要加以限制[14]，否则将引起接收噪声的放大，导致DOA估计性能下降。令滤波器的模值限制值为β，DOA估计性能受该值影响的情况如图7(d)所示。可以看出，DOA估计的RMSE随着β值的增加而上升。然而过小的β值会造成补偿滤波器的设计困难，因而实际运用中要根据上述情况平衡β的取值。

综上，在FIB的实际应用中，若想获得较好的DOA估计性能，可考虑增加阵元个数、减小阵列半径和阵列有效频率带宽、对频率补偿滤波器的模值进行合理限制等操作，同时也要考虑到计算复杂度的问题，折中选取。

5 结论

本文研究了基于FI-UCSA的宽带信号到达角估计问题，提出一种基于1维搜索的可配对降维MUSIC算法。本算法将具有FI特性的UCSA相位模式导向向量分解为方位角和仰角相关的两个矩阵，构建1维到达角谱函数，从而可通过1维搜索得到方位角信息。与之配对的信号源仰角估计值可通过最小二乘法得到，因而避免了2维搜索过程，极大地降低了运算复杂度。此外，本文采用的FI-UCSA具有频率响应不变特性，可进一步降低宽带信号处理的计算复杂度。多个仿真结果表明，本文所提方法能获得比ESPRIT算法与传统2维MUSIC算法精度更高的结果。